平成１９年８月１２日

[流れ星]

　　　　　第1９４回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月２２日～８月１２日

［極限値と定積分］

皆さん、微分積分学を学んでいくと、綺麗で美しいなーと思える公式に出会います。

　太郎さんは　大学入試問題で極限値を求めるときに、下の公式を利用します。

　

　＜出典：(1)、(2)は2006年芝浦工業大学（工学）(3)は日本数学検定協会監修の1級の問題集から＞　　

ＮＯ１「uchinyan」07/22 12時39分受信 更新8/12

第１９４回数学的な応募問題
［極限値と定積分］

与えられた公式，とうよりも区分求積法そのものですね，を使って計算しました。
ただし，log は e を底とする自然対数です。

(1) lim[n->∞] (1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(n+n))
lim[n->∞] (1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3) + ... + 1/(n+n))
= lim[n->∞] ∑[k=1,n]{1/(n+k)}
= lim[n->∞] 1/n * ∑[k=1,n]{1/(1+k/n)}
= ∫[0,1]{1/(1+x)}dx
= [log(1+x)][0,1]
= log2 - log1
= log2

(2) lim[n->∞] {n/(n+1)^2 + n/(n+2)^2 + n/(n+3)^2 + ... + n/(n+n)^2)
lim[n->∞] {n/(n+1)^2 + n/(n+2)^2 + n/(n+3)^2 + ... + n/(n+n)^2)
= lim[n->∞] ∑[k=1,n]{n/(n+k)^2}
= lim[n->∞] 1/n^2 * n * ∑[k=1,n]{1/(1+k/n)^2}
= lim[n->∞] 1/n * ∑[k=1,n]{1/(1+k/n)^2}
= ∫[0,1]{1/(1+x)^2}dx
= [-1/(1+x)][0,1]
= (-1/2) - (-1/1)
= 1/2

(3) lim[n->∞] {(n!)^(1/n)/n}
y = (n!)^(1/n)/n とおきます。すると，
log(y) = log{(n!)^(1/n)/n}
= ∑[k=1,n]{1/n * log(k)} - log(n)
= 1/n * ∑[k=1,n]{log(k) - log(n)}
= 1/n * ∑[k=1,n]{log(k/n)}
そこで，
lim[n->∞] log(y)
= lim[n->∞]{1/n * ∑[k=1,n]{log(k/n)}}
= ∫[0,1]{log(x)}dx
= [x * log(x) - x][0,1]
= (1 * log1 - 1) - ((x * log(x))[x->0] - 0)
= -1 - (x * log(x))[x->0]
ここで，
(x * log(x))[x->0] = lim[x->0]{x * log(x)} = 0
です。これは，ロピタルの定理を使えば簡単ですが，高校の範囲では次のようにやればいいでしょう。
log(x) = -t とおきます。すると，x = e^(-t) で，
(x * log(x))[x->0] = lim[x->0]{x * log(x)} = lim[t->∞]{- t/e^t}
ここで，t > 0 で e^t > 1 + t + 1/2 * t^2 を使います。これは次のようにして示せます。
f(t) = e^t - (1 + t + 1/2 * t^2) = e^t - 1 - t - 1/2 * t^2
とおきます。
f'(t) = e^t - 1 - t
f''(t) = e^t - 1
なので，t > 0 で，
f''(t) > 0 -> f'(t) は単調増加
f'(t) > f'(0) = e^0 - 1 - 0 = 1 - 1 = 0 -> f(t) は単調増加
f(t) > f(0) = e^0 - 1 - 0 - 1/2 * 0^2 = 1 - 1 = 0
つまり，t > 0 で e^t - (1 + t + 1/2 * t^2) > 0，e^t > 1 + t + 1/2 * t^2 がいえました。
そこで，t > 0 で
e^t > 1 + t + 1/2 * t^2 > t + 1/2 * t^2
1/e^t < 1/(t + 1/2 * t^2)
0 > - t/e^t > - t/(t + 1/2 * t^2) = - 1/(1 + 1/2 * t)
0 >= lim[t->∞]{- t/e^t} >= lim[t->∞]{- 1/(1 + 1/2 * t} = 0
lim[t->∞]{- t/e^t} = 0
そこで，
(x * log(x))[x->0] = lim[x->0]{x * log(x)} = lim[t->∞]{- t/e^t} = 0
がいえます。
以上より結局，
lim[n->∞] log(y) = -1
です。そこで，
lim[n->∞] {(n!)^(1/n)/n} = lim[n->∞]{y} = lim[n->∞]{e^(log(y))} = e^(-1) = 1/e
がいえます。

(感想)
(3)は一工夫必要ですが，いずれも標準的な問題といってよさそうですね。

 

