平成１８年7月2日
[流れ星]
第1７5回数学的な応募問題
＜解答募集期間：7月2日～７月30日
［特製正ｎ面体サイコロ］
皆さん、一般に普通のサイコロは正６面体で、目は自然数の１から６が書いてあります。
ここで、２個のサイコロを投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようであるような特製のサイコロを考えます。
だから、２つのサイコロは同一ある必要はないですし、その目が６以下である必要もない。また、すべて異なる目である必要もありません。このような問題を第２０回応募問題「特性のサイコロ」として出題しました。これの拡張問題です。
問１：正４面体のサイコロを２個投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようであるような特製のサイコロの目を考えてください。
問２：正八面体のサイコロを２個投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようであるような特製のサイコロの目を考えてください。
問３：正十二面体のサイコロを２個投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようであるような特製のサイコロの目を考えてください。
問４：正二十面体のサイコロを２個投げたとき、目の和の出方が普通のサイコロと同じようであるような特製のサイコロの目を考えてください。
ＮＯ１「uchinyan」7/04 16時42分受信 更新7/30
第１７５回数学的な応募問題
［特製正ｎ面体サイコロ］
今回は、題意がよく分かっていません (^^; 完全に誤解している可能性があります。
題意がつかめなかったのですが、第２０回応募問題「特製のサイコロ」の考え方の延長として、検討してみました。
したがって、各問の「普通のサイコロ」とは、正六面体のサイコロではなくて、各問の正n面体の面に 1 ～ n の数字が一つずつあるものが二つ、と考えています。個人的には、正直言って、正六面体でないサイコロは、全然「普通」ではないのですが．．．
基本的な考え方は、http://www.junko-k.com/cthema/25saikor.htm
で junko さんが与えているものに従ってみました。
その手法は強力ですが、試行錯誤的なので、解のすべてを尽くしている保証はありません。
私自身でも少し検討してみましたが、残念ながら、詰め切れていません。
これは、[考察1]を参照してください。
したがって、ここで示したものは、解の一部の可能性があります。
なお、「普通のサイコロ」が正六面体の通常のサイコロだったらどうなりそうか、も、
別途、[考察2]で、少しだけ、検討してみました。
問題1：
http://www.junko-k.com/cthema/25saikor.htm
で junko さんの方法に従って、
普通の正四目体のサイコロ二つの目の和の出方は、(x + x^2 + x^3 + x^4) * (x + x^2 + x^3 + x^4) を展開した際の各項の指数になっていることを使います。
そして、これに一致するように、x + x^2 + x^3 + x^4 を因数分解して、組み合わせを変えて、
普通の正四面体のサイコロと違う目のふりかたがされている正四面体のサイコロ二つを考えます。
x + x^2 + x^3 + x^4 の因数分解を、取り敢えず、係数が整数の範囲で考えてみます。
整数の範囲に限るのは、最終的な展開した式の係数が、目の和の出現の回数を与えるからです。
実数、複素数まで広げて、再度組み合わせたときに、係数が整数の範囲になるためには、計算の途中でうまく組み合わせて整数になっているはずで、恐らく、これで十分なんだろう、と思うのですが、明確には分かりません。
なお、因数分解の係数には負の整数も許しておきますが、
最終的な展開した式の係数は、0 以上の整数になっていないといけないので、うまく組み合わせで、係数を 0 以上の整数にする必要があります。
さらに、二つの面の数が同じサイコロを構成するためには、項数が同じ二つの式を作る必要もあります。
取り敢えず、この範囲及び条件でやってみると、
x + x^2 + x^3 + x^4 = x * (1 + x + x^2 + x^3) = x * (1 + x) * (1 + x^2)
因数分解はここまでです。
新たな組み合わせは、(1 + x) と (1 + x^2) の入れ替えの 1 通りだけで、具体的には、
(x + x^2 + x^3 + x^4) * (x + x^2 + x^3 + x^4)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * x * (1 + x) * (1 + x^2)
= x * (1 + x) * (1 + x) * x * (1 + x^2) * (1 + x^2)
= (x + x^2 + x^2 + x^3) * (x + x^3 + x^3 + x^5)
で、サイコロの目は、
(1,2,2,3) と (1,3,3,5)
になります。
問題2：
同様にして、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 の因数分解を、係数が整数の範囲で考えてみます。
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8
= x * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7)
= x * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4 + x^6)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4)
因数分解はここまでです。新たな組み合わせは、
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^2) と x * (1 + x^2) * (1 + x^4) * (1 + x^4)
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^4) と x * (1 + x^2) * (1 + x^2) * (1 + x^4)
x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^2) と x * (1 + x) * (1 + x^4) * (1 + x^4)
の3通りです。そこで、サイコロの目は、
(x + x^2 + x^2 + x^3 + x^3 + x^4 + x^4 + x^5) と (x + x^3 + x^5 + x^5 + x^7 +
x^7 + x^9 + x^11)
(x + x^2 + x^2 + x^3 + x^5 + x^6 + x^6 + x^7) と (x + x^3 + x^3 + x^5 + x^5 +
x^7 + x^7 + x^9)
(x + x^2 + x^3 + x^3 + x^4 + x^4 + x^5 + x^6) と (x + x^2 + x^5 + x^5 + x^6 +
x^6 + x^9 + x^10)
より、
(1,2,2,3,3,4,4,5) と (1,3,5,5,7,7,9,11)
(1,2,2,3,5,6,6,7) と (1,3,3,5,5,7,7,9)
(1,2,3,3,4,4,5,6) と (1,2,5,5,6,6,9,10)
になります。
問題3：
同様にして、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 の因数分解を、係数が整数の範囲で考えてみます。
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12
= x * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11)
= x * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^10)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^2 + x^4) * (1 - x^2 + x^4)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x + x^2) * (1 - x + x^2) * (1 - x^2 + x^4)
あまり自信はないのですが、因数分解はここまで、と思われます。後の[考察1]を参照。
これから、係数を 0 以上の整数にするには、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8)
or
= x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x^2 + x^4)
or
= x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1 + x + x^2)
が考えられます。これ以外にないことは、実際にやってみた範囲ではできそうにないので、多分．．．
新たな組み合わせは、組み合わせ後の項数がそれぞれ12になる必要があることに注意すると、
次のとおりになります。
(1) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 +
x^4 + x^8)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x^2) * (1 + x^2) * (1 + x^4
+ x^8)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10
+ x^02 + x^03 + x^06 + x^07 + x^10 + x^11) と
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13)
より、
(1-1) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11) と (1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13)
(2) x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 +
x^2 + x^4)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x^6) * (1 + x^6) * (1 + x^2
+ x^4)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06
+ x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07) と
