平成19年2月25日
[流れ星]
第186回数学的な応募問題解答
<解答募集期間:2月4日〜2月25日
[円と接線]
皆さん、教えてください。生徒から2005年椙山女学園大学の入試問題を質問されました。
下図について考える。これは次のようにして作図したものです。
まず点Oを中心とする半径5の円を描く。これに接線を引き、その接点をTとする。
次に、この接線と60゜の角度をなす直線で、円周に切り取られる長さが6であるものを描く。
この直線と円周の交点をA、Bとし、接線との交点をPとする。
このとき、PTの長さ、PBの長さと、△PBTの面積を求めよ。
NO1「uchinyan」02/04 16時21分受信
「uchinyan」02/05 12時16分受信
「uchinyan」02/05 14時52分受信
「uchinyan」02/06 11時42分受信 更新2/25
第186回数学的な応募問題
[円と接線]
最初,あまりうまい方法を思いつかなかったし,大学入試問題ということだったので,座標で地道にやってみました。
しかし,改めて初等幾何でできないかな,と思って考え直したら,簡単にできてしまいました ^^v
それらの解法,三角関数を使った解法などを,以下に示します。
(解法1)
初等幾何の解法です。
しかも,辺の比が 3:4:5 や 1:2:sqrt(3) の三角形が直角三角形であることと,
相似及び比例しか使っていないので,ちょっとできる小学生なら理解してしまうかも。
O より AB に垂線を下ろしてその足を M とします。円の性質より,AM = BM = 3 です。
そこで,△OAM は,OA = 5,AM = 3 の直角三角形なので辺の比は 3:4:5 になり OM = 4 です。
ここで,OT を O の方に,PA を A の方に,それぞれ延長してその交点を C とします。
△PCT において。∠CPT = 60度,∠PTC = 90度
なので,∠PCT = 30度 です。
△OCM において。∠OCM = 30度,∠OMC = 90度
より ∠COM = 60度 なので,
OC = 2 * OM = 2 * 4 = 8,CM = sqrt(3)
* OM = 4 * sqrt(3) です。
△PCT において。同様にして,
CT = CO + OT = 8 + 5 = 13,PT = CT/sqrt(3)
= 13/sqrt(3),PC = 2 * PT = 26/3 * sqrt(3)
です。そこで,
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PC - BM - CM = 26/3 * sqrt(3) - 3 - 4 * sqrt(3) = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
そして,T から PA に垂線を下ろしその足を H とすると,
TH = sqrt(3)/2 * PT = sqrt(3)/2
* 13/sqrt(3) = 13/2
△PBT = 1/2 * PB * TH
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法2)
同じく,初等幾何の解法です。
(解法1)とほとんど同じですが,後半の計算が若干楽かな,という感じです。
OM = 4 までは,(解法1)と同じです。
ここで,MO を O の方に,PT を T の方に,それぞれ延長してその交点を D とします。
□PMOT において。∠PTO = ∠PMO = 90度,∠MPT
= 60度 なので,∠MOT = 120度 です。
△ODT において。∠DOT = 180 - ∠MOT = 180 - 120 = 60度,∠OTD = 90度 なので,∠ODT = 30度 で,
DT = sqrt(3) * OT = 5 * sqrt(3),OD = 2 * OT = 2 * 5 = 10 です。
△PMD において。∠PMD = 90度,∠MPD = 60度,∠MDP = 30度 なので,
MD = OM + OD = 4 + 10 = 14,PM = MD/sqrt(3)
= 14/3 * sqrt(3),PD = 2 * PM
= 28/3 * sqrt(3)
です。そこで,
PT = PD - DT = 28/3 * sqrt(3) - 5 * sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/3 * sqrt(3) - 3 = 1/3 * (- 9 + 14 *
sqrt(3))
そして,T から PA に垂線を下ろしその足を H とすると,
TH = sqrt(3)/2 * PT = sqrt(3)/2
* 13/sqrt(3) = 13/2
△PBT = 1/2 * PB * TH
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法3)
図形的な考察をし,三角関数,余弦定理及び正弦定理,を使います。
初等幾何の解法よりも計算が大変ですが,余弦定理及び正弦定理の手ごろな演習問題でしょうか。
O より AB に垂線を下ろしてその足を M とします。円の性質より,AM = BM = 3 です。
そこで,OM^2 = OB^2 - BM^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 = 4^2 で,OM = 4 です。
□PMOT において,∠PTO = ∠PMO = 90度,∠MPT
