平成１８年８月２０日
[流れ星]
第1７６回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：7月３０日〜８月２0日
［ゲームの引き際］
皆さん、賭け事のゲームをしていて、いつやめるかの引き際を考えたことはありませんか。
『Ａ』 ここに、目が自然数の１から６までの正６面体のサイコロがあります。
問題１：正６面体のサイコロを１回または２回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。１回振って出た目を見たうえで２回目を振るか否かを決めるのである。どのように引き際を判断すると良いか。
問題２：上と同様のゲームを３回振ることが可能なら、２回目、３回目を振るか否かの決定は、どのようにするに引き際を判断すると有利か。また、このゲームで得点の１００倍のお金がもらえるとき、掛け金４００円を払って挑戦するのは得か損か。
さて、『Ｂ』今度は目が自然数の１から２０までの正二十面体のサイコロに変えます。
問題３：正２０面体サイコロを１回または２回振り、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。１回振って出た目を見たうえで２回目を振るか否かを決めるのである。どのように引き際を判断すると良いか。
問題４：上と同様のゲームを３回振ることが可能なら、２回目、３回目を振るか否かの決定は、どのように引き際を判断すると良いか。
問題５：さらに、上と同様のゲームを５回振ることが可能なら、２回目、３回目、４回目、５回目を振るか否かの決定は、どのように引き際を判断すると良いか。
また、このゲームに得点の１００倍のお金がもらえるとき、掛け金１５００円を払って挑戦するのは得か損か。
NO1「uchinyan」8/03 13時58分受信
更新
「uchinyan」8/03 18時34分受信 更新
「uchinyan」8/06 11時27分受信 更新8/20
第１７６回数学的な応募問題
［ゲームの引き際］
一度、解答を提出したのですが、間違っていたようなので、水の流れ先生のご指導を受けて、再考しました。
問題1：
通常の正６面体のサイコロなので、１回振った場合の出る目の期待値は、
1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/3 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
= 21/6 = 7/2 = 3.5
つまり、１回振るごとに 3.5 の目が出ると期待できます。そこで、
・今出ている目が 3.5 よりも小さければ、もう１回振ってそれよりも大きな目が出る可能性が高い。
・今出ている目が 3.5 よりも大きければ、もう１回振ってそれよりも大きな目が出る可能性が低い。
と考えられます。
したがって、
・１回目の目が 1, 2, 3 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 4, 5, 6 ならば、２回目を振らない。という戦略が妥当だと思います。
問題2：
２回目にサイコロを振った後の時点では、問題1：の戦略を取るのが妥当です。つまり、
・２回目の目が 1, 2, 3 ならば、３回目を振る。
・２回目の目が 4, 5, 6 ならば、３回目を振らない。
そこで、２回目を振った場合にはこの戦略を取るとして、２回目を振るべきかどうかを検討します。
この場合の２回目以降の出る目の期待値は、
3/6 * (1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/3 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6) + 4 * 1/6 + 5
* 1/6 + 6 * 1/6
3/6 * 7/2 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6
= 7/4 + 5/2 = 17/4 = 4.25
になります。つまり、１回目を振った後で、さらに振った場合の出る目は 4.25 が期待されます。
そこで、
・１回目の目が 1, 2, 3, 4 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 5, 6 ならば、２回目を振らない。という戦略が妥当になります。
結局、戦略をまとめると、
・１回目の目が 1, 2, 3, 4 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, 3 ならば、３回目を振る。
・２回目の目が 4, 5, 6 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 5, 6 ならば、２回目を振らない。となります。
この戦略をとった場合、得られる金額の期待値は、
(4/6 * 17/4 + (5 * 1/6 + 6 * 1/6)) * 100
= (17/6 + 11/6) * 100
= 14/3 * 100
= 466 + 2/3 円
これは 400 円よりも多いので、挑戦する方が得になります。
問題3：
正２０面体のサイコロなので、１回振った場合の出る目の期待値は、
1 * 1/20 + 2 * 1/20 + ... + 19 * 1/20 + 20 * 1/20
