平成１８年７月２日

[流れ星]

　　　　　第1７４回数学的な応募問題解答ＮＯ２

　　　　　　＜解答募集期間：６月１１日〜７月２日

［リーグ戦の勝ち点表］

皆さん、2006年ワールドカップのサッカー１次リーグの勝ち点表について興味を持っていませんか。前後半９０分の試合を行って、
勝ったら勝ち点３点、引き分けたら勝ち点１点、負けたら０点となっています。

ここで、３チームがリーグ戦を行った場合を考えてみます。

Ａ、Ｂ、Ｃの３チームがリーグ戦をすると、試合数は_３Ｃ_２＝３通り。
それぞれの試合について、一方が勝つ場合、負ける場合、引き分けの場合と３通りの勝敗が考えられるので、
３^３＝２７通りのケースが考えられます。それらをすべて数えてみると、勝ち点表は７通りありました。

• ６−３−０　・・・６通り（２勝するチームが３通り×１勝するチームが２通り）
• ６−１−１　・・・３通り（２勝するチームが３通り）
• ４−３−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×１勝のチームが２通り）
• ４−２−１　・・・６通り（１勝１引き分けのチームが３通り×２引き分けのチームが２通り）
• ４−４−０　・・・３通り（１勝１引き分けが２チームで３通り）
• ３−３−３　・・・２通り（３すくみ状態）
• ２−２−２　・・・１通り（すべて引き分け）
  
  

そこで、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４チームが１次リーグを戦います。試合数は_４Ｃ_２＝６通り。
それぞれの試合について、一方が勝つ場合、負ける場合、引き分けの場合と３通りの勝敗が考えられるので、
６^３＝７２９通りのケースが考えられます。

問題１：勝ち点表は何通りありますか。

問題２：それぞれの勝ち点表は７２９通りの中で何通りずつありますか。

＜水の流れ：これは４年前からの課題でして、実際に計算することをしていません。教えてください。＞

参考に、４年前に日本・韓国で開催されたワールドカップのときに考えた第100回の応募問題「１次リーグの勝点」をご覧下さい。

Ｎｏ４「kasama」 6/28　14時45分受信 更新7/2
＜コメント：今回からまた参加させて頂こうかと思いまして、問題に取り組みました。勝ち点表が少なければ、うまく場合分けして数え上げるのが良いと思います。しかし、さすがに40通りもあると、数え上げの大部分は単純作業でしょうから、プログラムに数えてもらうのが楽と思います。＞

プログラムで調べた結果、勝ち点表は以下の40通りでした。

勝ち点表	場合数
9-6-3-0	24
9-6-1-1	12
9-4-4-0	12
9-4-3-1	24
9-4-2-1	24
9-3-3-3	8
9-2-2-2	4
7-7-3-0	12
7-7-1-1	6
7-6-4-0	24

勝ち点表	場合数
7-6-3-1	24
7-6-2-1	24
7-5-4-0	24
7-5-3-1	24
7-5-2-1	24
7-4-4-1	36
7-4-3-3	24
7-4-3-2	24
7-4-3-1	24
7-4-2-2	24

勝ち点表	場合数
7-3-2-2	12
6-6-6-0	8
6-6-4-1	24
6-6-3-3	24
6-5-4-1	24
6-5-2-2	12
6-4-4-3	36
6-4-4-2	24
5-5-5-0	4
5-5-4-1	24

勝ち点表	場合数
5-5-3-2	12
5-5-3-1	12
5-5-2-2	12
5-4-4-3	24
5-4-4-2	24
5-4-3-2	24
5-3-3-2	12
4-4-4-4	6
4-4-4-3	8
3-3-3-3	1

「kasama」 6/28　23時44分受信 更新7/2

「kasama」 6/29　09時58分受信 更新7/2
＜コメント：お待たせしました。５チームと６チームの表を添付します。７チーム以上やるとデータが急激に膨れ上がる＞
【５チームの場合】
プログラムで調べた結果、勝ち点表は以下の355通りでした。