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17)
より、
(2-1) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17)
(3) x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1 + x + x^2) と x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1
+ x + x^2)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x^3) * (1 + x^3) * (1 + x + x^2) と x * (1 + x^6) * (1 + x^6) * (1 + x
+ x^2)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06
+ x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^07 + x^08 + x^09
+ x^07 + x^08 + x^09 + x^13 + x^14 + x^15)
より、
(3-1) (1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9) と (1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15)
(4) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 +
x^2 + x^4)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x^2) * (1 + x^6) * (1 + x^2
+ x^4)
x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^2
+ x^4)
x * (1 + x^2) * (1 + x^6) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^2
+ x^4)
の3通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10
+ x^02 + x^03 + x^06 + x^07 + x^10 + x^11) と
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13)
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10
+ x^07 + x^08 + x^11 + x^12 + x^15 + x^16) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06
+ x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06
+ x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07)
より、
(4-1) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11) と (1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13)
(4-2) (1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16) と (1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8)
(4-3) (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) と (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7)
(5) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1
+ x + x^2)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x^3) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x^2) * (1 + x^6) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x^2) * (1 + x^3) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x^2) * (1 + x^3) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x^2) * (1 + x^6) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^3) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1 + x^4 + x^8) と x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x
+ x^2)
の5通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10
+ x^04 + x^05 + x^08 + x^09 + x^12 + x^13) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^05
+ x^07 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10 + x^11)
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10
+ x^07 + x^08 + x^11 + x^12 + x^15 + x^16) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^05
+ x^04 + x^05 + x^06 + x^06 + x^07 + x^08)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^04 + x^06 + x^08 + x^10 + x^12 + x^14) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04
+ x^07 + x^08 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04
+ x^04 + x^05 + x^05 + x^06 + x^06 + x^07)
( x^01 + x^04 + x^05 + x^08 + x^09 + x^12
+ x^07 + x^10 + x^11 + x^14 + x^15 + x^18) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04
+ x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06)
より、
(5-1) (1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13) と (1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11)
(5-2) (1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16) と (1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8)
(5-3) (1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14) と (1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10)
(5-4) (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) と (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7)
(5-5) (1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18) と (1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6)
(6) x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1
+ x + x^2)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x^3) * (1 + x^6) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x) * (1 + x^6) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x^6) * (1 + x^6) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x) * (1 + x^3) * (1 + x
+ x^2)
x * (1 + x) * (1 + x^3) * (1 + x^2 + x^4) と x * (1 + x^6) * (1 + x^6) * (1 + x
+ x^2)
の3通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^08
+ x^07 + x^09 + x^10 + x^11 + x^12 + x^14) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04
+ x^07 + x^08 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11
+ x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04
+ x^04 + x^05 + x^05 + x^06 + x^06 + x^07)
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06
+ x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^07 + x^08 + x^09
+ x^07 + x^08 + x^09 + x^13 + x^14 + x^15)