= 60度 なので,∠MOT = 120度 です。
ここで,△OMT に余弦定理を使って,
MT^2 = OT^2 + OM^2 - 2 * OT * OM * cos(120) = 5^2 +
4^2 + 2 * 5 * 4 * 1/2 = 61
MT = sqrt(61)
cos(∠OMT) = (OM^2 + MT^2 - OT^2)/(2 * OM * MT) = (16
+ 61 - 25)/(8 * sqrt(61)) = 13/(2 * sqrt(61))
cos(∠OTM) = (OT^2 + MT^2 - OM^2)/(2 * OT * MT) = (25
+ 61 - 16)/(10 * sqrt(61)) = 7/sqrt(61)
ところで,∠OMT + ∠PMT = 90度 なので,∠OMT,∠PMT をもつ直角三角形を考えると,
sin(∠PMT) = cos(∠OMT) = 13/(2 * sqrt(61))
同様にして,∠OTM + ∠PTM = 90度 より,
sin(∠PTM) = cos(∠OTM) = 7/sqrt(61)
そこで,△PMT に正弦定理を使って,∠MPT = 60度
に注意すると,
MT/sin(∠MPT) = PT/sin(∠PMT) = PM/sin(∠PTM)
PT = MT/sin(∠MPT) * sin(∠PMT) = sqrt(61) * 2/sqrt(3)
* 13/(2 * sqrt(61)) = 13/sqrt(3)
PM = MT/sin(∠MPT) * sin(∠PTM) = sqrt(61) * 2/sqrt(3)
* 7/sqrt(61) = 14/sqrt(3)
そこで,
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/sqrt(3) - 3 = 14/3 * sqrt(3) - 3 =
1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法4)
図形的な考察をし,三角関数,余弦定理だけ,を使います。
ただ,余弦定理だけで済んでいますが,4次方程式が出現しこれが2次方程式の範囲でうまく解けた,
というラッキーな部分もあるので,個人的には,どうかな,と思っています。
∠MOT = 120度 までは,(解法3)と同じです。
ここで,PT = x,PM = y とおくと,余弦定理より,
PT^2 + PM^2 - 2 * PT * PM * cos(60) = MT^2 = OT^2 +
OM^2 - 2 * OT * OM * cos(120)
x^2 + y^2 - 2xy * 1/2 = 5^2 + 4^2 + 2 * 5 * 4 * 1/2
x^2 + y^2 - xy = 61
一方で,PO に三平方の定理を用いて,
PM^2 + OM^2 = PO^2 = PT^2 + OT^2
y^2 + 4^2 = x^2 + 5^2
y^2 = x^2 + 9
この x, y の二つの方程式を連立して x, y >
0 で解きます。y^2 = x^2 + 9 を代入して,
x^2 + (x^2 + 9) - xy = 61
y = 2x - 52/x
ここで,y > 0 なので,2x - 52/x >
0 つまり x > sqrt(26) に注意して y を消去すると,
(2x - 52/x)^2 = x^2 + 9
4 * x^2 - 208 + 52^2/x^2 = x^2 + 9
3 * x^4 - 217 * x^2 + 16 * 169 = 0
これは4次方程式ですが,x^2 に関して因数分解ができ,
(3 * x^2 - 169) * (x^2 - 16) = 0
x > sqrt(26) なので x^2 - 16
> 0 となり,
3 * x^2 - 169 = 0
x = 13/sqrt(3)
y = 2x - 52/x = 26/sqrt(3) - 4 * sqrt(3) = 14/3 * sqrt(3)
そこで,
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = PM - BM = 14/3 * sqrt(3) - 3 = 1/3 * (- 9 + 14 *
sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法5)
ナイーブに座標を使います。
初等幾何の方法に比べると計算が大変です。ただ,手ごろな演習問題かな,という感じもします。
O を原点,OT を T の方を正とする x 軸とし,P のある方を正として y
軸を導入します。
さらに,PT = p > 0 とし,PA と x 軸とのなす角が 30度 なので,
それに対する傾きが tan(30) = 1/sqrt(3) に注意すると,
T(5,0), P(5,p)
円O:x^2 + y^2 = 5^2 = 25
直線PA:y = 1/sqrt(3) * (x - 5) +
p = 1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))
A,B の x 座標 a,b は,円O と PA の式から y を消去した次の x
の2次方程式の解になります。
x^2 + {1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))}^2 = 25
3 * x^2 + {x + (sqrt(3) * p - 5)}^2 = 75
