平成１８年１２月２４日

[流れ星]

　　　　　第1８４回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：１２月２４日〜１月１４日

［自然数の分割］

皆さん、今までのご愛顧に深く感謝しつつ、引き続き平成１９年もよろしくお願いします。

自然数ｎをいくつかの自然数の和として、ｎ＝ｎ_１＋ｎ_２＋・・・＋ｎ_ｒ（ｒ≧１）
の形に表すことを考える。この分割の総数をＱ（ｎ）とする。

例えばｎ＝３のとき、１＋１＋１、１＋２、２＋１、３　の４通りに表されるから、Ｑ（３）＝４となる。

次に、項の順序を考えた１≦ｎ_１≦ｎ_２≦・・・≦ｎ_ｒ　のときの総数をＰ（ｎ）とする。

例えばｎ＝３のとき、１＋１＋１，１＋２，３の３通りになるからＰ（３）＝３となる。

さらに、ここで、ｎをこのような和で表すすべての表し方について、項の積　ｎ_１×ｎ_２×・・・×ｎ_ｒを考え、その最大値をＭ（ｎ）　とする。例えばｎ＝３のとき、項の積は１×１×１＝１，１×２＝２，３となるから、Ｍ（３）＝３となる。

ここから、問題です。

問題１：Ｑ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６と具体的に求めてから、考えてください。答えは指数の形でも良い。

問題２：Ｐ（ｎ）をｎで表したいのですが、未解決問題でして、そこで、ｎ＝１，２，３，４，５，６、７，８，と具体的に求めてから、ｎ＝20までのＰ（ｎ）を知りたい。ここは、オイラーの５角数定理を用いて、次の漸化式を利用してください。

Ｐ（ｎ）＝Ｐ（ｎ―１）＋Ｐ（ｎ―２）―Ｐ（ｎ―５）―Ｐ（ｎ―７）　

＋Ｐ（ｎ―１２）＋Ｐ（ｎ―１５）―Ｐ（ｎ―２２）―Ｐ（ｎ―２６）＋・・・

ただし、Ｐ（０）＝１とする

問題３：Ｍ（ｎ）を求めよ。最初に、ｎ＝１，２，３，４，５，６、７、８と具体的に求めてから、考えてください。

＜参考文献１：数学の知性（ｗ・ダンハム著中村由子訳）「現代数学社」
　　　　　２：オイラーの無限解析（高瀬正仁訳）「海鳴社」
　　　　　３：整数の分割（佐藤文広訳）「数学書房」＞
＜水の流れコメント：参考文献の記述は平成１９年１月７日である＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。