kadai78

平成１９年１０月１４日

[流れ星]

　　　　　第1９７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月２３日～１０月１４日

［フーリエ級数（１）］

皆さん、ゼーター関数をご存知ですか。今回の問題はフーリエ級数とζ（２）の関係です。

NO1「uchinyan」09/23 13時22分受信更新10/14

第１９７回数学的な応募問題
［フーリエ級数（１）］

まずは，最初の三角関数の直交性から導いてしまいましょう。

(1) m, n を m, n > 0 なる整数とします。
I = ∫[-π～π] sin(mx)sin(nx) dx
= - 1/2 * ∫[-π～π] {cos((m+n)x) - cos((m-n)x)} dx
ここで，
・m not= n の場合
I = - 1/2 * [sin((m+n)x)/(m+n) - sin((m-n)x)/(m-n)][-π～π]
= 0
・m = n の場合
I = - 1/2 * ∫[-π～π] {cos(2mx) - 1} dx
= - 1/2 * [sin(2mx)/(2m) - x][-π～π]
= π
(2) m, n を m, n >= 0 なる整数とします。
I = ∫[-π～π] cos(mx)cos(nx) dx
= 1/2 * ∫[-π～π] {cos((m+n)x) + cos((m-n)x)} dx
ここで，
・m not= n の場合
I = 1/2 * [sin((m+n)x)/(m+n) + sin((m-n)x)/(m-n)][-π～π]
= 0
・m = n not= 0 の場合
I = 1/2 * ∫[-π～π] {cos(2mx) + 1} dx
= 1/2 * [sin(2mx)/(2m) + x][-π～π]
= π
・m = n = 0 の場合
I = 1/2 * ∫[-π～π] {1 + 1} dx
= [x][-π～π]
= 2π
(3)
I = ∫[-π～π] sin(mx)cos(nx) dx
sin(mx)cos(nx) は奇関数なので，明らかに，I = 0 です。

さて，いよいよ問題です。

-π < x < π で，
x/2 = Σ[m=1,∞] b(m) * sin(mx)
と書けているとします。ただし，但し書きにあるように，
(A)　この無限和内の順序交換は可能
(B)　この無限和と積分の順序交換は可能
と仮定します。

問題１：＆問題２：
等式の両辺に sin(nx)，n = 1, 2, 3, ...，を掛けて，x を -π～π で積分すると，
∫[-π～π] {x/2 * sin(nx)} dx = ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞] b(m) * sin(mx)} * sin(nx) dx
右辺 = ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞] b(m) * sin(mx)} * sin(nx) dx
= Σ[m=1,∞] b(m) * ∫[-π～π] sin(mx)sin(nx) dx　<---　(B)
= b(n) * π　<---　(1)
左辺 = ∫[-π～π] {x/2 * sin(nx)} dx
= 1/2 * ∫[-π～π] {x * sin(nx)} dx
= 1/2 * [- x * cos(nx)/n][-π～π] - 1/2 * ∫[-π～π] {- cos(nx)/n} dx　<---　部分積分
= - π/2n * 2 * (-1)^n - 1/2 * [- sin(nx)/n^2][-π～π]
= π * (-1)^(n-1)/n
そこで，
b(n) = (-1)^(n-1)/n, n = 1, 2, 3, ...
特に，
b(1) = 1, b(2) = - 1/2, b(3) = 1/3

問題３：
問題１：＆問題２：より，
x/2 = Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1)/m * sin(mx)
と書けます。そこで，両辺を二乗して，x を -π～π で積分すると，
(x/2)^2 = (Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1)/m * sin(mx))^2
x^2/4 = (Σ[m=1,∞] (-1)^(m-1)/m * sin(mx)) * (Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/n * sin(nx))
x^2/4 = Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^(m-1)/m * (-1)^(n-1)/n * sin(mx) * sin(nx)}　<---　(A)
∫[-π～π] {x^2/4} dx
　= ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^(m-1)/m * (-1)^(n-1)/n * sin(mx) * sin(nx)}} dx
右辺 = ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^(m-1)/m * (-1)^(n-1)/n * sin(mx) * sin(nx)}} dx
= Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^(m-1)/m * (-1)^(n-1)/n * ∫[-π～π] sin(mx)sin(nx) dx}　<---　(B)
= Σ[n=1,∞] {(-1)^(n-1)/n * (-1)^(n-1)/n * π}　<---　(1)
= π * Σ[n=1,∞] 1/n^2
左辺 = ∫[-π～π] {x^2/4} dx
= [x^3/12][-π～π]
= π^3/6
そこで，
Σ[n=1,∞] 1/n^2 = π^2/6
になります。

(感想)
Σ[n=1,∞] 1/n^2 = ζ(2) ですね。簡単に証明できてしまうのには驚きでした。
また，(A)は無限和が絶対収束するときに，(B)は無限和が一様収束するときに成立し，
フーリエ級数ではこれらがいえる，のでした。
大学の授業で習いましたが，証明までは忘れてしまいました。時間を見つけて復習しておきます。
なお，［フーリエ級数（１）］とあるので，次回辺りは，［フーリエ級数（２）］？