より、
(6-1) (1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14) と (1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10)
(6-2) (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) と (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7)
(6-3) (1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9) と (1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15)
考えられる可能性は以上の 14 通りですが、具体的なサイコロの目は、若干並べ替えてみると、
(1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6) と (1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18) ... (5-5)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) ... (2-1)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) ... (4-3)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) ... (5-4)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) ... (6-2)
(1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10) と (1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14) ... (5-3)
(1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10) と (1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14) ... (6-1)
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8) と (1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16) ... (4-2)
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8) と (1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16) ... (5-2)
(1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11) と (1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13) ... (5-1)
(1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11) と (1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13) ... (1-1)
(1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11) と (1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13) ... (4-1)
(1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9) と (1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15) ... (3-1)
(1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9) と (1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15) ... (6-3)
と、同じものが幾つかあります。
これは、項数が 12 より小さい式で因数分解した形が違っていても、
項数 12 の二つの式にしたときに一致してしまう可能性があるからです。
これを除くと、結局、全部で 7 通りで、具体的なサイコロの目は次のとおり。
(1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6) と (1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18) ... (5-5)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7) と (1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17) ... (2-1), (4-3),
(5-4), (6-2)
(1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10) と (1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14) ... (5-3), (6-1)
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8) と (1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16) ... (4-2), (5-2)
(1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11) と (1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13) ... (5-1)
(1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11) と (1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13) ... (1-1), (4-1)
(1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9) と (1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15) ... (3-1), (6-3)
問題4：
同様にして、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20
の因数分解を、係数が整数の範囲で考えてみます。
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20
= x * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19)
= x * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^10 + x^12 + x^14 + x^16 + x^18)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) * (1 - x^2 + x^4 - x^6
+ x^8)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) * (1 - x + x^2 - x^3 +
x^4) * (1 - x^2 + x^4 - x^6 + x^8)
あまり自信はないのですが、因数分解はここまで、と思われます。後の[考察1]を参照。
これから、係数を 0 以上の整数にするには、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16)
or
= x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
or
= x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
が考えられます。これ以外にないことは、実際にやってみた範囲ではできそうにないので、多分．．．
新たな組み合わせは、組み合わせ後の項数がそれぞれ20になる必要があることに注意すると、
次のとおりになります。
(1) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x^2) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18
+ x^02 + x^03 + x^06 + x^07 + x^10 + x^11 + x^14 + x^15 + x^18 + x^19) と
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21)
より、
(1-1) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19) と
(1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21)
(2) x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x^10) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10
+ x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^11) と
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21 + x^23 + x^25 + x^27 + x^29)
より、
(2-1) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29)
(3) x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) と
x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x^5) * (1 + x^5) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4) と
x * (1 + x^10) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
