平成１９年４月８日
[流れ星]
第1８８回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：３月１８日〜４月８日
［線分のｎ等分点］
皆さん、線分ＡＢについて，２等分点にマーク，３等分点にマーク，４等分点にマーク，・・・，
ｎ等分点にそれぞれ新しい分点のみにマークをつけていきます。ここで問題です。
問題１：ｎ＝２，３，４，５，６のとき、新しいマークはそれぞれ何個増えますか。
問題２：２００７等分点をマークしたとき、新しいマークは何個増えますか。
問題３：１９等分点をマークしたとき、今までのマーク数を答えなさい。
問題４：点Ａの座標を（０），点Ｂの座標を（１）として数直線上で線分ＡＢを考えます。
ｎ等分点のときに、今までのマークされた座標を小さい順に並べた数列｛Ｆｎ｝を作ります。
この数列は名前がついています。何という名でしょう。
問題５：この数列｛Ｆｎ｝の任意の隣り合う２項をｂ/ａ，ｄ/ｃ （ただし、ｂ/ａ＜ｄ/ｃ）とするとき、次の問いに答えよ。
（１）
不等式 ｂ/ａ＜（b+d）/(a+c)＜ｄ/ｃが成り立つことを注意して、ａ＋ｃ≧ｎ＋１であることを示してください。
（２）
等式 ａｄ−ｂｃ＝１という性質があります。これを証明してください。
（３）
不等式 ｂ/ａ＜ｑ/ｐ＜ｄ/ｃを満たすＦｎ＋１の項ｑ/ｐ（既約分数）が存在するならば、
ａ＋ｃ＝ｎ＋１であることを示してください。
NO1「uchinyan」03/18 17時27分受信
03/24 13時19分受信 更新4/8
第１８８回数学的な応募問題
［線分のｎ等分点］
問題1：
・n = 2：1 個
・n = 3：2 個
・n = 4：2 個
4 等分で 3 個の等分点がありますが，中央の点は n = 2
の場合と一致するので，増えるのは 2 個です。
・n = 5：4 個
・n = 6：2 個
6 等分で 5 個の等分点がありますが，
中央の点は n = 2 の場合と一致し，左から 1 個おきの 2 個の点は n = 3 と一致するので，増えるのは 2 個です。
問題2：
問題1：を再考してみます。
問題4：と同様に，A に 0 を B に 1 を対応させると，n 等分点は，k/n, 1 <= k <= n-1 と書けます。
この分数が約分できる場合には，分母が n より小さい m になるので，m 等分点に重なります。
つまり，n が n より小さい数と 1 以外の共通の約数をもつ場合には，他の等分点と重なります。
したがって増えるのは，n より小で n と互いに素な数 k の個数と一致します。
これは，第157回でやったオイラー関数φ(n)の値になります。
そこで，素因数分解すると 2007 = 3^2 * 223 なので，
φ(2007) = φ(3^2 * 223) = φ(3^2) * φ(223) = (3^2 - 3) * (223 - 1) = 6 *
222 = 1332 個
問題3：
問題1：及び問題2：より，増えるのは，
・n = 2：φ(2) = 1 個
・n = 3：φ(3) = 2 個
・n = 4：φ(4) = 2 個
・n = 5：φ(5) = 4 個
・n = 6：φ(6) = 2 個
・n = 7：φ(7) = 6 個
・n = 8：φ(8) = 4 個
・n = 9：φ(9) = 6 個
・n = 10：φ(10) = 4 個
・n = 11：φ(11) = 10 個
・n = 12：φ(12) = 4 個
・n = 13：φ(13) = 12 個
・n = 14：φ(14) = 6 個
・n = 15：φ(15) = 8 個
・n = 16：φ(16) = 8 個
・n = 17：φ(17) = 16 個
・n = 18：φ(18) = 6 個
・n = 19：φ(19) = 18 個
今までのマーク数は，これらの合計と考えられるので，119 個。
問題4：
う〜ん，そもそも知らないし，Webで調べても，どう調べるのがいいのかも含めて，分かりませんでした．．．
問題5；
(1) まず，不等式の証明から。
b/a < d/c，ただし a, b, c, d > 0，から，
d/c - b/a > 0
(ad - bc)/ac > 0
ad - bc > 0
なので，
(b+d)/(a+c) - b/a = (ad - bc)/(a(a+c)) > 0
d/c - (b+d)/(a+c) = (ad - bc)/(a(a+c)) > 0
したがって，確かに，b/a < (b+d)/(a+c) < d/c がいえます。
さて，b/a，d/c の間にある (b+d)/(a+c) の分母 a+c が n 以下ならば，
問題2：で注意したように，この分数は，Fn の中にあるはずです。
しかし，b/a，d/c は Fn の隣り合う分点なので，これは矛盾です。
したがって，a+c >= n+1 でなければなりません。
(2)＆(3) 一緒に証明します。
等分点の個数 n についての数学的帰納法を使います。
・n = 3 のとき
{F3}
1/3, 1/2, 2/3
より，明らか。
・n で成立したとして n+1 の場合を考えます。
Fn の隣り合う分点を b/a，d/c，ad - bc = 1 とします。
(i) b/a と d/c との間に Fn+1 の点が入らない場合
Fn+1 でも b/a，d/c が隣り合う分点になるので，明らかに，ad - bc = 1 が成立します。