= 20 * 21 * 1/2 * 1/20 = 21/2 = 10.5
つまり、１回振るごとに 10.5 の目が出ると期待できます。そこで、
・今出ている目が 10.5 よりも小さければ、もう１回振ってそれよりも大きな目が出る可能性が高い。
・今出ている目が 10.5 よりも大きければ、もう１回振ってそれよりも大きな目が出る可能性が低い。
と考えられます。
したがって、、
・１回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。という戦略が妥当だと思います。
問題4：
問題2：と同様に考えられます。
２回目にサイコロを振った後の時点では、問題3：の戦略を取るのが妥当です。つまり、
・２回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、３回目を振る。
・２回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
そこで、２回目を振った場合にはこの戦略を取るとして、２回目を振るべきかどうかを検討します。
この場合の２回目以降の出る目の期待値は、
10/20 * 21/2 + 11 * 1/20 + 12 * 1/20 + ... + 19 * 1/20 + 20 * 1/20
= 21/4 + 155/20 = 21/4 + 31/4 = 13
になります。つまり、１回目を振った後で、さらに振った場合の出る目は 13 が期待されます。
そこで、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 13, 14, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。
又は
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 14, 15, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。
という戦略が考えられます。どちらを選んでもOKです。念のために確認しておくと．．．
前者の出る目の期待値を求めてみると、
12/20 * 13 + 13 * 1/20 + 14 * 1/20 + ... + 19 * 1/20 + 20 * 1/20
= 39/5 + 132/20 = 39/5 + 33/5 = 72/5 = 14.4
一方、後者の出る目の期待値は、
13/20 * 13 + 14 * 1/20 + 15 * 1/20 + ... + 19 * 1/20 + 20 * 1/20
= 169/20 + 119/20 = 288/20 = 72/5 = 14.4
で、一致します。
結局、戦略をまとめると、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、３回目を振る。
・２回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 13, 14, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。
又は
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、３回目を振る。
・２回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 14, 15, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。
のどちらかを選択すればいいことになります。
なお、このときの出る目の期待値は、いずれの戦略でも 72/5 になります。
問題5：
同様に考えます。まず、４回振ることができる場合です。
２回目にサイコロを振った後の時点では、問題4：の戦略を取るのが妥当です。つまり、
・２回目の目が 1, 2, ..., 12 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、４回目を振る。
・３回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 13, 14, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
又は
・２回目の目が 1, 2, ..., 12, 13 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、４回目を振る。
・３回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 14, 15, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
そこで、２回目を振った場合にはこのどちらかの戦略を取るとして、２回目を振るべきかどうかを検討します。
この場合の２回目以降の出る目の期待値は、どちらの戦略を取っても 72/5 = 14.4 でした。
つまり、１回目を振った後、さらに振った場合の出る目は 14.4 が期待されます。