3 * x^2 + x^2 + 2 * (sqrt(3) * p - 5) * x + (sqrt(3) * p - 5)^2 = 75
4 * x^2 + 2 * (sqrt(3) * p - 5) * x + (sqrt(3) * p - 5)^2 - 75 = 0
そこで,解と係数の関係から,
a + b = - 1/2 * (sqrt(3) * p - 5), ab = 1/4 * ((sqrt(3) * p - 5)^2 -
75)
一方で,AB = 6 なので,
AB^2 = 36
= (a - b)^2 + {(1/sqrt(3) * a + (p - 5/sqrt(3))) - (1/sqrt(3) * b + (p -
5/sqrt(3)))}^2
= (a - b)^2 + {(1/sqrt(3) * (a - b)}^2
= 4/3 * (a - b)^2
= 4/3 * {(a + b)^2 - 4ab}
= 4/3 * {(- 1/2 * (sqrt(3) * p - 5))^2 - 4 * (1/4 *
((sqrt(3) * p - 5)^2 - 75))}
= 4/3 * {1/4 * (sqrt(3) * p - 5)^2 - (sqrt(3) * p - 5)^2 + 75}
= - (sqrt(3) * p - 5)^2 + 100
- (sqrt(3) * p - 5)^2 + 100 = 36
(sqrt(3) * p - 5)^2 = 64
sqrt(3) * p - 5 = 8, -8
sqrt(3) * p = 13, -3
p > 0 なので,
p = 13/sqrt(3)
そこで,x の2次方程式は,
4 * x^2 + 2 * 8 * x + 8^2 - 75 = 0
4 * x^2 + 2 * 8 * x - 11 = 0
a = 1/4 * (- 8 - sqrt(64 + 44)) = 1/2 * (- 4 - 3 * sqrt(3))
b = 1/4 * (- 8 + sqrt(64 + 44)) = 1/2 * (- 4 + 3 * sqrt(3))
これより,
PT = p = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB^2 = (5 - b)^2 + (p - (1/sqrt(3) * b + (p - 5/sqrt(3)))^2
= (5 - b)^2 + (1/sqrt(3) * (b - 5))^2
= 4/3 * (5 - b)^2
PB = 2/sqrt(3) * (5 - b)
= 2/sqrt(3) * (5 - 1/2 * (- 4 + 3 * sqrt(3)))
= 2/sqrt(3) * 1/2 * (14 - 3 * sqrt(3))
= 1/sqrt(3) * (14 - 3 * sqrt(3))
= 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法6)
座標に,図形的考察を加味します。
初等幾何の方法には及びませんが,(解法5)よりは楽です。
直線PAの式までは(解法5)と同じです。
ここで,(解法1)と同じようにして OM = 4 を導き,直線PAの原点からの距離が 4 になる式を使います。
直線PA
y = 1/sqrt(3) * x + (p - 5/sqrt(3))
x - sqrt(3) * y + (sqrt(3)
* p - 5) = 0
直線PAの原点からの距離 = |sqrt(3) * p - 5|/sqrt(1 + 3) = 4
|sqrt(3) * p - 5| = 8
sqrt(3) * p - 5 = 8, -8
p > 0 より,
p = 13/sqrt(3)
一方で,∠BTP = ∠TAP なので,△PBT ∽ △PTA
がいえ,PT:PB = PA:PT,つまり,
PT^2 = PA * PB (方べきの定理)
を用いて,PB = x > 0 として,
x(x + 6) = p^2 = 169/3
3 * x^2 + 18 * x - 169 = 0
x > 0 より,
x = 1/3 * (- 9 + sqrt(9^2 + 3 * 169)) = 1/3 * (- 9 + sqrt(3 * 196))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - 9)
そこで,
PT = 13/sqrt(3) = 13/3 * sqrt(3)
PB = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(解法7)
実質的には座標と似たり寄ったりですが,ちょっと工夫して,ベクトルっぽくやってみます。
O を原点,OT を T の方を正とする x 軸とし,P のある方を正として y
軸を導入します。
さらに,PT = p > 0 とし,PA と x 軸とのなす角が 30度 に注意すると,
T(5,0),P(5,p)
円O:x^2 + y^2 = 5^2 = 25
PA の P から A に向かう単位ベクトル:e = (- cos(30), - sin(30)) = (- sqrt(3)/2, - 1/2)
直線PA:(x,y)
= e * t + P = (- sqrt(3)/2 * t + 5, - 1/2 * t + p)
ただし,今は,P から A の向きだけが意味があるので,t > 0 として十分で,
e を単位ベクトルに選んだので,t は,P から A の方向に測った線分の長さになっています!
