平成１９年６月１０日
[流れ星]
第1９１回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：５月２０日～６月１０日
［連勝連敗の平均］
皆さん、今年のゴールデンウィーク中にプロ野球セリーグは9連戦が行われました。このときチームによって連勝や連敗が多く起きました。巨人の場合は××○○○×○○×、横浜は○○○雨○○××○、中日は×××××○○○×、阪神は×××雨××××雨、広島は○○○×○○○○雨、ヤクルトは○○×○××××○でした。ここで、連勝連敗という連続数の平均を考えました。例えば、巨人の場合は（２＋３＋１＋２＋１）÷５＝１．８ です。
ここで次のような問題を作成しました。皆さん！考えてください。
あるチームがｎ（ｎ≧２）試合野球を行ったとき、この連続数の平均の期待値を求めてください。
ただし、勝敗の起こる確率は5分5分とし、引き分けはないものとします。
問題１：ｎ＝２、３、４のときの期待値を求めよ。
問題２：一般のときの期待値をｎで表せ。
NO1「uchinyan」05/20 16時06分受信 更新6/10
＜コメント：第１９１回数学的な応募問題への解答 を送ります。
きれいな結果になるのですね。＞
第１９１回数学的な応募問題
［連勝連敗の平均］
問題1：
勝ちを○，負けを×，で，表します。
連続数の平均の定義，期待値の定義に従って，地道に計算します。
(1) n = 2 の場合
○○ 連続数の平均 2/1 = 2，確率 1/4
○× 連続数の平均 (1 + 1)/2 = 1，確率 1/4
×○ 連続数の平均 (1 + 1)/2 = 1，確率 1/4
×× 連続数の平均 2/1 = 2，確率 1/4
したがって，
期待値
= 2 * 1/4 + 1 * 1/4 + 1 * 1/4 + 2 * 1/4
= 6/4
= 3/2
(2) n = 3 の場合
○○○ 連続数の平均 3/1 = 3，確率 1/8
○○× 連続数の平均 (2 + 1)/2 = 3/2，確率
1/8
×○○ 連続数の平均 (1 + 2)/2 = 3/2，確率
1/8
○×○ 連続数の平均 (1 + 1 + 1)/3 = 1，確率
1/8
××○ 連続数の平均 (2 + 1)/2 = 3/2，確率
1/8
○×× 連続数の平均 (1 + 2)/2 = 3/2，確率
1/8
×○× 連続数の平均 (1 + 1 + 1)/3 = 1，確率
1/8
××× 連続数の平均 3/1 = 3，確率 1/8
したがって，
期待値
= 3 * 1/8
+ 3/2 * 1/8 + 3/2 * 1/8 + 1 * 1/8
+ 3/2 * 1/8 + 3/2 * 1/8 + 1 * 1/8
+ 3 * 1/8
= 14/8
= 7/4
(3) n = 4 の場合
○○○○ 連続数の平均 4/1 = 4，確率 1/16
○○○× 連続数の平均 (3 + 1)/2 = 2，確率
1/16
×○○○ 連続数の平均 (1 + 3)/2 = 2，確率
1/16
○○×○ 連続数の平均 (2 + 1 + 1)/3 = 4/3，確率 1/16
○×○○ 連続数の平均 (1 + 1 + 2)/3 = 4/3，確率 1/16
○○×× 連続数の平均 (2 + 2)/2 = 2，確率
1/16
××○○ 連続数の平均 (2 + 2)/2 = 2，確率
1/16
○××○ 連続数の平均 (1 + 2 + 1)/3 = 4/3，確率 1/16
×○○× 連続数の平均 (1 + 2 + 1)/3 = 4/3，確率 1/16
○×○× 連続数の平均 (1 + 1 + 1 + 1)/4 = 1，確率 1/16
×○×○ 連続数の平均 (1 + 1 + 1 + 1)/4 = 1，確率 1/16
○××× 連続数の平均 (1 + 3)/2 = 2，確率
1/16
×××○ 連続数の平均 (3 + 1)/2 = 2，確率 1/16
