平成１８年４月２日

[流れ星]

　　　　　第1７０回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：４月２日〜４月２３日

［ｎ個の鍵］

皆さん、ここにｎ個の扉があって、１からｎまでのどれかの鍵で扉を開くことができます。ただし、どの鍵もどれか１つの扉にだけを開くことができるものとする。ここで、太郎さんはそのことを知っているものとする。太郎さんは扉の前に来て鍵をどれか見つけて差し込み、開かなければ次々に別の鍵を試し、開ければ次の扉へと進む。
　さて、鍵を１つ差し込んで開けるかどうかを試みるのに１分かかるとすると、太郎さんがすべての扉を開けるまでに鍵を差し込む時間の合計の期待値は何分だろうか。次の問に答えてください。

問題１：ｎ＝１のときの期待値を求めよ。
問題２：ｎ＝２のときの期待値を求めよ。
問題３：ｎ＝３のときの期待値を求めよ。
問題４：ｎ＝４のときの期待値を求めよ。
問題５：ｎ個の扉をすべて開けるまでに試みる時間の期待値を求めよ。

　 ＜出典：大学への数学1996年６月号学力コンテストからの改題＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。