そこで,PA = a,PB = b とすると,これは,円O と PA の式から x, y を消去した
次の t の2次方程式の解で与えられます。
(- sqrt(3)/2 * t + 5)^2 + (- 1/2 * t + p)^2 = 25
t^2 - (p + 5 * sqrt(3)) * t + p^2 = 0
そこで,解と係数の関係から,
a + b = p + 5 * sqrt(3), ab
= p^2, a > b > 0
一方で,AB = 6 ですが,PA = a,PB = b なので,
AB = PA - PB = a - b = 6
(a - b)^2 = 36
(a + b)^2 - 4ab = 36
(p + 5 * sqrt(3))^2 - 4 * p^2 = 36
3 * p^2 - 10 * sqrt(3) * p - 39 = 0
p > 0 より,
p = 1/3 * (5 * sqrt(3) + sqrt(25
* 3 + 3 * 39))
= 1/3 * (5 * sqrt(3) + sqrt(3
* 64))
= 1/3 * (5 * sqrt(3) + 8 * sqrt(3))
= 13/3 * sqrt(3)
そこで,
3 * t^2 - 28 * sqrt(3) * t + 169 = 0
PB = b = 1/3 * (14 * sqrt(3) - sqrt(196
* 3 - 3 * 169))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - sqrt(3
* 27))
= 1/3 * (14 * sqrt(3) - 9)
これより,
PT = p = 13/3 * sqrt(3)
PB = b = 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
△PBT = 1/2 * PB * PT * sin(60)
= 1/2 * 1/3 * (- 9 + 14 * sqrt(3)) * 13/sqrt(3) * sqrt(3)/2
= 13/12 * (- 9 + 14 * sqrt(3))
となります。
(感想)
最初,大学入試問題なので,座標を使って解いて,「まぁ,こんなものかな」と思ったのですが,
今一つ物足りなかったので初等幾何で解けないか再考していたら,簡単に解けてしまってビックリ!
しかも,ルートが出てくるので中学数学ですが,考え方自体は算数の範囲かな,とも思います。
余弦定理や正弦定理をうまく使った解法もいいと思います。
ただ,実際の入試ではどうするか,少し迷うところですね...
ひらめけば初等幾何,ひらめかなかったら,三角関数か座標,といったところでしょうか。
なお,AOT が直径にならないのが,ニクイというか,要注意というか...(^^;
NO2「kashiwagi」02/05 19時28分受信
「kashiwagi」02/06 09時09分受信 更新2/25
186回
題意より上図が得られる。各々の長さ PT=X, BP=Y, CD=a, AC=b とすると、DT=10,
AO=BO=5(円Oの半径) より△AOBは二等辺三角形であるから、Oより辺ABに垂線OEを下すと
その長さは三平方の定理より4となる。すると△COEは30°の直角三角形であり、
CO=8, 即ちCD=3、因ってCT=13である。これよりX=13/√3=PTとなる。
又、PC=26/√3 よりY=26/√3 –(4√3+3)=(13√3-9)/3=BP
因って△PBTの面積はXYsin60/2=(169√3-117)/12となる。
NO3「スモークマン」 02/06 19時14分受信
更新2/25
Aを延長して、直径との延長線との交点をRとし、30,60,90°の△を作り、A を通る30°の直線とPT との交点をHとし、AB への O からの垂線との交点をSとする。
3:4:5 の△と1:2:√3の△から、3/√3=√3
AH=2√3+(4-√3)/2+5=7+3√3/2
PH=AH/√3
HT=(4-√3)√3/2=2√3-3/2
PT=PH+HT=13√3/3
RP=2*PT=26√3/3
RT=√3*PT=13
RO=13-5=8
RS=8*√3/2=4√3
PB=RP-RB=26√3/3-4√3-3=14√3/3-3
△PBT=1/2*sin60*PB*PT=1/2*√3/2*(14√3-3)(13√3/3)=91√3/2-39/4
B から OR への垂線との交点をWとすると、
BW=1/2*RB=1/2*(4√3+3)
OW^2=5^2-BW^2=5^2-1/4*(48+9+24√3)=(57+24√3)/4
OW=1/2*(a+b√3)=1/2*(-3+4√3) が条件に合う。
BT^2=BW^2+QW^2=BW^2+(5-OW)^2=BW^2+5^2-10*OW+OW^2=2*5^2-10*OW
=50-5*(-3+4√3)=65-20√3
BT=c+d√3=-√5+2√15 が条件に合うかな?
