kadai78

平成１９年７月２２日

[流れ星]

　　　　　第1９３回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月１日～７月２２日

［三角形の面積］

先日、大学時代の数学科の仲間に会う機会がありました。その中で次のような問題を紹介されました。

でも、答えまでの言及はありません。皆さん！考えてください。

　三角形ＡＢＣがあり、その重心をＧとする。Ｇから辺ＢＣ，ＣＡ、ＡＢまでの垂線の長さをそれぞれ
ｋ、ｍ、ｎとするとき、次の問題を解いてください。

問題１：ｋ＝４，ｍ＝５／３，ｎ＝２０／１３のとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

問題２：三角形ＡＢＣの面積をｋ、ｍ、ｎで表してください。

NO1「uchinyan」07/01 16時01分受信更新7/22

第１９３回数学的な応募問題
［三角形の面積］

問題1：は問題2：の特殊な場合なので，まずは，問題2：から考えます。

問題2：
△ABC において，BC = a，CA = b，AB = c，△ABC の面積を S とします。
G は重心なので，
G から BC への垂線の長さが k ならば，BC を底辺としたときの △ABC の高さは 3k
G から CA への垂線の長さが m ならば，CA を底辺としたときの △ABC の高さは 3m
G から AB への垂線の長さが n ならば，AB を底辺としたときの △ABC の高さは 3n
です。そこで，
S = 1/2 * a * 3k = 1/2 * b * 3m = 1/2 * c * 3n
a = 2S/3 * 1/k, b = 2S/3 * 1/m, c = 2S/3 * 1/n
になります。
一方で，△ABC の面積は，ヘロンの公式を使うと，
S = sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c)), s = (a + b + c)/2
と書けます。そこで，t = (1/k + 1/m + 1/n)/2 とおくと，
s = (a + b + c)/2 = 2S/3 * (1/k + 1/m + 1/n)/2 = 2S/3 * t = S/3 * (1/k + 1/m + 1/n)
s - a = 2S/3 * t - 2S/3 * 1/k = 2S/3 * (t - 1/k) = S/3 * (- 1/k + 1/m + 1/n)
s - b = 2S/3 * t - 2S/3 * 1/m = 2S/3 * (t - 1/m) = S/3 * (1/k - 1/m + 1/n)
s - c = 2S/3 * t - 2S/3 * 1/n = 2S/3 * (t - 1/n) = S/3 * (1/k + 1/m - 1/n)
となり，
S = (2S/3)^2 * sqrt(t * (t - 1/k) * (t - 1/m) * (t - 1/n))
= 4/9 * S^2 * sqrt(t * (t - 1/k) * (t - 1/m) * (t - 1/n))
S not= 0 なので，
△ABC = S = 9/4 * 1/sqrt(t * (t - 1/k) * (t - 1/m) * (t - 1/n))
　ただし，t = (1/k + 1/m + 1/n)/2
となります。

問題1：
問題2：の結果から，
△ABC = 9/4 * 1/sqrt(t * (t - 1/k) * (t - 1/m) * (t - 1/n)), t = (1/k + 1/m + 1/n)/2
k = 4, m = 5/3, n = 20/13 のとき，
t = (1/k + 1/m + 1/n)/2 = (1/4 + 3/5 + 13/20)/2 = (5 + 12 + 13)/20 * 1/2 = 3/4
t - 1/k = 3/4 - 1/4 = 1/2
t - 1/m = 3/4 - 3/5 = 3/20
t - 1/n = 3/4 - 13/20 = 2/20 = 1/10
なので，
△ABC = 9/4 * 1/sqrt(3/4 * 1/2 * 3/20 * 1/10) = 9/4 * 1/(3/40) = 30
になります。

(感想)
かなりあっさりでしたが．．．何か勘違いしてるかな？

＜水の流れ：いいえ、正解です。今回は易しいと思われます。＞

NO2「Toru」 07/04 12時40分受信更新7/22

第１９３回解答送ります。なかなか面白い問題で感心しました。

三角形ABCの面積をSとBC=a ,CA=b, AB=cとする
三角形ABCのBCに対する高さをhとするとk=h/3より
a=2S/h=2S/3k 同様にb=2S/3m, c=2S/3n

1) k=4,m=5/3,n=20/13の時、上から、a:b:c=1/k:1/m:1/n=5:12:13 よりこれは角Cが
９０度の直角三角形となる。よってhがACに一致してb=h=3k=12,a=5,c=13
面積は5x12/2=30