ＮＯ２「新俳人澄朝」7/23 17時41分受信 更新8/12

ＮＯ３「Toru」    07/25 12時21分受信 更新8/12

第１９４回解答を送ります。
３）はやっぱり大学入試の範囲を超えていますよね。この機会に広義積分やら、一様収束やらちょっと勉強しようと思いつつ、
時間が取れず、中途半端です。ところで、英検と漢検は知っていましたが、数検と言うのは知りませんでした。
今ではそれなりにメジャーなものなのでしょうか？　　

 

＜水の流れ：（３）は正式には高校の学習指導要綱から離れています。したがって、大学の１、2年程度になります。

　　　　　　　　　さらに、数倹の１級は大学１、2年生の内容となっています。＞

 


1) lim(n→∞) (1/(n+1) + 1/(n+2) + 2/(n+3) +-------+1/(n+n))
=lim(n→∞)1/n Σ(k=1～n) 1/(1+k/n)=・(0～1) 1/(1+x) dx
=[ log｜1+x｜](0～1)=log2

2) lim(n→∞) (n/(n+1)^2 + n/(n+2)^2 + n/(n+3)^2 +-------+n/(n+n)^2)
= lim(n→∞) 1/nΣ(k=1～n)1/(1+k/n)^2=・(0～1)1/(1+x)^2 dx
=[ - 1/(1+x)](0～1)=-1/2+1=1/2

3) log (n√n!／n)=1/n log (n!/n^n)=1/nΣ(k=1～n) log (k/n)
これに機械的に公式を適用すれば
lim(n→∞) 1/nΣ(k=1～n) log (k/n)=・(0～1)log x dx=[xlogx-x](0～1)=-1 (x→0
の時xlogx →0)
よって(n√n!／n) →　1/e  (n→∞)

ただこれは広義積分だからちょっと問題があるような気もします。
それで、
f(n)= 1/nΣ(k=1～n) log (k/n) , g(n,δ)=1/nΣ(k=1～n) log ((k+δ)/n)　（δ>0）
とおくと、　
log ((k+δ)/n)- log (k/n)=log (1+δ/k)≦log(1+δ)
より、任意のε>0に対して nに関係なくδがとれて
｜g(n,δ)-f(n)｜≦1/nΣ(k=1～n)log(1+δ)=log(1+δ)<ε　---(1)
ここで、
lim(n→∞) g(n,δ)=・(δ～1+δ)logx dx=[xlogx-x](δ～1+δ)
=(1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1　（これなら広義積分にならない）
つまり　nが十分大きいとき｜g(n,δ)-(1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1｜<ε ----(2)
また
(1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1　→ -1 　(δ→0)  （δlogδ→0はロピタルの定理）
つまり　δが十分小さいとき｜(1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1-(-1)｜<ε ----(3)

よって(1) (3)を満たすようにδをとれば、nが十分大きい時、
｜f(n)-(-1)｜≦｜f(n)- g(n,δ)｜+｜g(n,δ)-((1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1)｜+
｜(1+δ)log(1+δ)-δlogδ-1-(-1)｜<3ε すなわちf(n)→-1 (n→∞)

ＮＯ４「kashiwagi｣07/30 08時54分受信 更新8/12

　194回問題

（1）

　　この極限値は定義より

 

（2）分子及び分母をｎ2で割ると、

　　

この極限値は定義より

（3）の極限値をｘ　とし、両辺の対数をとると

 

　==

 

この極限値は定義よりとなる。そこで部分積分し、

　　　＝

　因って、であるから、　となる。即ち求めるものはである。

 

ＮＯ５「kasama」  07/30 16時50分受信 更新8/12

問題(1)　limの中を変形すると、
　Sn = 1/(n+k) = 1/(1+k/n) = f(k/n)　ただし、f(k/n)=1/(1+k/n)
なので、
　与式 = 1/(1+x)dx = log(1+x) = log2
です。

問題(2)　limの中を変形すると、
　Sn = n/(n+k)2 = 1/(1+k/n)2 = f(k/n)　ただし、f(k/n)=1/(1+k/n)2
なので、
　与式 = 1/(1+x)2dx = -1/(1+x) = 1/2
です。

問題(3)　limの中を変形すると、
　Sn = n!1/n/n = (n!/nn)1/n
ですが、両辺の対数をとって、
　log(Sn) = log(k/n) = f(k/n)　ただし、f(k/n)=log(k/n)
なので、
　log(Sn) = log(x)dx = xlog(x)-x = -1
です。つまり、
　与式 = Sn = e-1 = 1/e
です。

 

ＮＯ６「三角定規」08/05 10時25分受信 更新8/12　

[問題194解答]＜三角定規＞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

実際にこれらの値に近づいていくことを，エクセルで確かめてみました。
(3)は，特別な工夫をしないとエクセルで計算できるのは 170! までなので，そこまでにしました。