平成１８年２月１９日

[流れ星]

　　　　　第16８回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：２月１９日〜３月１２日

［平方数の和と差］

皆さん、次のような自然数Ｎに関する定理を知っていますか。

定理１：自然数Ｎ＝２^ｋ（ｋ＝０，１，２，・・・）は連続する自然数の和で表されない。これを証明せよ。

定理２：自然数Ｎを連続する自然数の和で表す方法の数は、その自然数の奇数の約数の個数である。これを証明せよ。

問題１：例えば、１＝１−４＋９−１６−２５＋３６
　　　　　　　　２＝−１−４−９＋１６
　　　　　　　　３＝−１＋４
　　　　　　　　４＝−１−４＋９・・・
　　　　ようにある自然数は連続する平方数の和と差で表すことができます。
　　　では、５から１０までの自然数を連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか調べてください。

問題２：すべての自然数は連続する平方数の和と差で表すことができるかどうか。正しければ証明を、正しくなければ反例を挙げてください。

問題３：特に、自然数２００６は平方数の和と差で表すことができるかどうか。教えてください。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。