2)ヘロンの公式　S=√s(s-a)(s-b)(s-c) (ただしs=(a+b+c)/2 ) 　
にa=2S/3k,b=2S/3m, c=2S/3nを代入する,
s=S(mn+nk+km)/3kmn, s-a=S(-mn+nk+km)/3kmn, s-b=S(mn-nk+km)/3kmn,
s-c=S(mn+nk-km)/3kmn から
S=√(S^4(mn+nk+km) (-mn+nk+km) (mn-nk+km) (mn+nk-km)/(3kmn)^4)
=S^2√((mn+nk+km) (-mn+nk+km) (mn-nk+km) (mn+nk-km))／(3kmn)^2

これからS=(3kmn)^2／√（(mn+nk+km) (-mn+nk+km) (mn-nk+km) (mn+nk-km)）

NO3「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 07/06 20時02分受信

　 07/07 22時13分受信

問題2から。
重心の性質から、ak=bm=cn=2△/3
△=T
a=2T/3k
b=2T/3m
c=2T/3n

ヘロンの公式は、
ヘロンの公式面積 =√( s (s-a) (s-b) (s-c) ). ここで s=(a+b+c)/2
なので、
a+b+c=2T/3*(1/k+1/m+1/n)
s=T/3*(1/k+1/m+1/n)
s-a=T/3*(-1/k+1/m+1/n)
s-b=T/3*(1/k-1/m+1/n)
s-c=T/3*(1/k+1/m-1/n)
T
=9/√((1/k+1/m+1/n)(-1/k+1/m+1/n)(1/k-1/m+1/n)(1/k+1/m-1/n)

問題1は、、、
これに上の値を当てはめれば、、、
k=4,m=5/3,n=20/13
1/4+3/5+13/20=(5+12+13)/20=3/2
-1/4+3/5+13/20=1/2
1/4-3/5+13/20=3/10
1/4+3/5-13/20=1/5
3/2*1/2*3/10*1/5=3^2/2^2*5^2*2
T=9*10√2/3^2=10√2
ですね。v

ヘロンの公式なかったら困るんでしょうね。。。^^;

NO4「kasama」 07/07 11時52分受信更新7/22

いつも問題作成お疲れ様です。今回も面白い問題だと思います。

面積を表す数式は、
　S=9*k^2*m^2*n^2/√{2*(k^2*m^2*n^4+k^2*m^4*n^2+k^4*m^2*n^2)-k^4*m^4-k^4*n^4-m^4*n^4}
と求まりました。これを問題１に当てはめると、面積は30となります。得られた数式をCAD(AutoCAD)で検証したところ、正しいと思われます。

ただ、やり方が、各点に座標を割り当てて、数式ソフトに力任せにやらせたので、全然スマートではありません。もう少し考えてみます。

「kasama」 07/07 11時52分受信更新7/22

【問題１、２】かなり強引なやり方ですが、各点に座標A(0,0)、B(a,0)、C(b,c)を割り当てます。すると、重心はG((a+b)/3,c/3)です。重心Gから辺BC、CA、ABへの垂線の長さはk、m、nなので、【補足】の※式に当てはめて整理すると、
　a²c²/{9(a²+b²+c²-2ab)}=n²
　a²c²/{9(b²+c²)}=m²
　c²/9=n²
です。これをa、b、cについて解くと、
　a=6k²m²n/√(-k⁴m⁴-k⁴n⁴-m⁴n⁴+2k²m²n⁴+2k²m⁴n²+2k⁴m²n²)
　b=3n√{(k⁴m⁴+k⁴n⁴+m⁴n⁴-2k²m²n⁴-2k²m⁴n²+2k⁴m²n²)/(-k⁴m⁴-k⁴n⁴-m⁴n⁴+2k²m²n⁴+2k²m⁴n²+2k⁴m²n²)}
　c=3n
です。⊿ABCの面積S=ac/2に上式を代入すると、
　S=9k²m²n²/√{2(k²m²n⁴+k²m⁴n²+k⁴m²n²)-k⁴m⁴-k⁴n⁴-m⁴n⁴}
です。少しだけ整理すると、
　S=(3kmn)²/(4√{s(s-km)(s-kn)(s-mn)})　ただし、s=(km+mn+nk)/2
です。k=4、m=5/3、n=20/13を代入すると、
　S=30
です。

【補足】点(x,y)から直線ax+by+c=0への垂線の長さは、(ax+by+c)/√(a²+b²)です。点(x₁,y₁)と点(x₂,y₂)を結ぶ直線は(y₂-y₁)x-(x₂-x₁)y-(x₁y₂-x₂y₁)=0なので、点(x,y)からの垂線の長さdは、
　d={(y₂-y₁)x+(x₁-x₂)y+x₂y₁-x₁y₂}/√{(x₁-x₂)²+(y₂-y₁)²}…※
です。