平成１８年１１月１２日

[流れ星]

　　　　　第1８１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１０月２２日〜１１月１２日

［約数の個数］

皆さん、今年度の香川大学の入試問題を参考して出題します。是非チャレンジください。

数列｛ａ_ｎ｝を次のように定める。

　ｎの正の約数の個数が偶数ならば、ａ_ｎ＝０

ｎの正の約数の個数が奇数ならば、ａ_ｎ＝ｎ

　問題１：初項ａ_１から第８項ａ_８までの値を求めよ。

　問題２：ａ_ｎ＝ｎとなるようなｎはどのような数か理由をつけて答えよ。

　問題３：初項ａ_１から第２００６項ａ_２００６までの和を求めよ。

　問題４：初項ａ_１から第ｎ項ａ_ｎまでの和が２００６以下となるようなｎの最大整数を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」10/12 16時13分受信 更新11/12

第１８１回数学的な応募問題
［約数の個数］

問題１：
a(1) = 1, a(2) = 0, a(3) = 0, a(4) = 4, a(5) = 0, a(6) = 0, a(7) = 0, a(8) = 0

問題２：
n を素因数分解して n = p^a * q^b * r^c * ... となったとします。
約数は、p^x * q^y * r^z * ..., 0 <= x <= a, 0 <= y <= b, 0 <= z <= c, ... なので、
その個数は、(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * ... 個 になります。
a(n) = n となるのは、約数の個数が奇数の場合なので、
(a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * ... が奇数でなければなりません。
したがって、a, b, c, ... は、すべて偶数でなければなりません。
そこで、n の素因数分解の指数が偶数なので、n は、完全平方数ということになります。

問題３：
問題２：から分かるように、結局、a(n) のうち 0 でないのは、1 〜 2006 のうちの完全平方数だけです。
44 = sqrt(1936) < sqrt(2006) < sqrt(2025) = 45 なので、
求める和 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 44^2
= 1/6 * 44 * (44 + 1) * (2 * 44 + 1) = 1/6 * 44 * 45 * 89 = 29370

問題４：
同様に考えて、
S(k) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
とすると、完全平方数以外は a(n) = 0 であることに注意して、
n は、2006 < S(k) となる最小の k を用いて、n = k^2 - 1 と書けます。
そこで、
2006 < k(k+1)(2k+1)/6
12036 < k(k+1)(2k+1)
10710 = 17 * (17 + 1) * (2 * 17 + 1), 12654 = 18 * (18 + 1) * (2 * 18 + 1) なので、
n = 18^2 - 1 = 323
になります。

(感想)
問題４：は、引っ掛け問題っぽいですね．．．
なお、完全平方数にまつわるこの手の問題は、中学入試でも出ていたらしいです。
算数問題サイトにも、類題があります。例えば、
　http://www.sansu.org/kakomon/toi009.html
初めてこの問題を解いたときに感じた感動を、今でも忘れません (^^;

ＮＯ２「kashiwagi｣10/26 07時35分受信 更新11/12

181回問題

問1.一つ一つ書き出してみると、となることが分かる。

問2.上の値よりある数とは平方数であることが分かる。ある数の約数はかならず２数の積として表されるので偶数、しかし平方数は同じ約数なので一つ、即ち奇数となる。

問3.　44²＜2006＜45²　であるので求めるものは44²までの平方数の和であり、公式を使い計算すると29370となる。

問4　　を計算するとn=17　となる。

　　即ち、18の平方数324の一つ前までよいことになり求めるものは323である。

ＮＯ３「Toru」　 10/27 13時12分受信 更新11/12

問題１　a1=1,a2=0,a3=0,a4=4,a5=0,a6=0,a7=0,a8=0
問題２　約数の数は、nを素因数分解した時の（各因数の指数＋１）の積であるから
これが奇数になるためには、これらが全て奇数、すなわち指数が全て偶数、つまりn
が平方数であることが必要十分である。
問題３　1^2+2^+----+n^2=1/6 n(n+1)(2n+1)
において44^2=1936,45^2=2025より
2006までの平方数の和は
1+4+9+16+25+36+----------+44^2=1/6 x44x45x89=29370
問題４　f(n)=1/6 n(n+1)(2n+1)
においてf(17)=1785, f(18)=2109よりまた18^2=324
より323

ＮＯ４「浜田明巳」10/30 13時14分受信 更新11/12

訂正 「浜田明巳」11/25 16時40分受信 更新11/26

訂正をお願いします
エクセルのマクロで解いてみた．
問題１
　ａ_１＝１，ａ_２＝０，ａ_３＝０，ａ_４＝４，ａ_５＝０，ａ_６＝０，ａ_７＝０，ａ_８＝０
問題２
　ｎが平方数のとき，ａ_ｎ＝ｎ，ｎが平方数でないとき，ａ_ｎ＝０となるので，答は，ｎは平方数である．
問題３
　和は２９３７０である．
問題４
　ｎの最大値は３２３である．

Option Explicit
Sub Macro1()
　　Sheets("Sheet1").Select
　　Cells(1, 1).Value = 0
　　Range("A1").Select
　　Dim owari As Integer
Dim wa As Integer
　　Dim j As Integer
　　owari = 0
　　j = 1
wa = 0
　　While owari = 0
　　　Cells(j, 1).Value = j
　　　Cells(j, 2).Value = a(j)
wa = wa + a(j)
　　　If a(j) = j Then
　　　　Cells(j, 3).Value = "***"
　　　End If
　　　Range("B" & j).Select
　　　If wa <= 2006 Then
　　　　Cells(3, 6).Value = j
　　　End If
　　　If j <= 2006 Or a(j) <= 2006 Then
　　　　j = j + 1
　　　Else
　　　　owari = 1
　　　End If
　　Wend
　　Range("A1").Select
　　Cells(1, 5).Value = "問題３"
　　Cells(1, 6).Value = "=SUM(B1:B2006)"
　　Cells(3, 5).Value = "問題４"
End Sub
Private Function a(ByVal n As Integer) As Integer
　　Dim kosuu As Integer
　　Dim j As Integer
　　kosuu = 0
　　For j = 1 To n
　　　kosuu = kosuu - (n Mod j = 0)
　　Next j
　　a = n * (kosuu Mod 2)
End Function

ＮＯ５「kasama」 11/09 23時26分受信 更新11/12

問題１　1〜8を素因数分解すると、1,2=2¹,3=3¹,4=2²,5=5¹,6=2¹3¹,7=7¹,8=2³なので、a₁=1,a₂=0,a₃=0,a₄=4,a₅=0,a₆=0,a₇=0,a₈=0です。

問題２　正の整数aは素因数分解できて、a=p₁^α₁p₂^α₂･･･p_m^α_mと表すことができます。すると、約数の個数は(α₁+1)(α₂+1)･･･(α_m+1)ですから、これが奇数になるには、α₁,α₂,･･･,α_mがすべて偶数でなければなりません。よって、a_n=nとなるようなnは平方数です。

問題３　2006以下の平方数の和を計算すればよいのです。2006以下の最大の平方数は44²(=1936)なので、
k²=44×(44+1)×(2×44+1)/6=29370
です。

問題４　Σk²=n(n+1)(2n+1)/6≦2006を満足するnの最大値を求めればよいのです。あまり利口な方法ではありませんが、数が小さいので数式ソフトで調べるのが手っ取り早いです。
　(15:51) gp > sum(k=1,17,k^2)
　%1 = 1785
　(15:51) gp > sum(k=1,18,k^2)
　%2 = 2109
よって、18²=324よりnの最大整数は323です。