勝ち点表	場合数
9-9-9-3-0	40
9-9-9-1-1	20
9-9-7-4-0	120
9-9-7-3-1	120
9-9-7-2-1	120
9-9-6-6-0	120
9-9-6-4-1	240
9-9-6-3-3	240
9-9-5-4-1	120
9-9-5-2-2	60
9-9-4-4-3	180
9-9-4-4-2	120
9-8-7-4-0	120
9-8-7-3-1	120
9-8-7-2-1	120
9-8-6-4-1	120
9-8-6-2-2	60
9-8-5-5-0	60
9-8-5-4-1	240
9-8-5-3-2	120
9-8-5-3-1	120
9-8-5-2-2	120
9-8-4-4-3	120
9-8-4-4-2	120
9-8-4-3-2	120
9-8-3-3-2	60
9-7-7-6-0	180
9-7-7-5-0	120
9-7-7-4-1	420
9-7-7-3-3	180
9-7-7-3-2	120
9-7-7-3-1	120
9-7-7-2-2	120
9-7-6-6-1	240
9-7-6-5-1	360
9-7-6-4-3	840
9-7-6-4-2	480
9-7-6-4-1	120
9-7-6-2-2	60
9-7-5-5-1	240
9-7-5-4-3	600
9-7-5-4-2	600
9-7-5-3-2	240
9-7-4-4-4	300
9-7-4-4-3	240
9-6-6-6-3	280
9-6-6-4-4	300
9-6-5-5-2	180
9-6-5-5-1	60
9-6-5-4-4	360
9-6-5-4-2	120
9-6-5-3-2	120
9-6-4-4-4	40
9-6-3-3-3	20
9-5-5-5-3	80
9-5-5-5-2	120
9-5-5-4-4	240
9-5-5-4-3	180
9-5-5-3-3	60
8-8-8-3-0	20
8-8-8-1-1	10
8-8-7-4-0	120
8-8-7-3-1	120
8-8-7-2-1	120
8-8-6-5-0	60
8-8-6-4-1	120
8-8-6-4-0	60
8-8-6-3-2	60
8-8-6-3-1	120
8-8-6-2-2	60
8-8-6-2-1	60
8-8-5-5-0	60
8-8-5-4-1	300
8-8-5-3-3	60
8-8-5-3-2	120
8-8-5-3-1	120
8-8-5-2-2	120
8-8-4-4-3	120
8-8-4-4-2	150
8-8-4-4-1	60
8-8-4-3-3	60
8-8-4-3-2	180
8-8-4-2-2	30
8-8-3-3-2	60
8-7-7-6-0	120
8-7-7-5-0	120
8-7-7-4-1	420
8-7-7-3-3	120
8-7-7-3-2	120
8-7-7-3-1	120

勝ち点表	場合数
8-7-7-2-2	150
8-7-6-6-1	120
8-7-6-5-1	360
8-7-6-5-0	120
8-7-6-4-3	480
8-7-6-4-2	360
8-7-6-4-1	360
8-7-6-3-2	240
8-7-6-3-1	120
8-7-6-2-2	180
8-7-5-5-1	420
8-7-5-4-3	600
8-7-5-4-2	960
8-7-5-4-1	120
8-7-5-3-3	120
8-7-5-3-2	600
8-7-4-4-4	300
8-7-4-4-3	240
8-7-4-4-2	120
8-7-4-3-3	120
8-7-4-3-2	120
8-7-3-3-3	60
8-6-6-5-2	120
8-6-6-5-1	120
8-6-6-5-0	60
8-6-6-4-4	120
8-6-6-4-2	120
8-6-6-4-1	120
8-6-6-3-2	180
8-6-6-3-1	60
8-6-6-2-2	60
8-6-5-5-3	180
8-6-5-5-2	240
8-6-5-5-1	300
8-6-5-4-4	360
8-6-5-4-3	480
8-6-5-4-2	600
8-6-5-4-1	120
8-6-5-3-3	180
8-6-5-3-2	480
8-6-4-4-4	120
8-6-4-4-3	120
8-6-4-4-2	120
8-6-4-3-3	120
8-6-4-3-2	120
8-6-3-3-3	60
8-5-5-5-3	120
8-5-5-5-2	240
8-5-5-4-4	420
8-5-5-4-3	420
8-5-5-4-2	180
8-5-5-3-3	180
8-5-4-4-4	120
8-5-4-4-3	120
8-5-4-4-2	60
8-5-4-3-3	120
8-4-4-3-3	30
7-7-7-7-0	30
7-7-7-6-1	180
7-7-7-6-0	40
7-7-7-5-1	240
7-7-7-4-3	300
7-7-7-4-2	300
7-7-7-4-1	40
7-7-7-3-3	40
7-7-7-3-2	120
7-7-6-6-3	300
7-7-6-6-2	120
7-7-6-6-1	120
7-7-6-5-3	360
7-7-6-5-2	360
7-7-6-5-1	240
7-7-6-4-4	570
7-7-6-4-3	480
7-7-6-4-2	240
7-7-6-3-2	120
7-7-5-5-3	240
7-7-5-5-2	420
7-7-5-4-4	720
7-7-5-4-3	480
7-7-5-4-2	120
7-7-5-3-3	120
7-7-4-4-4	120
7-6-6-6-4	240
7-6-6-5-4	480
7-6-6-5-2	240
7-6-6-5-1	120
7-6-6-4-4	240
7-6-6-4-2	120
7-6-6-3-2	120