計算がややこしい・・・(^^;
最期に、BT は求めなくてもよかったんだ・・・Orz
NO4「Toru」 02/08 13時24分受信 更新2/25
いろいろな解き方がありそうですが、初等幾何的なものとベクトルと座標を組み合わ
せたようなものを考えてみました。もっとスッキリした解答があるやも知れませんが、
とりあえずこの辺りで送っておきます。またよろしくお願いします
解答1)
PAとTOの交点をQ OからABに降ろした垂線の足をCとする
ΔACOにてOA=5 AC=3 ∠ACO=90°より OC=4
直角三角形OCQを考えれば OQ=2 OC=8
よってQT=QO+OT=13 直角三角形PQTを考えれば PT=QT/√3=13√3 /3
PQ=2 PT=26√3 /3 CQ=√3 OC=4√3 より PB=PQ-CQ-BC=14√3
/3 −3
ΔPBT=1/2 PB PT sin60°=91√3 /6 −39/4
解答2)
半径5の円に外接する正三角形を書くと、この高さは15で一辺は10√3
このうちの一辺を円の中心の方へ1平行移動して、円との交点をA,B
のようにすれば、図のような状況になります。
この時PT=10√3 /2 − 10√3 /15 = 13√3 /3
BP=(10√3 x 14/15 −
6)/2 =14√3 /3 − 3
ΔPBTは PBを底辺と見れば 高さは15/2-1=13/2
よっc「PBT= (14√3 /3 − 3) x 13/2 x
1/2=91√3 /6 −39 /4
解答3)
Oを原点として AB方向の単位ベクトルe1(√3/2
,1/2) これを反時計方向に90°回転
させた単位ベクトルe2(-1/2,√3/2)とする
BPの長さをtとすると
OP=4e2+(t+3)e1=(√3 (t +3)/2-2,2√3+(t+3)/2) で√3 (t+3)
/2-2=5とすると
t+3=14√3 /3 よってBP=14√3 /3 -3
OP=(5, 13√3 /3)よりPT=13√3 /3
ΔPBT=1/2 PB PT sin60°=91√3 /6 −39/4
NO5「まーや」 02/11 20時30分受信 更新2/25
第186回数学的な応募問題
[円と接線]
TOの延長線とPAの延長線の交点をCとする。
点OからABに向かって垂線を引き、その垂線とABの交点をDとする。このときODは、線分ABの垂直二等分線となる。よって、
∠ODA=90° AD=DB=AB×1/2=6×1/2=3
△PCTにおいて、∠CTP=90°,∠TPC=60°なので、
∠PCT=30°
△OCDにおいて、∠ODC=90°,∠OCD=30°なので、
∠COD=60°
(方針)
△PCTと△OCDが相似で、
内角が90°,60°,30°の直角三角形であることを利用して解く。
△ODAにおいて、AD=3,OA=5(円の半径)なので、
三平方の定理より OD=4
△OCDは内角が90°,60°,30°の直角三角形なので、
OD:DC:CO=1:√3:2
OD=4より DC=4√3 CO=8
△PCTは内角が90°,60°,30°の直角三角形なので、
PT:TC:CP=1:√3:2
TC=TO+CO=5+8=13より
NO6「新俳人澄朝」02/20 16時54分受信 更新2/25
「新俳人澄朝」02/21 10時14分受信 更新2/25
前回の連立方程式の解法は邪道と思い、別解を思いつきましたので再送信します。中学生でも分かる解き方となりました。図形問題は補助線一本ですネ
NO7「ぐーてん」02/21 16時53分受信 更新2/25
ABの中点をMとおくと,ABはOを中心とする
円の弦であるから,AB⊥OMである
MB = 3,OB = 5より,OM = 4
AB,OTの交点をCとおくと、∠C = 30°
従って,
さらに,
従って、
よって、