の1通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10
+ x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25)
より、
(3-1) (1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15) と
(1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25)
(4) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x^2) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
x * (1 + x^2) * (1 + x^10) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8)
の3通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18
+ x^11 + x^12 + x^15 + x^16 + x^19 + x^20 + x^23 + x^24 + x^27 + x^28) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10
+ x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^11 + x^12)
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18
+ x^02 + x^03 + x^06 + x^07 + x^10 + x^11 + x^14 + x^15 + x^18 + x^19) と
( x^01 + x^03 + x^03 + x^05 + x^05 + x^07 + x^07 + x^09 + x^09 + x^11
+ x^11 + x^13 + x^13 + x^15 + x^15 + x^17 + x^17 + x^19 + x^19 + x^21)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21 + x^23 + x^25 + x^27 + x^29) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10
+ x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^11)
より、
(4-1) (1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28) と
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12)
(4-2) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19) と
(1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21)
(4-3) (1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29) と
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11)
(5) x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x) * (1 + x^5) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x^2) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x^2) * (1 + x^5) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x^2) * (1 + x^5) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x^2) * (1 + x^10) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^5) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x^4 + x^8 + x^12 + x^16) と
x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
の5通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18
+ x^06 + x^07 + x^10 + x^11 + x^14 + x^15 + x^18 + x^19 + x^22 + x^23) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06 + x^07
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^13 + x^14 + x^14 + x^15 + x^15 + x^16 + x^17)
( x^01 + x^02 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18
+ x^11 + x^12 + x^15 + x^16 + x^19 + x^20 + x^23 + x^24 + x^27 + x^28) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06 + x^07
+ x^06 + x^07 + x^08 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10 + x^10 + x^11 + x^12)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^06 + x^08 + x^10 + x^12 + x^14 + x^16 + x^18 + x^20 + x^22 + x^24) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06
+ x^11 + x^12 + x^12 + x^13 + x^13 + x^14 + x^14 + x^15 + x^15 + x^16)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21 + x^23 + x^25 + x^27 + x^29) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06
+ x^06 + x^07 + x^07 + x^08 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10 + x^10 + x^11)
( x^01 + x^05 + x^06 + x^09 + x^10 + x^13 + x^14 + x^17 + x^18 + x^22
+ x^11 + x^15 + x^16 + x^19 + x^20 + x^23 + x^24 + x^27 + x^28 + x^32) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06
+ x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06 + x^06 + x^07 + x^07 + x^08)
より、
(5-1) (1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23) と
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17)
(5-2) (1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28) と
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12)
(5-3) (1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24) と
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16)
(5-4) (1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29) と
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11)
(5-5) (1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32) と
(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8)
(6) x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
を基にした新たな組み合わせ：
x * (1 + x^5) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x^10) * (1 + x^10) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x) * (1 + x^5) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
x * (1 + x) * (1 + x^5) * (1 + x^2 + x^4 + x^6 + x^8) と
x * (1 + x^10) * (1 + x^10) * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4)
の3通りで、このとき、サイコロの目は、
( x^01 + x^03 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^12 + x^14
+ x^11 + x^13 + x^15 + x^16 + x^17 + x^18 + x^19 + x^20 + x^22 + x^24) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06
+ x^11 + x^12 + x^12 + x^13 + x^13 + x^14 + x^14 + x^15 + x^15 + x^16)