(ii) b/a と d/c との間に Fn+1 の点が入る場合
今，Fn+1 の項 q/p が既約分数で b/a < q/p < d/c になったとします。
q/p は既約分数なので，もし p が n 以下ならば，問題2：で注意したように，
既に Fn の中に含まれているはずで，b/a と d/c が Fn 内で隣り合うということに矛盾します。
また Fn+1 は n+1 以下の等分点なので，既約分数の分母の p は n+1 以下でなければなりません。
したがって，p = n+1 が必要十分になります。
さらに，b/a，d/c は Fn の隣り合う二項なので 0 < d/c - b/a <= 1/n です。
そこで，もし q/p = q/(n+1) が b/a，d/c の間に三つ以上存在したとすると，
三つの間は 2/(n+1) なので，
2/(n+1) <= 1/n
n <= 1
これは矛盾です。したがって，q/(n+1) は，高々二つです。
そこで，もし二つあるとすると，
b/a < q/(n+1) < (q+1)/(n+1) < d/c
このとき，q/(n+1) の (q+1)/(n+1) も Fn+1 の点なので既約分数になっていないといけません。
隣り合う二項の差を計算すると，
q/(n+1) - b/a = (aq - b(n+1))/(a(n+1)) > 0
d/c - (q+1)/(n+1) = (d(n+1) - c(q+1))/(c(n+1)) > 0
隣り合う二項の ad - bc にあたるのは上式の分子の値なので，u, v > 0 の整数として，
aq - b(n+1) = u
d(n+1) - c(q+1) = v
q，n+1 について整理して
aq - b(n+1) = u
-cq + d(n+1) = v + c
これを帰納法の仮定，b/a と d/c が Fn 内で隣り合い ad - bc
= 1，に注意して，
q，n+1 について解くと，
q = du + b(v + c) = du + bv + bc
n+1 = cu + a(v + c) = cu + av + ac
ここで， u, v >= 1，(1)より a+c >= n+1 なので，
n+1 = cu + av + ac >= a + c + ac >= n+1 + ac
そこで，
0 >= ac
ですが，a，c も正なのでこれは矛盾です。
したがって，Fn+1 の点は一つでなければなりません。
そこで，
b/a < q/(n+1) < d/c
同様の計算を繰り返すと，
q/(n+1) - b/a = (aq - b(n+1))/(a(n+1)) > 0
d/c - q/(n+1) = (d(n+1) - cq)/(c(n+1)) > 0
aq - b(n+1) = u > 0
d(n+1) - cq = v > 0
aq - b(n+1) = u
-cq + d(n+1) = v
u, v >= 1 だったので，
q = du + bv
n+1 = cu + av >= c + a >= n+1
二番目の式が成立するには，
u = v = 1
a+c = n+1
でなければなりません。
u = v = 1 は，
aq - b(n+1) = 1
d(n+1) - cq = 1
これは，Fn+1 の隣り合う二項 B/A，D/C で AD - BC = 1 が成立していることを示しています。
以上で，(2)がいえました。
そして，(ii)の結果より a+c = n+1 もいえています。これで，(3)がいえました。
なお，このとき，q = b+d もいえています。
結局，Fn+1 は，Fn の隣り合う二項 b/a，d/c から，
a+c = n+1 ならば b/a と d/c の間に (b+d)/(a+c) として与えられることを示しています。
(考察)
う〜ん，問題4：が分からず．．．何というのだろう．．．なお，{Fn}の例を挙げておきます。
{F2}
1/2
{F3}
1/3, 1/2, 2/3
{F4}
1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4
{F5}
1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5
{F6}
1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6
{F7}
1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6,
6/7
{F8}
1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7,
3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8
{F9}
1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 2/9, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 4/9, 1/2, 5/9, 4/7,
3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 7/9, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 8/9
...