そこで、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 14 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 15, 16, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。という戦略が妥当になります。
結局、戦略をまとめると、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 14 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 12 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、４回目を振る。
・３回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 13, 14, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 15, 16, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。
又は
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 14 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 12, 13 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、４回目を振る。
・３回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 14, 15, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 15, 16, ..., 19, 20 ならば、２回目を振らない。のどちらかを選択すればいいことになります。
なお、この戦略をとった場合の出る目の期待値は、
２回目以降の出る目の期待値がどちらの戦略でも 72/5 だったので、
14/20 * 72/5 + 15 * 1/20 + 16 * 1/20 + ... + 19 * 1/20 + 20 * 1/20
= 252/25 + 105/20
= 252/25 + 21/4
= (1008 + 525)/100
= 1533/100
になります。
次に、５回振ることができる場合です。
２回目にサイコロを振った後の時点では、４回振ることができた場合の戦略を取るのが妥当です。
そこで、２回目を振った場合にはこの方針を取るとして、２回目を振るべきかどうかを検討します。
この場合の２回目以降の出る目の期待値は、1533/100 = 15.33 でした。
つまり、１回目を振った後、さらに振った場合の出る目は 15.33 が期待されます。
そこで、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 15 ならば、２回目を振る。
・１回目の目が 16, 17, 18, 19, 20 ならば、２回目を振らない。という戦略が妥当になります。
結局、戦略をまとめると、
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 15 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 14 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 12 ならば、４回目を振る。
・４回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、５回目を振る。
・４回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、５回目を振らない。
・３回目の目が 13, 14, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 15, 16, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 16, 17, 18, 19, 20 ならば、２回目を振らない。
又は
・１回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 15 ならば、２回目を振る。
・２回目の目が 1, 2, ..., 12, 13, 14 ならば、３回目を振る。
・３回目の目が 1, 2, ..., 12, 13 ならば、４回目を振る。
・４回目の目が 1, 2, ..., 9, 10 ならば、５回目を振る。
・４回目の目が 11, 12, ..., 19, 20 ならば、５回目を振らない。
・３回目の目が 14, 15, ..., 19, 20 ならば、４回目を振らない。
・２回目の目が 15, 16, ..., 19, 20 ならば、３回目を振らない。
・１回目の目が 16, 17, 18, 19, 20 ならば、２回目を振らない。
のどちらかを選択すればいいことになります。
そして、この戦略をとった場合の出る目の期待値は、
２回目以降の出る目の期待値がどちらの戦略でも 1533/100 だったので、