( x^01 + x^03 + x^05 + x^07 + x^09 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19
+ x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21 + x^23 + x^25 + x^27 + x^29) と
( x^01 + x^02 + x^02 + x^03 + x^03 + x^04 + x^04 + x^05 + x^05 + x^06
+ x^06 + x^07 + x^07 + x^08 + x^08 + x^09 + x^09 + x^10 + x^10 + x^11)
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10
+ x^06 + x^07 + x^08 + x^09 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15) と
( x^01 + x^02 + x^03 + x^04 + x^05 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15
+ x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15 + x^21 + x^22 + x^23 + x^24 + x^25)
より、
(6-1) (1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24) と
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16)
(6-2) (1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29) と
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11)
(6-3) (1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15) と
(1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25)
考えられる可能性は以上の 14 通りですが、具体的なサイコロの目は、若干並べ替えてみると、
(5-5) (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8) と
(1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32)
(2-1) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29)
(4-3) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29)
(5-4) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29)
(6-2) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29)
(5-3) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16) と
(1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24)
(6-1) (1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16) と
(1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24)
(1-1) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19) と
(1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21)
(4-2) (1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19) と
(1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21)
(4-1) (1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12) と
(1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28)
(5-2) (1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12) と
(1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28)
(5-1) (1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17) と
(1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23)
(3-1) (1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15) と
(1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25)
(6-3) (1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15) と
(1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25)
と、同じものが幾つかあります。
これは、項数が 20 より小さい式で因数分解した形が違っていても、
項数 20 の二つの式にしたときに一致してしまう可能性があるからです。
これを除くと、結局、全部で 7 通りで、具体的なサイコロの目は次のとおり。
(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8) と
(1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32) ... (5-5)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11) と
(1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29) ... (2-1), (4-3),
(5-4), (6-2)
(1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16) と
(1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24) ... (5-3), (6-1)
(1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19) と
(1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21) ... (1-1), (4-2)
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12) と
(1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28) ... (4-1), (5-2)
(1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17) と
(1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23) ... (5-1)
(1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15) と
(1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25) ... (3-1), (6-3)
になります。
[考察1]
今回の問題では、整数係数の因数分解がどこまでできるか、そしてその分解は一意かどうか、
などが、重要なポイントになります。
これに関しては、第１４６回数学的な応募問題解答［高次の因数分解］が参考になりそうです。
この解のうち、ＮＯ２「Toru」さん、ＮＯ５「中川幸一」さん、が、理論的検討を行っているようです、
ただし、何故か、ＮＯ５「中川幸一」さんの解法は、変な文字？が覆いかぶさっていて読めないので、
ＮＯ２「Toru」さんの解法を参考にしました。
この問題では、多項式の因数分解を係数が有理数の範囲で考えています。
今回の問題では整数の範囲が重要になりますが、因数分解すべき式の最高次数の係数が 1 なので、
有理数の範囲に広げても、等価になります。そこで、ＮＯ２「Toru」さんの次の命題が使えます。
＞命題 １の原始n乗根はφ(n)-1以下の次数の方程式の根とはならない。の証明を試みます。
＞（φ(n)はオイラー関数で、n以下でnと素な自然数の数）
この証明自体は、私にはまだ詰め切れていないところ、同型写像 F が矛盾なく構築できること、
というか、実は言葉の意味がよく分かっていない (^^; 要勉強、があるのですが、
正しいのは間違いなさそうで、実際にいろいろとやってみても成立するし、
読めないとはいえ漏れ見えるＮＯ５「中川幸一」さんの解法からしても正しそうな感じなので、
これを使ってみます。すると．．．
問題3：の場合、考える多項式は、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12
= x * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11)
なので、
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11
がポイントになります。そしてこれを = 0 とした方程式は、x^12 = 1 の x = 1 以外の解です。
したがって、
n = 12 = 2 * 2 * 3 で φ(2) = 1, φ(3) = 2, φ(4) = 2, φ(6) = 2, φ(12) = 4 なので、
1 の原始12乗根は 4 次以上の方程式の根になる
1 の原始 6乗根は 2 次以上の方程式の根になる
1 の原始 4乗根は 2 次以上の方程式の根になる
1 の原始 3乗根は 2 次以上の方程式の根になる
1 の原始 2乗根は 1 次以上の方程式の根になる
となり、それぞれが含まれていなければならないので、結局、全部で 11 次以上です。
次数の関係を考えると、これはつまり、
1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11
