平成１８年６月１０日

[流れ星]

　　　　　第1７２回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：５月１４日〜６月１１日

［垂足三角形（２）］

皆さん、以前に第114回応募問題で「垂足三角形」を出題しました。
今回はその(２)です。

△ ＡＢＣが与えられている。Ｐを△ＡＢＣの内部の点とし、Ｄ、Ｅ、Ｆをそれぞれ点Ｐから辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢにおろした垂線の足とする。このとき、

ｍ＝ＢＣ／ＰＤ＋ＣＡ／ＰＥ＋ＡＢ／ＰＦ　を最小にする点Ｐの位置を探しなさい。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。

「Kashiwagi「さんから１３日午後９時２６分に ご指摘を受けました。

お世話になります。今回の問題はやったことがあるなと思い調べましたら１０８回で既に出ておりました。
もし可能であれば問題を代えて頂ければと思います。宜しくお願い申し上げます。　

＜水の流れコメント：大変失礼なことをしました。変更をしまして、明日にでも１７３回にさせて頂きます。

ＮＯ１「uchinyan」5/14　15時00分受信 更新6/10
　
　第１７２回数学的な応募問題への解答　［垂足三角形（２）］

私は、第155回からの参加で、第108回はやったことがなかったので、一応、考えてみました。
最初、悩みましたが、ふと閃いたら、恐ろしく簡単でした ^^/

まず、ちょっと唐突ですが、△ABC の面積 S を考えてみます。
S = △ABC = △PBC + △PCA + △PAB = 1/2 * BC * PD + 1/2 * CA * PE + 1/2 * AB * PF
2S = BC * PD + CA * PE + AB * PF
そこで、これまたちょっと唐突ですが、m * 2S を考えてみます。
m * 2S = (BC/PD + CA/PE + AB/PF) * (BC * PD + CA * PE + AB * PF)
ここで、各辺は 0 以上なのに注意をして、
= ((sqrt(BC/PD))^2 + (sqrt(CA/PE))^2 + (sqrt(AB/PF))^2)
* ((sqrt(BC * PD))^2 + (sqrt(CA * PE))^2 + (sqrt(AB * PF))^2)
コーシー・シュワルツの不等式を使って変形すると、
>= (sqrt(BC/PD) * sqrt(BC * PD) + sqrt(CA/PE) * sqrt(CA * PE) + sqrt(AB/PF) * sqrt(AB * PF))^2
= (sqrt(BC^2) + sqrt(CA^2) + sqrt(AB^2))^2
= (BC + CA + AB)^2
そこで、
m >= (BC + CA + AB)^2 * 1/(2S)
ただし、等号は、
sqrt(BC * PD)/sqrt(BC/PD) = sqrt(CA * PE)/sqrt(CA/PE) = sqrt(AB * PF)/sqrt(AB/PF)
PD = PE = PF
です。ここで、最終的な不等式の右辺は、△ABC が確定していれば一定の定数なので、
m は等号が成立するときに最小値をとります。
等号成立条件の PD = PE = PF は、D, E, F が垂線の足であることを考慮すると、
点 P は、明らかに、△ABC の内心になります。

(感想)
発想が唐突なのが、ちょっとなぁ、とも思うのですが、何か有名な不等式が使えないかな、と考えていて、
この解法を見つけました。
もっと図形的に納得できる解法があるのでしょうか？
後で、第108回をチェックしておきますね。