確かに問題5：の性質が見て取れます。興味深い性質ですね。
(感想)
単純な話なのですが，なかなか面白い性質だと思います。何か妙に感心してしまいました。
NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 03/21 11時58分受信
更新4/8
こんにちは^^
前回は惜しいところには向いてたようですが、なにぶん微積を忘れたというか疎いもので、、、解答をみて大変勉強になります。小学正っぽい頭のわたしにはへ〜って思った問題でした。
今回は小学っぽいわたしにもチャレンジ魂が沸き起こるような問題なので考えてみました。
第1８８回数学的な応募問題
［線分のｎ等分点］
皆さん、線分ＡＢについて，２等分点にマーク，３等分点にマーク，４等分点にマーク，・・・，
ｎ等分点にそれぞれ新しい分点のみにマークをつけていきます。ここで問題です。
問題１：ｎ＝２，３，４，５，６のとき、新しいマークはそれぞれ何個増えますか。
1/2,1/3,1/5,・・・素数pの場合、
1/p,2/p,3/p,4/p,・・・,(p-1)/p のp-1個は重ならない。
1/6の場合、6=2*3 なので、
分子が、2,3 のとき、2/6=1/3,3/6=1/2 と重なる。
1/8 の場合、8=2^3 なので、
分子が、2,4,6のとき、2/8=1/4,4/8=1/2,6/8=3/4
と重なる。
つまり分母と規約なものの数だけしか増えない。これは、
オイラーの関数 φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)・・・の数だけ増えるということ。
φ(2)=1, φ(3)=2, φ(4)=２, φ(5)=4, φ(6)=2
問題２：２００７等分点をマークしたとき、新しいマークは何個増えますか。
解答
2007=3^2*223
φ(2007)=2007*(1-1/3)(1-1/223)=1332
問題３：１９等分点をマークしたとき、今までのマーク数を答えなさい。
φ(7)=6, φ(8)=4, φ(9)=6, φ(10)=4, φ(11)=10, φ(12)=4, φ(13)=12,
φ(14)=6, φ(15)=8, φ(16)=8, φ(17)=16, φ(18)=6, φ(19)=18 から、
Σφ(n):(nは2〜19）
= 1+2+２+4+2+6+4+6+4+10+4+12+6+8+8+16+6+18
=１１９
問題４：点Ａの座標を（０），点Ｂの座標を（１）として数直線上で線分ＡＢを考えます。ｎ等分点のときに、
今までのマークされた座標を小さい順に並べた数列｛Ｆｎ｝を作ります。
この数列は名前がついています。何という名でしょう。
解答
？ カントールが有理数と自然数を1対1対応させるとき使った分数列のような・・・
？
問題５：この数列｛Ｆｎ｝の任意の隣り合う２項をｂ/ａ，ｄ/ｃ（ただし、ｂ/ａ＜ｄ/ｃ）とするとき、次の問いに答えよ。
（１）不等式 ｂ/ａ＜（b+d）/(a+c)＜ｄ/ｃが成り立つことを注意して、ａ＋ｃ≧
ｎ＋１であることを示してください。
解答
もし、a+c=m<=nなら、(b+d)/m
という数が存在することになり、b/a と d/c が隣り合う数でなくなるため矛盾。
（２）等式 ａｄ-ｂｃ＝１という性質があります。これを証明してください。
d/c-b/a=(ad-bc)/ac<=1/n を満たす最小の場合のはずだから、
a+c>=n+1 なので、ac の最小値は、a+c=n+1 のとき、
2*(n-1) なので、2(n-1)/n=2-1/n よりも小さければならない。
つまり、0<ad-bc<=2-1/n から、ad-bc=1
（３）不等式 ｂ/ａ＜ｑ/ｐ＜ｄ/ｃを満たすＦｎ＋１の項ｑ/ｐ（既約分数）が存在
するならば、
ａ＋ｃ＝ｎ＋１であることを示してください。
解答
それまでの隣り合う数の間に挿入できるものとしては、ｂ/ａ＜（b+d）/(a+c)＜ｄ/ｃから、新たな数の分母がn+1 以上のもののはず。しかも、n+1 分点の今まであったものと重なっていないとすると、分母はn+1 で、分子はそれと規約な数のはず。つまり題意を満たすものがそれである。
言われてみると、、、^^、、、気付いた人は偉いですね♪
03/23 23時20分受信 更新4/8
調べました、、、ファレイ数列って言うんですね♪
おもしろいですね。もっと誰かが、たとえば、オイラーさんとか、ガウスさんとかが見つけててもいいような。。。^^
カントールの有理数の分数列は、左下からうまくたどると同じような数列にならないのかなあ・・・？同じ無限濃度なんだから、、、
NO3「Toru」 03/23 13時33分受信 更新4/8
第１８８回解答を送ります。
高木貞治著の「初等整数論講議」を参考にしました。 とても興味深い問題で、楽し
めました。ありがとうございました。
問題１
n=2,3,4,5,6 に従って 1,2,2,4,2
問題2
2007と素なものを数えればよいので
オイラーの関数をつかって
φ(2007)=φ(223x3^2)=φ(223)φ(3^2)=222x(8-2)=1332