(15/20 * 1533/100 + 16 * 1/20 + 17 * 1/20 + 18 * 1/20 + 19 * 1/20 + 20 * 1/20)
* 100
= (4599/400 + 90/20) * 100
= (4599 + 1800)/400 * 100
= 6399/4
= 1599.75 円
になります。
これは 1500 円よりも多いので、挑戦する方が得になります。
(感想)
最初単純に、各回ごとにその回の目とその次の出る目の期待値とを比較して判断する戦略をよしとしていました。
しかし、水の流れさんに、ある回における戦略は、その後の出る目の可能性の連鎖を考慮しなければならないことを指摘されて、
誤りであることを認識し、再考しました。
この戦略でいくと、無限回振れる場合には、ある回以降に出る目の期待値はサイコロの最大の目になります。
一見奇妙な気もしたのですが、要は、何回でも振れる場合には、サイコロの最大の目が出るまで振り続けることが可能なので、この考えは、常識的にも妥当です。
No2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 8/04 16時10分受信 更新8/20
前回は意味がわからなかったです。。。(^^)
今回は単純に（常識的に）考えましたが、、、まずいのかなあ？？
問題１
単純に、毎回目の出方は独立なので、
1+2+．．．+6=21,21/6=3.5
よって、1回目が3以下ならもう一回振る。4以上なら止める。
＜水の流れコメント：正解です＞」
問題２
4以上がでるまで振る。
4以上になる確率は、１／２
（４＋５＋６）/3＊１／２＊１００＝２５０＜４００
だから損。
＜水の流れコメント： 期待値の計算になっていないのでは＞」
問題３
（１＋２＋・・・＋２０）/20＝１０．５
なので、10以下なら振り、11以上なら止める。
＜水の流れコメント：正解です＞」
問題４
１１以上がでるまで振る。
問題５
11以上がでるまで振る。
（１１＋１２＋・・・＋２０）/10＊１／２＊１００＝７７５
だから、損。
＜水の流れコメント：以後は、以下問題２のヒントを参考に。
私の考え方；最後の３回目を振るかどうかから最初考えます。
＜ステップ１＞ ３回目までサイコロを振った場合の得点の期待値は
（３日目に出た目の数だけで決まるので）７／２＝３．５になります。
したがって、（１回目に出た目が”あまりよくなかった”ために）２回目を振った場合に出た目の数は
３以下であったなら、３日目を振った方が有利であり、
４以上であったなら、２回目をやめておいた方が有利です。
＜ステップ２＞ 次に、２回目を振るか否か、１回目に出た目によってどのように判断すると良いかを調べる。
NO3「Toru」 8/07 14時29分受信 更新8/20
数学的にはやはり期待値で考えるのでしょう。
（A）
問題１ サイコロを１回振った時の得点の期待値
は1x1/6+2x1/6+3x1/6+4x1/6+5x1/6+6x1/6=3.5
よって１回めに3.5より大きい目すなわち4,5,6が出れば、２回目は振らない。
１回めに3.5より小さい目すなわち1,2,3が出れば、２回目を振る。
問 題 ２ 問題１の規則に従って１or２回 振った時の得点の期待値をもとめる。
得点が4(,5,6)となる確率はそれぞれ、１回目に4(,5,6)が出るか、1回目は1,2,3
のいずれか出で２回目に4(,5,6)がでる場合で、1/6+1/2x1/6=1/4
得点が1(,2,3)となる確率は １回目に1,2,3のいずれかが出て、2回目に1(,2,3)がでる場合で、1/2x1/6=1/12
よって期待値は1x1/12+2x1/12+3x1/12+4x1/4+5x1/4+6x1/4=4.25
よって、３回振ることが可能な場合は
1回目が5,6なら終わり、1,2,3,4なら２回目へ、２回目が4,5,6なら終わり、1,2,3なら３回目へとする。
またこの規則によって行った場合の期待値は
得点5,6の確率は1/6+2/3x1/6+2/3x1/2x1/6=1/3
得点4の確率は 2/3x1/6+2/3x1/2x1/6=1/6
得点1,2,3の確率は2/3x1/2x1/6=1/18
より1x1/18+2x1/18+3x1/18+4x1/6+5x1/3+6x1/3=14/3=4.66- - ->4
だから400円はらって挑戦するのは得と考えられる。
(B)
問題３ 正２０面体のさいころを１回振った時に出る目の期待値は
1x1/20+2x1/20+-------+20x1/20=10.5
より1〜10なら２回目を振る。11〜20なら１回で止めておく。
問題４ 上記の方針で２回目まで触れる場合の得点の期待値は
1〜10 の確率がそれぞれ1/2x1/20=1/40
11〜20の確率がそれぞれ1/20+1/2x1/20=3/40
より1x1/40+2x1/40+----+10x1/40+11x3/40+12x3/40+----+20x3/40=13
よって、
１回目13〜20なら終わり 1〜12なら２回目を振る。
２回目、11〜20なら終わり 1〜10なら３回目を振る。
（１回目13の時も、２回目を振ってもよい）
問題５ 上記の方針で３回振れる時の得点の期待値を求める
1〜10の確率はそれぞれ、12/20x10/20x1/20=3/200
11,12の確率はそれぞれ、12/20x1/20+12/20x10/20x1/20=9/200