= (1次式) * (2次式) * (2次式) * (2次式) * (4次式)
で、一般に原始n乗根は n ごとに確定しているので、それから各式も一意に決定します。
一方で、実際に、
x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12
= x * (1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11)
= x * (1 + x) * (1 + x^2) * (1 + x + x^2) * (1 - x + x^2) * (1 - x^2 + x^4)
となるので、先ほどの命題を認めれば、有理数の係数の範囲で因数分解がこれしかないことになります。
問題4：の場合も同様で、このときには、
n = 20 = 2 * 2 * 5 で φ(2) = 1, φ(4) = 2, φ(5) = 4, φ(10) = 4, φ(20) = 8 なので、
(1次式) * (2次式) * (4次式) * (4次式) * (8次式) となり、同様にして、因数分解が確定します。
なお、今回の問題では、係数が整数の範囲で因数分解した後で、係数が 0 以上になるように
組み直す必要がありますが、こちらは、完全に試行錯誤でやっています。
したがって、抜けがない、とは言い切れないと思います。
[考察2]
最初に思った、「普通のサイコロ」＝正六面体のサイコロで各面に 1 ～ 6 がついているもの、
の場合、対応する多項式は、x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 になります。
例えば問題1：の場合、正四面体は x^a + x^b
+ x^c + x^d と書けるので、
(x^a + x^b + x^c + x^d) * (x^a
+ x^b + x^c + x^d)
= x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6
or
(x^a + x^b + x^c + x^d) * (x^a
+ x^b + x^c + x^d)
= (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6) * (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)
を解く問題なのだろうか？ と思いました。
しかし、a, b, c, d を自然数として、これに解がないのは明らかです。
問題3：以外は、他の問題も同様です。問題3：は以下に示すように自明な解があります。
いずれにせよ、問題として成立しないように思いました。
そこで、冒頭に述べたような解釈で、考えてみました。
なお、次のように少し設定を変えた場合は、どうでしょうか？ すなわち、
正六面体以外の正多面体のサイコロを幾つか用意し、それを振ったときの目の和の出方が、
正六面体の「普通の」サイコロ幾つかを振ったときの目の和の出方と等しくなるようにせよ。
一番簡単には、正十二面体のサイコロ一つに、1 ～ 6 を二つずつ書いたものを考えれば、
これは、一個で正六面体の普通のサイコロ一個と同じ目の出方をするハズなので、解になると思います。
問題は、これ以外にあるか、ですね。
例えば、ナイーブには、正四面体三個で、正六面体二個とで、面の数が同じになるので、
できそうな気がします。
しかしこれは、正六面体二個で目の和が 2 になる確率が 1/36 であることを思い出すと、
正四面体ではどうやっても確率の分母を 3 の倍数にはできないので、ダメなことが分かります。
同じことは、正八面体、正二十面体でも同様です。しかし、正十二面体ではこのロジックは使えません。
どうなんでしょうか．．．？
[感想]
今回は、実は、題意がよく分かっていません (^^;
完全に誤解している可能性があります。
最初、「普通のサイコロ」というのは、正六面体のサイコロで各面に 1 ～ 6 がついているものだ
と思いました。問題文からは、そのようにしか読めないように、私は、思います。
しかしその場合、問題1からして、「目の和の出方が普通のサイコロと同じようである」
というのが分からず、確率は一致しないし、和を構成する出方の数でも一致するものもなく、
単に和が同じになるというだけではたくさんありすぎるし、と訳が分かりませんでした。
まさか、数字として、０やマイナスも考える？、と変なことまで考えましたが、
ひとまず、第２０回応募問題「特製のサイコロ」を見ることにしました。
ところがこれを見ると、さすがに、０やマイナスはないものの、正六面体のサイコロを考えている
ようなので、最初の疑問に戻ってしまいました。
「今回はパスだな」と思ったものの、念のために、リンク解答を見て junko さんの解答を読んで、
やっと、冒頭に書いたような条件の下に、辻褄が合ったかな、という次第です。
しかし、本当に正しく題意を解釈しているかどうかは自信がありません。
また、リンク解答の junko さんの手法は正しいと思いますが、これですべてを尽せるのか、
不安があります。
計算もかなり大変で、計算間違いの可能性もあります。
なお、今回も、数式処理ソフトを使ったり、プログラムを書いたり、という方法もありそうですが、
前回よりは数学的な感じがするので、手計算に拘ってみました。
ＮＯ２「Toru」 7/10 12時39分受信 更新7/30
問１
(x+x^2+x^3+x^4)^2=x^2(1+x)^2(1+x^2)^2
よりx(1+x)^2=x^+2x^2+x^3とx(1+x^2)^2=x+2x^3+x^5にわければ
1,2,2,3と1,3,3,5
問２
(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8)^2=x^2(1+x)^2(1+x^2)^2(1+x^4)^2
より分け方は３通り
1) x(1+x)(1+x^2)^2=x+x^2+2x^3+2x^4+x^5+x^6 と
x(1+x)(1+x^4)^2=x+x^2+2x^5+2x^6+x^9+x^10
この時 1,2,3,3,4,4,5,6と1,2,5,5,6,6,9,10
2) x(1+x)^2(1+x^2)=x+2x^2+2x^3+2x^4+x^5と
x(1+x^2)(1+x^4)^2=x+x^3+2x^5+2x^7+x^9+x^11
この時 1,2,2,3,3,4,4,5と1,3,5,5,7,7,9,11
3) x(1+x)^2(1+x^4)=x+2x^2+x^3+x^5+2x^6+x^7と
x(1+x^2)^2(1+x^4)=x+2x^3+2x^5+2x^7+x^9
この時 1,2,2,3,5,6,6,7と1,3,3,5,5,7,7,9
問３
(x+x^2+-------+x^12)^2=x^2(1+x)^2(1+x^2)^2(1+x^4+x^8)^2の分け方は
x(1+x)^2(1+x^4+x^8)=x+2x^2+x^3+x^5+2x^6+x^7+x^9+2x^10+x^11と
x(1+x^2)^2(1+x^4+x^8)=x+2x^3+2x^5+2x^7+2x^9+2x^11+x^13
よって、1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11と1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13
問４
(x+x^2+---------+x^20)^2=x^2(1+x)^2(1+x^2)^2(1+x^4+x^8+x^12+x^16)^2 の分け方
は
x(1+x)^2(1+x^4+x^8+x^12+x^16)=x+2x^2+x^3+x^5+2x^6+x^7+x^9+2x^10+x^11+x^13+2x
^14+x^15+x^17+2x^18+x^19 と
x(1+x^2)^2(1+x^4+x^8+x^12+x^16)=x+2x^3+2x^5+2x^7+2x^9+2x^11+2x^13+2x^15+2x^1
7+2x^19+x^21
よって 1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19
と 1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21
最初、各問の中の普通のサイコロというのを普通の立方体のサイコロと思い、できるわけないなあと考え、過去問の答えを見てしまいました。それを参考にして一応、答を作ってみました。細かいところまでつめていないので少し不安ですが取りあえず送っておきます。
「Toru」 7/12 15時42分受信 更新7/30
どうも、不安が適中して、数え落としがあったようです。たしかに７つずつできました。本当はこれ以上できないことを証明しなければなりませんが、取りあえずここまでで送っておきます。それにしても奥が深そうでおもしろい問題ですね。
問３
x+x^2+-------+x^12=x(1+x^3)(1+x^6)(1+x+x^2) も考えなければなりませんでした。
x(1+x^3)^2(1+x+x^2)=x+x^2+x^3+2x^4+2x^5+2x^6+x^7+x^8+x^9
x(1+x^6)^2(1+x+x^2)= x+x^2+x^3+2x^7+2x^8+2x^9+x^13+x^14+x^15
この時 1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9と1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15
x(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)とx(1+x^3)(1+x^6)(1+x+x^2)で組み替えた場合
1)x(1+x^3)(1+x^6) (1+x^4+x^8)
=x+x^4+x^5+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^14+x^15+x^18
x(1+x)(1+x^2) (1+x+x^2)=x+2x^2+3x^3+3x^4+2x^5+x^6
この時 1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18と1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6
2)x(1+x)(1+x^3) (1+x^4+x^8)=x+x^2+x^4+2x^5+x^6+x^8+2x^9+x^10+x^12+x^13
x(1+x^2)(1+x^6) (1+x+x^2)=x+x^2+2x^3+x^4+x^5+x^7+x^8+2x^9+x^10+x^11
この時 1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13と1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11
3)x(1+x)(1+x^6) (1+x^4+x^8)
