平成１８年１月２９日

[流れ星]

　　　　　第16７回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：1月２９日〜２月１９日

［ペル方程式］

皆さん、1998年のお茶の水大学入試問題から作問しました。チャレンジください。

問１：等式(ｘ^２−Ｎｙ^２)(ｓ^２−Ｎｔ^２)＝(ｘｓ＋Ｎｙｔ)^２―Ｎ(ｘｔ＋ｙｓ)^２を証明せよ。
　　　（注：この等式をブラーマグプタの恒等式という）

　ペル方程式とはＮを平方式でない自然数、ｍを０でない整数とするとき、ｘ^２−Ｎｙ^２＝ｍ という型の不定方程式をいいます。ここで、方程式 ｘ^２−Ｎｙ^２＝ｍ をＰ_ｍと書くことにします。(ｘ，ｙ)はＰ_ｍ の自然数解で、(ｓ，ｔ)はＰ_ｎ の自然数解であるとすると、問１の右辺はペル方程式の形をしています。左辺はｍｎですから、(ｘｓ＋Ｎｙｔ，ｘｔ＋ｙｓ)はペル方程式Ｐ_ｍｎの自然数解です。
　例えば、ｘ^２−２ｙ^２＝―２の自然数解とｓ^２−２ｔ^２＝ｎ（２月８日に変数の文字を訂正）の自然数解から、Ｐ_―２ｎの自然数解(ｘｓ＋２ｙｔ，ｘｔ＋ｙｓ)を作り出すことができます。
ここで、Ｐ_―２の自然数解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)とＰ_１の自然数解(ｓ，ｔ)からＰ_―２の自然数解　
　(ｘ_ｋ＋１，ｙ_ｋ＋１)＝(ｘ_ｋｓ＋２ｙ_ｋｔ，ｘ_ｋｔ＋ｙ_ｋｓ)が出てきます。ここから問題にします。

問２：Ｐ_１の最小自然数解(ｓ，ｔ)を求めよ。
問３：Ｐ_―２の最小自然数解(ｘ_１，ｙ_１)を求めよ。
問４：これらを利用して、Ｐ_―２の自然数解(ｘ_２，ｙ_２)、(ｘ_３，ｙ_３) 、(ｘ_４，ｙ_４)を求めよ。
問５：次に、Ｐ_―２の一般解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)を、ｋを用いて表せ。
問６：また、ｘ^２−２ｙ^２＝１の一般解(ｘ_ｋ，ｙ_ｋ)を、ｋを用いて表せ。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。