13〜20の確率はそれぞれ1/20+12/20x1/20+12/20x10/20x1/20=19/200
よって期待値は
1x3/200+----+10x3/200+11x9/200+12x9/200+13x19/200+---+20x19/200=14.4
よって4回目まで振れる時の方針は
１回目15〜20なら終わり1〜14なら２回目を振る。
２回目13〜20なら終わり1〜12なら３回目を振る
３回目11〜20なら終わり1〜10なら４回目を振る。
この方針で４回目まで振れる時の期待値は
1〜10の確率はそれぞれ14/20x12/20x10/20x1/20=21/2000
11,12の確率はそれぞれ14/20x12/20x1/20+14/20x12/20x10/20x1/20=63/2000
13,14の確率はそれぞれ
14/20x1/20+14/20x12/20x1/20+14/20x12/20x10/20x1/20=133/2000
15〜20の確率はそれぞれ
1/20+14/20x1/20+14/20x12/20x1/20+14/20x12/20x10/20x1/20=233/2000
よって期待値は
(1+2+------10)x21/2000+(11+12)x63/2000+(13+14)x133/2000+(15+---+20)x233/2000
=15.33
４回目までですでに期待値が１５を超えましたので、掛け金１５００円なら得だとい
うことになりますが、
５回目まで振れる場合の方針は
１回目16〜20なら終わり1〜15なら２回目を振る。
２回目15〜20なら終わり1〜14なら３回目を振る。
３回目13〜20なら終わり1〜12なら４回目を振る
４回目11〜20なら終わり1〜10なら５回目を振る。
となりこの時の期待値も同様に求めますと
1〜10の確率はそれぞれ15/20x14/20x12/20x10/20x1/20=63/8000
11,12の確率はそれぞ
れ15/20x14/20x12/20x1/20+15/20x14/20x12/20x10/20x1/20=189/8000
13,14の確率はそれぞれ
15/20x14/20x1/20+15/20x14/20x12/20x1/20+15x2014/20x12/20x10/20x1/20=399/8000
15の確率は
15/20x1/20+15/20x14/20x1/20+15/20x14/20x12/20x1/20+15/20x14/20x12/20x10/20x1
/20
=699/8000
16〜20の確率はそれぞれ
1/20+15/20x1/20+15/20x14/20x1/20+15/20x14/20x12/20x1/20+15/20x14/20x12/20x10
/20x1/20
=1099/8000
よって期待値は
(1+--+10)x63/8000+(11+12)x189/8000+(13+14)x399/8000+15x699/8000+(16+--+20)x1
099/8000
=15.9975
実際の世の中では、期待値で考えて得になるような賭け事は存在しませんよね。
そんなこと分かっていても、運試しに賭けをする人がいるわけですが、個人的にはやっぱり世の中うまい話はないので、地道が一番と思っています。
NO4「πP」
8/13 09時32分受信 更新8/20
出た目の期待値で決定すればよいと思います
つまり（１）は出た目と2回目に振りなおす時の期待値の大小関係を考えます
1回目の値はいくつかわかっていますから2度目は期待値でしか表せないとかそんなかんじです
2度目の期待値は（1+2+3+4+5+６)×１/6=21/6＝3.5であるから3以下なら振りなおすほうが得であり4以上であればそのまま それがこの問題全てに関係するところですか
「πP」 8/14 00時05分受信 更新8/20
(1)より3以下は振りなおし4以上ならそのままであるから
振りなおしたあとの期待値＝一度目の期待値より大きい（つまり4.5.6.がでる場合）と一度目にすでに3.5以上でた場合です（なぜ3以上にしないかというとせっかく（１）で出したのですしこっちのほうが正確ですから
（出題者の意図するところ？）
3.5×1/2+（4+5+6）×1/6＝1.75+2.5＝4.25になります
よって2回目振りなおしたあとの期待値というのは4.25になります
したがって3回目をするかどうかは4.25以上つまり5または6の出た場合はそのままで1・2・3・4が出た時は振りなおすということになります
で、掛け金400円払ってとくかどうかですが3回目振りなおしたあとの期待値×100と考えられますから
3回目までの期待値の総和＝2回目まで振ったときの期待値+3回目に5または6のでる期待値ですから
4.25×2/3+（5+6）×1/6＞2.8+1.8＝4.6となります
したがって400円払ってこのゲームをするなら得といえます
NO5「kashiwagi｣8/14 08時20分受信
更新8/20
176回問題
問1.一つのさいころを振って出る数の期待値は
因って、3以下なら2回目を振り、4以上なら振らない。
問2.上記条件でのもらえる点の期待値は
であるから、
1回目が4以下なら2回目を振り、5以上なら振らない。又、2回目は問1.より3以下なら3回目を振り、4以上なら振らない。
この場合のもらえる点の期待値は
以上の事から2回まで振れる場合は400円払って425円戻りが期待できる