勝ち点表	場合数
7-6-5-5-4	600
7-6-5-5-3	360
7-6-5-5-2	420
7-6-5-4-4	480
7-6-5-4-3	360
7-6-5-4-2	120
7-6-5-3-3	180
7-6-4-3-3	60
7-5-5-5-4	420
7-5-5-5-3	240
7-5-5-4-4	180
7-5-5-4-3	120
6-6-6-6-6	24
6-6-6-6-0	5
6-6-6-5-2	60
6-6-6-5-1	60
6-6-6-4-2	60
6-6-6-4-1	20
6-6-6-3-3	50
6-6-6-3-2	60
6-6-5-5-5	60
6-6-5-5-4	180
6-6-5-5-3	180
6-6-5-5-2	180
6-6-5-4-4	120
6-6-5-4-3	180
6-6-5-4-2	120
6-6-5-3-3	120
6-6-4-4-3	60
6-6-4-4-2	30
6-6-4-3-3	60
6-5-5-5-5	60
6-5-5-5-4	240
6-5-5-5-3	160
6-5-5-4-4	120
6-5-5-4-3	120
6-5-4-4-3	60
6-4-4-4-3	20
5-5-5-5-5	24
5-5-5-5-4	30
5-5-5-4-4	20
4-4-4-4-4	1
12-9-6-3-0	120
12-9-6-1-1	60
12-9-4-4-0	60
12-9-4-3-1	120
12-9-4-2-1	120
12-9-3-3-3	40
12-9-2-2-2	20
12-7-7-3-0	60
12-7-7-1-1	30
12-7-6-4-0	120
12-7-6-3-1	120
12-7-6-2-1	120
12-7-5-4-0	120
12-7-5-3-1	120
12-7-5-2-1	120
12-7-4-4-1	180
12-7-4-3-3	120
12-7-4-3-2	120
12-7-4-3-1	120
12-7-4-2-2	120
12-7-3-2-2	60
12-6-6-6-0	40
12-6-6-4-1	120
12-6-6-3-3	120
12-6-5-4-1	120
12-6-5-2-2	60
12-6-4-4-3	180
12-6-4-4-2	120
12-5-5-5-0	20
12-5-5-4-1	120
12-5-5-3-2	60
12-5-5-3-1	60
12-5-5-2-2	60
12-5-4-4-3	120
12-5-4-4-2	120
12-5-4-3-2	120
12-5-3-3-2	60
12-4-4-4-4	30
12-4-4-4-3	40
12-3-3-3-3	5
10-9-7-3-0	120
10-9-7-1-1	60
10-9-6-4-0	120
10-9-6-3-1	120
10-9-6-2-1	120
10-9-5-4-0	120
10-9-5-3-1	120
10-9-5-2-1	120

勝ち点表	場合数
10-9-4-4-1	180
10-9-4-3-3	120
10-9-4-3-2	120
10-9-4-3-1	120
10-9-4-2-2	120
10-9-3-2-2	60
10-8-7-3-0	120
10-8-7-1-1	60
10-8-6-4-0	120
10-8-6-3-1	120
10-8-6-2-1	120
10-8-5-4-0	120
10-8-5-3-1	120
10-8-5-2-1	120
10-8-4-4-1	180
10-8-4-3-3	120
10-8-4-3-2	120
10-8-4-3-1	120
10-8-4-2-2	120
10-8-3-2-2	60
10-7-7-4-0	180
10-7-7-3-1	180
10-7-7-2-1	180
10-7-6-6-0	120
10-7-6-5-0	120
10-7-6-4-1	480
10-7-6-4-0	120
10-7-6-3-3	240
10-7-6-3-2	120
10-7-6-3-1	240
10-7-6-2-2	120
10-7-6-2-1	120
10-7-5-5-0	120
10-7-5-4-1	720
10-7-5-3-3	120
10-7-5-3-2	240
10-7-5-3-1	240
10-7-5-2-2	300
10-7-4-4-3	420
10-7-4-4-2	420
10-7-4-4-1	120
10-7-4-3-3	120
10-7-4-3-2	360
10-7-4-2-2	60
10-7-3-3-2	120
10-6-6-6-1	40
10-6-6-5-1	120
10-6-6-4-3	240
10-6-6-4-2	120
10-6-6-4-1	120
10-6-6-2-2	60
10-6-5-5-1	120
10-6-5-5-0	60
10-6-5-4-3	360
10-6-5-4-2	360
10-6-5-4-1	240
10-6-5-3-2	240
10-6-5-3-1	120
10-6-5-2-2	120
10-6-4-4-4	180
10-6-4-4-3	240
10-6-4-4-2	120
10-6-4-3-2	120
10-6-3-3-2	60
10-5-5-5-1	140
10-5-5-4-3	240
10-5-5-4-2	420
10-5-5-4-1	60
10-5-5-3-3	60
10-5-5-3-2	300
10-5-4-4-4	240
10-5-4-4-3	240
10-5-4-4-2	120
10-5-4-3-3	120
10-5-4-3-2	120
10-5-3-3-3	60
10-4-4-4-4	40
10-4-3-3-3	20
10-10-6-3-0	60
10-10-6-1-1	30
10-10-4-4-0	30
10-10-4-3-1	60
10-10-4-2-1	60
10-10-3-3-3	20
10-10-2-2-2	10

【６チームの場合】
 プログラムで調べた結果、勝ち点表は以下の3678通りでした。

＜水の流れ：結果の表が寄せられましたが、容量が大変多く掲載を勝手ながら割愛させていたがきます。＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。