=x+x^2+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^15+x^16
x(1+x^2)(1+x^3) (1+x+x^2)=x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+x^7+x^8
この時 1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16と1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8
4)x(1+x^2)(1+x^3) (1+x^4+x^8)
=x+x^3+ x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+ x^14
x(1+x)(1+x^6)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+x^4+x^7+2x^8+2x^9+x^10
この時 1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14と1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10
5)x(1+x^2)(1+x^6)(1+x^4+x^8)=x+x^3+x^5+2x^7+2x^9+2x^11+x^13+x^15+x^17
x(1+x)(1+x^3)(1+x+x^2)=x+2x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+x^7
この時 1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17と1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7
前回解答した、1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11と1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13を加えて確かに７通りありました。
問４同様に
x+x^2+-----+x^20=x(1+x^5)(1+x^10)(1+x+x^2+x^3+x^4)も考えなければなりませんでした。
問３と同様に
1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15
と1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25
1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23
と1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17
1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28
と1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12
1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24
と1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16
1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29
と1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11
1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32
と1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8
前回解答した
1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19
と 1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21も合わせて計７個ありました。
ＮＯ３「kasama」 7/11 23時43分受信 更新7/30
過去問でやった解法のように、サイコロの目を多項式に対応させて考えるのですね。コレです↓
http://www.junko-k.com/cthema/25saikor.htm
手計算でやるのは骨が折れますが、プログラムでやると一発で、例えば以下の組合せでＯＫだと思います。
正十二面対
①[1, 2, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 12, 13]と[1, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10, 11]
②[1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9]と[1, 2, 3, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 13, 14, 15]
・・・以下略・・・
正二十面対
①[1, 2, 5, 6, 6, 7, 9, 10, 10, 11, 13, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 22, 23]と[1,
2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17]
②[1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15]と[1, 2, 3,
4, 5, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 21, 22, 23, 24, 25]
・・・以下略・・・
「kasama」 7/12 10時40分受信 更新7/30
＜一緒にあったコメント：一応解答を整理したのでお送りします。勘違いがありましたらお知らせ頂けると有難いです。
なお、意味があるかどうかよくわかりませんが、例えば10面体について、単純に代数計算させて、以下の組を求めることができます。
[1,3,5,6,7,8,9,10,12,14]と[1,2,2,3,3,4,4,5,5,6] [1,2,2,3,3,4,4,5,5,6]と[1,3,5,6,7,8,9,10,12,14] では。。。＞
【考え方】
過去問の第20回と同様に考えて、例えば正四面体のサイコロの場合、(x+x2+x3+x4)2を因数分解して
(x+x2+x3+x4)2=(x+x2+x3+x4)(x+x2+x3+x4)
=(x+2x2+x3)(x+2x3+x5)=(x+x2+x2+x3)(x+x3+x3+x5)
となるので、２つのサイコロを｢1,2,2,3｣と｢1,3,3,5｣にすればよいことがわかります。
やり方がわかれば、後は単純作業です。各サイコロをベキ級数に対応させて因数分解してパターンを探ればよいのです。素手でやるのは大変なので、Mathematicaなどでベキ級数を因数分解して、後はプログラムを利用するのがよいでしょう。
【問題１～４】
|
面数 |
因数分解後のベキ級数 |
サイコロの数字 |
|
|
4 |
x(1+x)(1+x2) |
1,2,2,3 |
1,3,3,5 |
|
6 |
x(1+x)(1-x+x2)(1+x+x2) |
1,3,4,5,6,8 |
1,2,2,3,3,4 |
|
8 |
x(1+x)(1+x2)(1+x4) |
1,2,2,3,3,4,4,5 |
1,3,5,5,7,7,9,11 |
|
1,2,2,3,5,6,6,7 |
1,3,3,5,5,7,7,9 |
||
|
1,2,3,3,4,4,5,6 |
1,2,5,5,6,6,9,10 |
||
|
12 |
x(1+x)(1+x2)(1-x+x2)(1+x+x2)(1-x2+x4) |
1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13 |
1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11 |
|
1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9 |
1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15 |
||
|
1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11 |
1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13 |
||
|
1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7 |
1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17 |
||
|
1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18 |
1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6 |
||
|
1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14 |
1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10 |
||
|
1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16 |
1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8 |
||
|
20 |
x(1+x)(1+x2)(1-x+x2-x3+x4)(1+x+x2+x3+x4)(1-x2+x4-x6+x8) |
1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23 |
1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17 |
|
1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15 |
1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25 |
||
|
1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19 |
1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21 |
||
|