××○× 連続数の平均 (2 + 1 + 1)/3 = 4/3，確率 1/16
×○×× 連続数の平均 (1 + 1 + 2)/3 = 4/3，確率 1/16
×××× 連続数の平均 4/1 = 4，確率 1/16
したがって，
期待値
= 4 * 1/16
+ 2 * 1/16 + 2 * 1/16 + 4/3 * 1/16 + 4/3 * 1/16
+ 2 * 1/16 + 2 * 1/16 + 4/3 * 1/16 + 4/3 * 1/16 + 1 * 1/16 + 1 * 1/16
+ 2 * 1/16 + 2 * 1/16 + 4/3 * 1/16 + 4/3 * 1/16
+ 4 * 1/16
= 30/16
= 15/8
問題2：
問題1：からすると，n の場合の期待値は，(2^n - 1)/2^(n-1) になりそうです。
実際，そうなることを以下で示します。
まず確率は，明らかにすべての勝敗パターンに対して 1/2^n です。
次に，それぞれの連続数の平均を考えます。
分子は，勝ち負けの試合数の合計ですが，これは結局，総試合数になるので，n です。
分母は，連続する勝ち負けの個数です。これは，n 試合を，幾つの組に分けるかに対応します。
これを k とします。すると，ぞれぞれの連続数の平均は，n/k
です。
これに確率を掛けて足し上げたものが期待値です。
期待値 = ∑[分け方の和] (n/k * 1/2^n) =
1/2^n * (∑[分け方の和] n/k)
ここで，∑について少し詳しく見てみます。
k は，n 試合を連続する勝ち負けの組に分けたときの組の数でした。
これは，○×の図式で考えると，n-1 個の試合の隙間に仕切り線を k-1 個入れて交互に連続する
勝ち負けを並べる，と考えられます。
そこで，分け方は，(n-1)C(k-1) 通りあります。
ただし，分けただけでは，(最初に)勝ちか負けかは決めていないので，これを決めるために 2 倍します。
∑は，これを，k = 0，全勝又は全敗，から k = n-1，一試合ごとに交互に勝ち負けする，まで，
足し上げればいいことになります。つまり，
期待値
= 1/2^n * (∑[分け方の和] n/k)
= 1/2^n * ∑[k=0,n-1] n/k * (n-1)C(k-1) * 2
= 1/2^(n-1) * ∑[k=0,n-1] n/k * (n-1)!/(n-k)!(k-1)!
= 1/2^(n-1) * ∑[k=0,n-1] n/(n-k)!k!
= 1/2^(n-1) * ∑[k=0,n-1] nCk
ここで，二項定理より，
∑[k=0,n] nCk = ∑[k=0,n] nCk
* 1^(n-k) : 1^k = (1 + 1)^n = 2^n
なので，
∑[k=0,n-1] nCk = 2^n - 1
したがって，
期待値 = 1/2^(n-1) * (2^n - 1) = (2^n - 1)/2^(n-1)
になります。
(感想)
最初難しそうに思ったのですが，問題1：を解いている間にいろいろと見えてきました。
やはり，手を動かすことは大切ですね。
NO2「Toru」 05/21 16時12分受信 更新6/10
問題１ n=2 ○○--2 ○×--1 ×○--1 ××--1 でそれぞれの確率1/4
2x1/4+1x1/4+1x1/4+2x1/4= 1.5
n=3 ○○○---3 ○○×---(2+1)/2=3/2 ○×○--1 ○××--3/2
○と×を入れ替えたものとペアに考えれば
3x1/4+3/2x1/4+1x1/4+3/2x1/4=7/4=1.75
n=4 ○○○○---4 ○○○×--2
○○×○---4/3 ○×○○--4/3
○○××---2 ○×○×--1 ○××○--4/3 ○×××--2
○と×を入れ替えたものとペアにして
4x1/8+2x1/8+4/3x1/8+4/3x1/8+2x1/8+1x1/8+4/3x1/8+2x1/8=15/8=1.875
問題２
