平成１８年６月１０日

[流れ星]

　　　　　第1７４回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：６月１１日〜７月２日

［リーグ戦の勝ち点表］

皆さん、2006年ワールドカップのサッカー１次リーグの勝ち点表について興味を持っていませんか。前後半９０分の試合を行って、
勝ったら勝ち点３点、引き分けたら勝ち点１点、負けたら０点となっています。

ここで、３チームがリーグ戦を行った場合を考えてみます。

Ａ、Ｂ、Ｃの３チームがリーグ戦をすると、試合数は_３Ｃ_２＝３通り。
それぞれの試合について、一方が勝つ場合、負ける場合、引き分けの場合と３通りの勝敗が考えられるので、
３^３＝２７通りのケースが考えられます。それらをすべて数えてみると、勝ち点表は７通りありました。

• ６−３−０　・・・６通り（２勝するチームが３通り×１勝するチームが２通り）
• ６−１−１　・・・３通り（２勝するチームが３通り）
• ４−３−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×１勝のチームが２通り）
• ４−２−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×２引き分けのチームが２通り）
• ４−４−０　・・・３通り（１勝１引き分けが２チームで３通り）
• ３−３−３　・・・２通り（３すくみ状態）
• ２−２−２　・・・１通り（すべて引き分け）
  
  

そこで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４チームが１次リーグを戦います。試合数は_４Ｃ_２＝６通り。
それぞれの試合について、一方が勝つ場合、負ける場合、引き分けの場合と３通りの勝敗が考えられるので、
６^３＝７２９通りのケースが考えられます。

問題１：勝ち点表は何通りありますか。

問題２：それぞれの勝ち点表は７２９通りの中で何通りずつありますか。

＜水の流れ：これは４年前からの課題でして、実際に計算することをしていません。教えてください。＞

参考に、４年前に日本・韓国で開催されたワールドカップのときに考えた第100回の応募問題「１次リーグの勝点」をご覧下さい。
Ａグループ順位表

順位	国	ドイツ	エクアドル	ポーランド	コスタリカ	勝点	得点	失点	得失点
１	ドイツ	×	○３−０	○１−０	○４−２	９	８	２	＋６
２	エクアドル	●０−３	×	○２−０	○３−０	６	５	３	＋２
３	ポーランド	●０−１	●０−２	×	○２−１	３	２	４	―２
４	コスタリカ	●２−４	●０−３	●１−２	×	０	３	９	―６

Ｂグループ順位表

順位	国	イングランド	スウェーデン	パラグアイ	トリニダード	勝点	得点	失点	得失点
１	イングランド	×	△２−２	○１−０	○２−０	７	５	２	＋３
２	スウェーデン	△２−２	×	○１−０	△０−０	５	３	２	＋１
３	パラグアイ	●０−１	●０−１	×	○２−０	３	２	２	０
４	トリニダード	●０−２	△０−０	●０−２	×	１	０	４	―４

Ｃグループ順位表

順位	国	アルゼンチン	オランダ	コートジボワール	セルビア・モンテ	勝点	得点	失点	得失点
１	アルゼンチン	×	△０−０	○２−１	○６−０	７	８	１	＋７
２	オランダ	△０−０	×	○２−１	○１−０	７	３	１	＋２
３	コートジボワール	●１−２	●１−２	×	○３−２	３	５	６	―１
４	セルビア・モンテ	●０−６	●０−１	●２−３	×	０	２	１０	―８

Ｄグループ順位表

順位	国	ポルトガル	メキシコ	アンゴラ	イラン	勝点	得点	失点	得失点
１	ポルトガル	×	○２−１	○１−０	○２−０	９	５	１	＋４
２	メキシコ	●１−２	×	△０−０	○３−１	４	４	３	＋１
３	アンゴラ	●０−１	△０−０	×	△１−１	２	１	２	―１
４	イラン	●０−２	●１−３	△１−１	×	１	２	６	―４

Ｅグループ順位表

順位	国	イタリア	ガーナ	チェコ	アメリカ	勝点	得点	失点	得失点
１	イタリア	×	○２−０	○２−０	△１−１	７	５	１	＋４
２	ガーナ	●０−２	×	○２−０	○２−１	６	４	３	＋１
３	チェコ	●０−２	●０−２	×	○３−０	３	３	４	―１
４	アメリカ	△１−１	●１−２	●０−３	×	１	２	６	―４

Ｆグループ順位表

順位	国	ブラジル	オーストラリア	クロアチア	日　本	勝点	得点	失点	得失点
１	ブラジル	×	○２−０	○１−０	○４−１	９	７	１	＋６
２	オーストラリア	●０−２	×	△２−２	○３−１	４	５	５	０
３	クロアチア	●０−１	△２−２	×	△０−０	２	２	３	―１
４	日　本	●１−４	●１−３	△０−０	×	１	２	７	―５

Ｇグループ順位表

順位	国	スイス	フランス	韓国	トーゴ	勝点	得点	失点	得失点
１	スイス	×	△０−０	○２−０	○２−０	７	４	０	＋４
２	フランス	△０−０	×	△１−１	○２−０	５	３	１	＋２
３	韓国	●０−２	△１−１	×	○２−１	４	３	４	―１
４	トーゴ	●０−２	●０−２	●１−２	×	０	１	６	―５

Ｈグループ順位表

順位	国	スペイン	ウクライナ	チュニジア	サウジアラビア	勝点	得点	失点	得失点
１	スペイン	×	○４−０	○３−１	○１−０	９	８	１	＋７
２	ウクライナ	●０−４	×	○１−０	○４−０	６	５	４	＋１
３	チュニジア	●１−３	●０−１	×	△２−２	１	３	６	―３
４	サウジアラビア	●０−１	●０−４	△２−２	×	１	２	７	―５

決勝トーナメント「１回戦」

（１）ドイツ２：１スウェーデン（２）アルゼンチン２：１メキシコ　（３）イタリア１　：　０　オーストラリア　

（４）ウクライナ０（ＰＫ３−０）：０スイス　（５）イングランド１：０エクアドル（６）ポルトガル１：０オランダ

（７）ブラジル３：０ガーナ　（８）フランス３：１スペイン

「２回戦」

（１）ドイツ１（ＰＫ４−２）：１アルゼンチン　（２）イタリア３：０ウクライナ　（３）ポルトガル０（ＰＫ３−１）：０イングランド

（４）フランス１：０ブラジル

「準決勝」　

（１）イタリア２：０ドイツ　（２）フランス１：０ポルトガル

「決勝」　イタリア１（ＰＫ５−３）：１フランス　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「３位決定戦」ドイツ３：１ポルトガル

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。