3回まで振れる場合は466円期待できるから挑戦する価値がある。
問3.普通のさいころの場合と全く同様に
因って、10以下なら2回目を振り、11以上なら振らない。
問4.問2.と同様な計算よりもらえる点の期待値は13となる。
因って、1回目が13以下なら2回目を振り、14以上なら振らない。又、2回目は10以下なら3回目を振り、11以上なら振らない。
問5.もらえる点の期待値は13.7となる。更に計算を重ね、以下の結論を得る。
1回目：15以下なら再度振り、16以上なら振らない。もらえる点の期待値は139
2回目：14以下なら再度振り、15以上なら振らない。もらえる点の期待値は14.4
3回目：13以下なら再度振り、14以上なら振らない。もらえる点の期待値は15.3
4回目：10以下なら再度振り、11以上なら振らない。もらえる点の期待値は15.9
以上より
5回振る場合は1500円払い1590円戻りが期待できる。4回振る場合も1530円期待できる。その他の2,3回振れる場合は1500円未満である。即ち、4回以上振れるなら挑戦する。
NO6「kasama」 8/18 11時11分受信 更新8/20
＜コメント：今回も面白い問題ですね。ゲームの引き際はどの時点か計算式で表現できるのでしょうけど、よくわからなかったので、ゲームのツリーを描いて期待値を求めて考察しました。
もっといいやり方があると思いますが、皆様の解答をみて勉強させてもらいます。＞
【考え方】
正６面体のサイコロを振って、
1回目に5,6が出たら止める。
2回目に4,5,6が出たら止める。
という方法でゲームをする場合、各々のケースをツリーで表現すると、
となります。このツリーの期待値は、赤字の個所をすべて加算して、
(5+6)×1/6 + (4+5+6)×(1/6)2×4 + (1+2+3+4+5+6)×(1/6)3×4×3 = 11/6 + 5/3 + 7/6 =
14/3
となります。ゲームを有利に進めるには、この期待値が最大になるようなツリーを見つけ出せば良いのです。
期待値を最大にするツリーの一般的な見つけ方はわかりませんが、ある程度範囲を絞って素手で最適解を見つけるとよいと思います。ただ、素手でやるのは手間なので、プログラムにやらせた方がいいでしょう。下記にその結果を示します。
|
面数 |
振る回数 |
止める数･･･この数字以上なら止める |
期待値 |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|||
|
6 |
2 |
4 |
- |
- |
- |
- |
17/4 |
|
3 |
5 |
4 |
- |
- |
- |
14/3 |
|
|
4 |
5 |
5 |
4 |
- |
- |
89/18 |
|
|
5 |
5 |
5 |
5 |
4 |
- |
277/54 |
|
|
6 |
6 |
5 |
5 |
5 |
4 |
1709/324 |
|
|
20 |
2 |
11 |
- |
- |
- |
- |
13 |
|
3 |
13 |
11 |
- |
- |
- |
72/5 |
|
|
4 |
15 |
13 |
11 |
- |
- |
1533/100 |
|
|
5 |
16 |
15 |
13 |
11 |
- |
6399/400 |
|
|
6 |
16 |
16 |
15 |
13 |
11 |
26397/1600 |
|
参考までにプログラムを載せておきます
Dai176(m, n)=
{
emax = -9999999;
Dai176Sub(m, 1, vector(n));
print(vmax, ": ", emax);
}
Dai176Sub(m, n, v)=
{
local(i, e);
if (n <= length(v),
for (i=1, m,
v[n] = i; Dai176Sub(m, n+1, v));
,
e = CaliculateExpectation(m,
1, 1, v);
if (e > emax,
vmax = v; emax = e);
);
}
CaliculateExpectation(m, n, k, v)=
{
local(i, s);
s = 0;
if (n <= length(v),
for (i=v[n], m,
s += 1/m*k*i);
s += CaliculateExpectation(m,
n+1, k*(v[n]-1)/m, v);
,
for (i=1, m, s
+= 1/m*k*i);
);
s;
}
【問題１】
1回目に4,5,6が出たら止める。
【問題２】
1回目に5,6が出たら止める。
2回目に4,5,6が出たら止める。
掛け金400円で100倍のお金がもらえる場合、1回の挑戦の期待値は負(-50)なので、損だと思われます。
【問題３】
1回目に11〜20が出たら止める。
【問題４】
1回目に13〜20が出たら止める。
2回目に11〜20が出たら止める。
【問題５】
1回目に16〜20が出たら止める。
2回目に15〜20が出たら止める。
3回目に13〜20が出たら止める。
4回目に11〜20が出たら止める。
掛け金1500円で100倍のお金がもらえる場合、1回の挑戦の期待値は負(-450)なので、損だと思われます。
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