連続数の平均の分子はn、分母はnをいくつに区切ったかの数字になっている、n個
をk個に区切る場合の数は、n-1 C k-1通り
○と×を入れ替えたものをペアとしてしまえば?個に区切られる確率は
n-1Ck-1 ／2^(n-1) でこの時の連続数の平均はn/k
よって期待値は
Σ(k=1～n) (n/k) n-1Ck-1／2^(n-1)
= 1/2^(n-1) Σ(k=1～n)nCk=
1/2^(n-1)
(2^n-1) =2-1/2^(n-1)
nが大きくなれば2にどんどん近づくのですね。なかなか面白い結果でした。
ペンネーム Toru
NO3「ぐーてん」05/22 11時55分受信
更新6/10
＜コメント：いつも拝見させていただいております。
今回も、得意の○｜方式；でがんばってみました。
答えの数式のシンプルさをみると、もっとエレガントな解法がある気がしてなりませんが。＞
(1) 
のとき，勝敗パターンは（勝勝），（勝負），（負勝），（負負）の4通り
それぞれの連続数の平均値は，（2, 1, 1, 2）
期待値は，
のとき，勝敗パターンは（勝勝勝），（勝勝負），（勝負勝），（勝負負），（負勝勝），（負勝負）
，（負負勝），（負負負）の8通り
それぞれの連続数の平均値は，
期待値は，
のとき，勝敗パターンは（勝勝勝勝），（勝勝勝負），（勝勝負勝），（勝勝負負），（勝負勝勝），
（勝負勝負），（勝負負勝），（勝負負負），（負勝勝勝），（負勝勝負），（負勝負勝），（負勝負負），
（負負勝勝），（負負勝負），（負負負勝），（負負負負）の16通り
それぞれの連続数の平均値は，
期待値は，
(2) n試合を行って，勝敗が入れ替わった回数を
回とおくと，連勝，連敗のパターンによらず，
題意の「連続数の平均値」は，
と計算される
n連勝またはn連敗した場合は
，連勝・連敗を1度もしなかった場合（勝負勝負‥勝負勝のよ
うな場合）は
となるので，kは任意のn以下の自然数をとる
n試合の勝敗のパターンは
通り
このうち勝敗が回入れ替わるパターンの数を
とおき，これをn個の「○」と個の
「｜」並び方の数で考える
例：○○｜○○○｜○｜○○｜○；勝勝負負負勝負負勝，負負勝勝勝負勝勝負
例のように，１通りの○と｜の並び方は，常に2通りの勝敗パターンを意味する
また，「｜」と「｜」の間には1個以上の「○」が入り，最初と最後には「○」を並べる
従って，最初の「○」は固定として無視し，残りを個の「｜○」と
個の「○」の並び方と考えて，
従って求める期待値
は，
NO4「kashiwagi｣05/25 09時53分受信 更新6/10
＜コメント：お世話になります。直ぐに先生の問題を拝見し、面白いし、非常にユニークな
平均の考えを理解しようと早速取り組みました。意外とすらすらはかどり・・・・・。本当
は 帰納法で証明せねばいけないのでしょうが・・・・。 この平均の考えを先生はどのよう
なところから思いついたのでしょうか・・・・。 ＞
問1.題意から一覧表を作成すると、
|
ｎ |
勝敗 |
平均 |
確率 |
期待値 |
|||
|
2 |
○ |
○ |
|
|
2 |
1/4 |
|
|
○ |
× |
|
|
1 |
|||
|
× |
○ |
|
|
1 |
|||
|
× |
× |
|
|
2 |
|||
|
3 |
○ |
○ |
○ |
|
3 |
1/8 |
|
|
○ |
○ |
× |
|
3/2 |
|||
|
○ |
× |
○ |
|
1 |
|||
|
○ |
× |
× |
|
3/2 |
|||
|
× |
○ |
○ |
|
3/2 |
|||
|
× |
○ |
× |
|
1 |
|||
|
× |
× |
○ |
|
3/2 |
|||
|
× |
× |
× |
|
3 |
|||
|
4 |
○ |
○ |
○ |
○ |
4 |
1/16 |
|
|
○ |
○ |
○ |
× |
2 |
|||
|
○ |
○ |
× |
○ |
4/3 |