1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11 |
1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21,23,25,27,29 |
||
|
1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32 |
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8 |
||
|
1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24 |
1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16 |
||
|
1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28 |
1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12 |
||
【補足】
プログラムの行数が比較的短いので、参考までに添付しておきます。
Dai175(n, v)=
{
CreateFunc(n, 1, v,
vector(length(v)), vector(length(v)));
}
CreateFunc(n, i, v, v1,
v2)=
{
local(k,f1,f2);
if (i > length(v),
f1 = 1; for (k=1,
length(v1), if (v1[k] != 0, f1 *= v1[k]));
f2 = 1; for (k=1,
length(v2), if (v2[k] != 0, f2 *= v2[k]));
if (SumCoeff(f1)
== n && SumCoeff(f2) == n,
print(GetSeq(n, f1), " & ", GetSeq(n,
f2));
);
return;
);
v1[i] = v[i]^2;
v2[i] = 0; CreateFunc(n,
i+1, v, v1, v2);
v1[i] = v[i];
v2[i] = v[i];
CreateFunc(n, i+1, v, v1, v2);
v1[i] = 0; v2[i] = v[i]^2; CreateFunc(n, i+1, v, v1, v2);
}
SumCoeff(v)=
{
local(i, m, k);
m = 0;
for (i=1, poldegree(v),
k = polcoeff(v,
i);
if (k >= 0, m += k, return 0);
);
m;
}
GetSeq(n, v)=
{
local(i, s, p, j);
s = vector(n);
p = 0;
for (i=1, poldegree(v),
for (j=1, polcoeff(v, i),
s[p++] = i));
s;
}
ＮＯ４「kashiwagi｣7/14 08時50分受信
更新7/30
175回問題
問1,2は既に解かれていますので問3と4のみ解答致します。といっても、問1,2と全く同じ手順を踏めば・・・。
問３
12＝2×6＝3×4に注意して因数分解すると、
ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10＋ｘ11＋ｘ12
＝x(1+x) (1+ｘ2＋ｘ４＋ｘ8＋ｘ8＋ｘ10)
＝x（1+ｘ２）(1+ｘ＋ｘ４＋ｘ5＋ｘ8＋ｘ9)
＝x（1+ｘ3）(1+ｘ＋ｘ2＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8)
＝x（1+ｘ6）(1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5)
＝x (1+ｘ４＋ｘ8) (1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3)
＝x (1+ｘ2＋ｘ4) (1+ｘ＋ｘ6＋ｘ7)
＝x (1+ｘ＋ｘ2) (1＋ｘ3＋ｘ6＋ｘ9)
因って、2項×6項は4つから2つとる組み合わせであるから6種類、又、3項×4項は3つから2つとる組み合わせであるから3種類。即ち全部で9種類ある。
ここで一つ計算してみると、
|
（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10＋ｘ11＋ｘ12）２
|
|
＝（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10＋ｘ11＋ｘ12） ・（ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10＋ｘ11＋ｘ12） |
|
＝ x(1+x) (1+ｘ2＋ｘ４＋ｘ8＋ｘ8＋ｘ10)・x（1+ｘ２）(1+ｘ＋ｘ４＋ｘ5＋ｘ8＋ｘ9) ＝x(1+x) (1+ｘ＋ｘ４＋ｘ5＋ｘ8＋ｘ9)・x（1+ｘ２）(1+ｘ2＋ｘ４＋ｘ8＋ｘ8＋ｘ10) ＝（ｘ＋2ｘ３＋2ｘ５＋2ｘ7＋2ｘ9＋2ｘ11＋ｘ13）・（ｘ＋2ｘ２＋ｘ３＋ｘ５＋2ｘ６＋ｘ7＋ｘ9＋2ｘ10＋ｘ11） |
これより、求めるものは｢1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13｣と｢1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11｣となります。
後は全く同じ計算をするだけですので省略し、結果のみとし、表にします。
後半の3種類のうち2種類は前出のものと同じで全部で7種類でした。
|
1 |
1335577991111113 |
122356679101011 |
|
2 |
1345678910111214 |
1223347889910 |
|
3 |
13577991111131517 |
122334455667 |
|
4 |
124556899101213 |
12334578991011 |
|
5 |
12567891011121516 |
123344556678 |
|
6 |
123456789101112 |
123445566789 |
|
7 |
122333444556 |
145789101112141518 |
問題４
上記と全く同じ考えで、20＝2×10＝4×5 に注意して因数分解すると、
ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10
＋ｘ11＋ｘ12＋ｘ13＋ｘ14＋ｘ15＋ｘ16＋ｘ17＋ｘ18＋ｘ19＋ｘ20
＝x(1+x) (1+ｘ2＋ｘ４＋ｘ8＋ｘ8＋ｘ10＋ｘ12＋ｘ14＋ｘ16＋ｘ18)
＝x（1+ｘ２）(1+ｘ＋ｘ４＋ｘ5＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ12＋ｘ13＋ｘ16＋ｘ17)
＝x (1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3 ) (1＋ｘ4＋ｘ8＋ｘ12＋ｘ16)
＝x (1＋ｘ5＋ｘ10＋ｘ15) (1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4)
計算は省略しますが、一つの解は、｢1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19｣と｢1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21｣となります。
以上より2種類の組み合わせが出来ることが分かる。問3と同様表で表します。
|
1 |
1223566791010111314141517181819 |
1335577991111131315151717191921 |
|
2 |
12233344445555666778 |
156910111314151617181920222324272832 |
以
「kashiwagi｣7/20 18時51分受信
更新7/30
問題４
上記と全く同じ考えで、20＝2×10＝4×5 に注意して因数分解すると、
ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ10
＋ｘ11＋ｘ12＋ｘ13＋ｘ14＋ｘ15＋ｘ16＋ｘ17＋ｘ18＋ｘ19＋ｘ20
＝x(1+x) (1+ｘ2＋ｘ４＋ｘ8＋ｘ8＋ｘ10＋ｘ12＋ｘ14＋ｘ16＋ｘ18)
＝x（1+ｘ２）(1+ｘ＋ｘ４＋ｘ5＋ｘ8＋ｘ9＋ｘ12＋ｘ13＋ｘ16＋ｘ17)
= x（1+ｘ5）(1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ10＋ｘ11＋ｘ12＋ｘ13＋ｘ14)
= x（1+ｘ10）(1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＋ｘ6＋ｘ7＋ｘ8＋ｘ9)
＝x (1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3 ) (1＋ｘ4＋ｘ8＋ｘ12＋ｘ16)
＝x (1＋ｘ5＋ｘ10＋ｘ15) (1+ｘ＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4)
計算は省略しますが、一つの解は、｢1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19｣と｢1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21｣となります。
以上より2種類の組み合わせが出来ることが分かる。問3と同様表で表します。
|
1 |
1234577991111131315151717191921 |
1224566791010111314141517181819 |
|
2 |
125677910111213141516171819212224 |
122334455611121213131414151516 |
|
3 |
12579111112131515171719192123252729 |
12233445566778899101011 |
|
4 |
125667910101113141415171818192223 |
123344556711121313141415151617 |
|
5 |
12569101112131415161718192023242728 |
123344556677889910101112 |
|
6 |
12345111112121313141415152122232425 |
123456677889910101112131415 |
|
7 |
12233344445555666778 |
156910111314151617181920222324272832 |
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
