平成１９年３月１８日

[流れ星]

　　　　　第1８８回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：３月１８日〜４月８日

［線分のｎ等分点］

皆さん、線分ＡＢについて，２等分点にマーク，３等分点にマーク，４等分点にマーク，・・・，
ｎ等分点にそれぞれ新しい分点のみにマークをつけていきます。ここで問題です。

問題１：ｎ＝２，３，４，５，６のとき、新しいマークはそれぞれ何個増えますか。

　問題２：２００７等分点をマークしたとき、新しいマークは何個増えますか。

　問題３：１９等分点をマークしたとき、今までのマーク数を答えなさい。

　問題４：点Ａの座標を（０），点Ｂの座標を（１）として数直線上で線分ＡＢを考えます。

　　　　　ｎ等分点のときに、今までのマークされた座標を小さい順に並べた数列｛Ｆ_ｎ｝を作ります。

　　　　　この数列は名前がついています。何という名でしょう。

問題５：この数列｛Ｆ_ｎ｝の任意の隣り合う２項をｂ/ａ，ｄ/ｃ　（ただし、ｂ/ａ＜ｄ/ｃ）とするとき、次の問いに答えよ。

（１）不等式　ｂ/ａ＜（b+d）/(a+c)＜ｄ/ｃが成り立つことを注意して、ａ＋ｃ≧ｎ＋１であることを示してください。

（２）等式　ａｄ−ｂｃ＝１という性質があります。これを証明してください。

（３）不等式　ｂ/ａ＜ｑ/ｐ＜ｄ/ｃを満たすＦ_ｎ＋１の項ｑ/ｐ（既約分数）が存在するならば、
ａ＋ｃ＝ｎ＋１であることを示してください。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。