|||
|
○ |
○ |
× |
× |
2 |
|||
|
○ |
× |
○ |
○ |
4/3 |
|||
|
○ |
× |
○ |
× |
1 |
|||
|
○ |
× |
× |
○ |
4/3 |
|||
|
○ |
× |
× |
× |
2 |
|||
|
× |
○ |
○ |
○ |
2 |
|||
|
× |
○ |
○ |
× |
4/3 |
|||
|
× |
○ |
× |
○ |
1 |
|||
|
× |
○ |
× |
× |
4/3 |
|||
|
× |
× |
○ |
○ |
2 |
|||
|
× |
× |
○ |
× |
4/3 |
|||
|
× |
× |
× |
○ |
2 |
|||
|
× |
× |
× |
× |
4 |
|||
問2. 上記結果より、
が求めるものである。
No5「新俳人澄朝」5/25 13時13分受信
更新6/10
＜新俳人澄朝のコメント：いつも楽しい問題を有り難うございます。
一般的 ｎ についての処理に少し戸惑いましたが
何とかという感じです。私の解答のセット数に関わ らず連勝連敗の合計数は常に
ｎ に気付いたときは久しぶりに数学問題で感動しました。また、次回も楽しみにしています。＞
NO6「kasama」 05/28 14時41分受信 更新6/10
|
【問題１】対戦内容を整理して表にすると、以下のようになります。
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
【問題２】n試合の中での連勝連敗は、例えばn個のボールの間を板で隔てて、いくつかに分割することと同じと考えられます。
分割数で場合分けして各平均値を求めると、以下のようになります。
次に、上表の平均値の和を計算すると、 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
＜「kasama」のコメント：いつも問題作成お疲れ様です。
先日からプロ野球の交流戦が始まりましたね。プロ野球再編問題に端を発したこの戦い方も今年で早３年
目になるそうですね。ＧＷ時点では巨人が強かったですが、交流戦が終わる頃にはどうなっているのでし
ょう。さて、今回は連勝・連敗の期待値についてですね。大変興味深いと思います。＞
NO7「三角定規」06/04 23時28分受信
更新6/10
● 第191回 解答（三角定規）
１．(1) n＝2 のとき
○○，×× の場合，平均連続数＝2/1＝2
○×，×○ の場合，平均連続数＝(1＋1)/2＝1
(2) n＝3 のとき
<1> 勝敗パタンが変わらない場合（○○○，×××），平均連続数＝3/1＝3
<2> 勝敗パタンが1回だけ変わる場合（○○×，○××，×○○，××○）
平均連続数＝(2＋1)/2＝3/2
<3> 勝敗パタンが2回変わる場合（○×○，×○×），平均連続数＝(1＋1＋1)/3＝1
(3) n＝4 のとき
<1> 勝敗パタンが変わらない場合（○○○○，××××），平均連続数＝4/1＝4
<2> 勝敗パタンが1回だけ変わる場合，平均連続数＝4/2＝2
（○○○×，○○××，○×××，×××○，××○○，×○○○）
<3> 勝敗パタンが2回変わる場合，平均連続数＝4/3
（○○×○，○×○○，○××○，××○×，×○××，×○○×）
<4> 勝敗パタンが3回変わる場合（○×○×，×○×○），平均連続数＝4/4＝1
2．１(1)(2)(3)の結果より
勝敗パタンがk回（k＝0，1，…，n－1）変わる場合，平均連続数＝n /(k＋1) で，勝敗のパタンは 2n-1Ck 通りあるから，
＜「三角定規さんのコメント：結局解答が出来てみると，平均連続数の期待値はほぼ ２ で，
これは，「２連勝・２連敗はわりと頻繁に起こる」 われわれの日常の経験とよく合致するのですね。
でも，「頻繁」 とまではいえなくとも，『４連勝』，『3連敗』，…，って結構起こっていますよね＞