問題３
φ(k) はk=2,3,------,19に従って、
1,2,2,4,2,6,4,6,4,10,4,12,6,8,8,16,6,18
これらの和で119
問題4
Farey 数列
問題5
(1) a+c≦nならばb+d<nなので(b+d)/(a+c)が{Fn}に含まれることになってb/aとd/cが
隣り合うとした仮定に矛盾する。
(2) 帰納法による。便宜上{Fn}に0/1と1/1を加えておく、n=1ならば成り立つ,{Fn}で
成り立つとし{Fn}の任意の隣り合う項をb/a, d/cとするとad-bc=1、b/a<y/x<d/c
と
なるような既約分数y/xを考える, u=ay-bx, v=dx-cy とおくとx=cu+av, y=du+bv
u>0, v>0よりx≧a+c 、従って{Fn+1}においてb/a, d/cの間に新しい項が入るとすれ
ば、x=a+cでa+c=n+1（(3)）これは,u=1,v=1の時のみなりたち、y=b+dも決まるので新
しい項は入るとしても１つだけでu=1,v=1より仮定はなりたっている。新しい項が入
らなければもともと成り立っているので、{Fn+1}でも成り立つことが示された。
(3) (2)の中で示されている。
NO4「ice」 03/29 22時16分受信 更新4/8
NO5「kasama」 03/31 10時22分受信
04/03 22時39分受信 更新4/8
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問題１ 線分の等分点にマークをつけて調べると、下表のようになります。
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問題２ 上の表を見てわかる通り、線分の2,3,4,…,n等分点にマークをつけたとき、新たに増えるマークの個数は、2,3,4,…,nと互いに素な数の個数です。よく知られているように、この数はオイラー関数φ(n)で表されます。つまり、2007=32･223なので、 |
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問題３ φ(2)+φ(3)+…+φ(19)を計算すればよいので、pari/gpにやらせると、 |
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問題４ その数列を書き並べると、 |
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問題５
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NO６「Kashiwagi」 04/05 19時49分受信 更新4/8
＜コメント＞先月の中旬からずっと出張しており、4月3日に戻って参りました。 すぐに今回の問題を考えたのですが、中々難しく、問5の（1）と（3）は感では分かるのですが、 数式的には証明できませんでした。締め切り日も近づいており、不満ですが提出致します。
188回問題
問1.
線分ABの長さを1とすると最初は0と1の2つの点しかないが、更に2等分、3等分という様に等分点を増やしていくと、2等分では1/2、3等分点は1/3、2/3と言う様にマークが増えていく。この考え方を繰り返すと、求めるものは以下の表の様になる。
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N |
等分点 |
新たにマークされた点数 |
|
2 |
1/2 |
1 |
|
3 |
1/3、2/3 |
2 |
|
4 |
1/4、2/4=1/2、3/4 |
2 |
|
5 |
1/5、2/5、3/5、4/5 |
4 |
|
6 |
1/6、2/6=1/3、3/6=1/2、4/6=2/3、5/6 |
2 |
問2.
2007=3×669＝223×9 と分解できる。即ち、分母が2007である場合、3の倍数なら約分できるので新たな数ではない。この数は全部で668個ある。又、223は素数であり、これに3の倍数である3と6を掛けたものは既に3の倍数の中に含まれている。因って分母2007の分子の数2006から668+（8-2）＝668+6＝674を引いた1332個が新たなマーク点である。
問3.
問1.と全く同様な計算をすると、以下の表を得る。因って、問1.の結果を加え119となる。
|
N |
マーク点 |
N |
マーク点 |
|
7 |
6 |
14 |
6 |
|
8 |
4 |
15 |
8 |
|
9 |
6 |
16 |
8 |
|
10 |
4 |
17 |
16 |
|
11 |
10 |
18 |
6 |
|
12 |
4 |
19 |
18 |
|
13 |
12 |
|
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問4.有界無限数列
＜水の流れ：ファレー数列と言います＞
問5.（1）と（3）は分かりません。
（2）は題意より
と書ける。これより
となる。