さらに、，ζ(2)が簡単に求まってしまうのには驚きでした。＞

NO2「bear56」　09/23 21時17分受信

NO2「bear56」　09/24 13時44分受信

NO2「bear56」 09/24 17時00分受信更新10/14

＜コメント：フーリエ級数（１）について．難しく考える必要は無かったようです．
やってみたら出来ました．今回は，テキスト文字だけでの表現がきついので，
LaTeXを使って，PDF出力しました．ソースと共に添付致します．＞

\documentclass[a4paper,fleqn]{jsarticle}

\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{type1cm}
\usepackage{txfonts}
\usepackage{euler}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

まず，$f(x)=x$としてフーリエ級数展開する．

フーリエ係数の公式から，
\begin{equation}
a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \ dx
\end{equation}
\begin{equation}
a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \ f(x) \ dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)
\end{equation}
\begin{equation}
b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \ f(x) \ dx \quad (n = 1, 2, 3, \dots)
\end{equation}

ここで，$f(x)=x$は奇関数のため，$a_n$の項は消え，$b_n$の項が残り，
\begin{gather*}
a_0 = a_1 = a_2 = a_3 = \dots = 0 \\
b_1 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin x \ dx = 2, \
b_2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin 2x \ dx = -1, \
b_3 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin 3x \ dx = \frac{2}{3}, \
\dots .
\end{gather*}

したがって，
\begin{gather}
f(x) = x = 2 \left( \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x + \dots \right) \\
\frac{x}{2} = \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x + \dots \label{eq:fsx}
\end{gather}

さらに，\eqref{eq:fsx}の両辺を2乗して，$-\pi$ から $\pi$ まで積分すると，
\begin{equation}
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{2^2}\ dx
= \int_{-\pi}^{\pi} \left( \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x + \dots \right)^2 dx \label{eq:square}
\end{equation}

ここで，\eqref{eq:square}の右辺を展開し，項別に積分すると，次式\eqref{eq:sinmxsinnx}により，2乗の項以外は消去される．
\begin{equation}
\text{$m$，$n$を正の整数とするとき，} \quad
\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \ \sin nx \ dx = \begin{cases}
0 & (m \neq n) \\
\pi & (m = n)
\end{cases} \label{eq:sinmxsinnx}
\end{equation}

したがって，
\begin{align}
\int_{-\pi}^{\pi}\frac{x^2}{2^2}\ dx &= \pi + \frac{\pi}{2^2} + \frac{\pi}{3^2} + \dots \\
\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_{-\pi}^{\pi} &= \pi \left( 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots \right) \\
\frac{1}{12} \left[ \pi^3 - \left( -\pi^3 \right) \right] &= \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \\
\frac{\pi^2}{6} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.
\end{align}

よって，
\begin{enumerate}
\item[問題1] : $\displaystyle b_1 = 1, \ b_2 = -\frac{1}{2}, \ b_3 = \frac{1}{3}.$
\item[問題2] : $\displaystyle b_n = (-1)^{n-1}\frac{1}{n}.$
\item[問題3] : $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.$
\end{enumerate}

\end{document}

NO3「ぐーてん」09/27 13時39分受信更新10/14

問題１

①式の両辺にsin x，sin 2x，sin 3xをかけ，それぞれ‐pからpまで積分すると，

右辺に公式(1)を適用するとそれぞれ２乗の項だけのこり，

となる．よって，．

問題２

同様に①式の両辺にsin nxをかけ‐pからpまで積分して整理すると，

問題３

①式を書き直すと，．

これを２乗して積分すると，

．

公式(1)より右辺のn≠mの項は消えて２乗の項だけのこり，となる．

したがって，．

＜コメント：お言葉に甘えて，無限和の収束性について完全無視ですが，ちゃんとやろうとすると難しいんでしょうね．

答え合わせに公式集を見ましたが，こっこれが，ゼータ関数というやつなんですね！？＞

NO4「Toru」 09/28 16時48分受信更新10/14

問題１
両辺にsin xをかけて　－π～πまで積分して、(1)を利用すると右辺は第一項以外は0
となり第一項はπb1より
（右辺）=πb1
（左辺）=・(－π～π) x sinx dx =[- x cos x]+・cosx dx=π
よって b1=1
同様にsin 2x をかけて積分すると　
(右辺)=πb2
(左辺)=[-x cos2x/2]+・cos2x/2 dx= -π/2
よりb2=-1/2
同様にsin 3x をかけて積分すると
(右辺)=πb3
(左辺)=[-x cos3x/3]+・cos3x/3dx= π/3
よりb3=1/3

問題２　問題１よりbn=(-1)^(n-1)/n と考えられる。
実際sin nxをかけて積分すれば
(右辺)=πbn
(左辺)=[-x cosnx/n]+・cosnx/n dx= (-cosnπ)π/n=(-1)^(n-1) /n

問題３
?の両辺を二乗すると右辺の各項は(1)のような形になるが、これを積分すれば各項
を二乗したものだけが残り
(右辺)=π(b1^2+b2^2+b3^2+--------)=πΣ1/n^2
（左辺）=・(-π～π) (x/2)^2 dx =[x^3/12] -π～π)=π^3 /6
これからΣ1/ n^2=π^2 / 6

＜コメント：　無限級数の項別積分やら、積やら、証明なしでよいということですがやっぱり気に
なりますね。また勉強してみようと思います。
　zeta(2)の和については、f(x)=x^2（0≦x≦π）をフーリエ展開して、x=πと置く
方法も本で見た覚えがあります。＞
　　　　　　　　　　　　　