kadai78

平成１９年１１月４日

[流れ星]

　　　　　第1９８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１０月１４日～１１月４日

［フーリエ級数（２）］

皆さん、ゼーター関数をご存知ですか。前回の問題はフーリエ級数とζ（２）の関係でしたが、今回も同じです。ζ（２）に求め方の別解とζ（４）にチャレンジください。

NO1「kashiwagi｣10/15 08時08分受信更新11/4

＜コメント：期待していたフーリエ級数（2）がでていたので早速トライ致しました。

しかし、何回解いてもフーリエ級数は楽しいですね。学生時代の興味が体の内奥に残って

いる感じです。少々簡略説明ですが。＞

198回問題

問1.及び問2.

式②を-π～πまで積分する。

計算すると、　となり、である。

式②をXで微分すると、　

この式は前回の式①と同じであるから　類推してとなる。因って、

となる。これよりとなる。

問3.上記より、

　であるから、Xにπを代入し、

を得る。因って

問4.式②を平方し、三角関数の直交性（2）や（3）を使い両辺を積分すると、

であるから、

が求めるものである。

NO2「uchinyan」10/15 12時52分受信更新11/4

＜コメント：計算が面倒そうなので確かめてはいませんが，原理的には，
同様の計算を繰り返せば，ζ(2n) の値を順次求められそうです。
一方，ζ(2n-1) は，ナイーブにはうまくいきそうになさそうですね。＞

第１９８回数学的な応募問題
［フーリエ級数（２）］

今回の問題は前回の延長のような感じもあり，前回証明した三角関数の直交性は仮定します。
特に，次を使用します。

m, n を m, n >= 0 なる整数とします。
∫[-π～π] cos(mx)cos(nx) dx
= 0　　m not= n の場合
= π 　m = n not= 0 の場合
= 2π　m = n = 0 の場合

また，前回と同様に，
(A)　この無限和内の順序交換は可能
(B)　この無限和と積分の順序交換は可能
も仮定し，今回は特に断らずに使用します。

問題１：＆問題２：
x^2/4 = a(0)/2 + Σ[m=1,∞] a(m) * cos(mx)
等式の両辺の x を -π～π で積分すると，
∫[-π～π] {x^2/4} dx = ∫[-π～π] {a(0)/2 + Σ[m=1,∞] a(m) * cos(mx)} dx
右辺 = ∫[-π～π] {a(0)/2 + Σ[m=1,∞] a(m) * cos(mx)} dx
= a(0)/2 * ∫[-π～π] {1} dx + Σ[m=1,∞] a(m) * ∫[-π～π] {cos(mx)} dx
= a(0)/2 * 2π
左辺 = ∫[-π～π] {x^2/4} dx
= 2 * ∫[0 ～π] {x^2/4} dx
= 2 * [x^3/12][0 ～π]
= 2 * π^3/12
そこで，
a(0)/2 = π^2/12
さらに，等式の両辺に cos(nx)，n = 1, 2, 3, ...，を掛けて，x を -π～π で積分すると，
∫[-π～π] {x^2/4 * cos(nx)} dx = ∫[-π～π] {a(0)/2 + Σ[m=1,∞] a(m) * cos(mx)} * cos(nx) dx
右辺 = ∫[-π～π] {a(0)/2 + Σ[m=1,∞] a(m) * cos(mx)} * cos(nx) dx
= a(0)/2 * ∫[-π～π] cos(nx) dx + Σ[m=1,∞] a(m) * ∫[-π～π] cos(mx)cos(nx) dx
= a(n) * π
左辺 = ∫[-π～π] {x^2/4 * cos(nx)} dx
= ∫[0 ～π] {x^2/2 * cos(nx)} dx
= [x^2/2 * sin(nx)/n][0 ～π] - ∫[0 ～π] {x * sin(nx)/n} dx
= - [1/n * x * (- cos(nx)/n)][0 ～π] - 1/n * ∫[0 ～π] {cos(nx)/n} dx
= π * (-1)^n/n^2 - 1/n * [1/n * sin(nx)/n][0 ～π]
= π * (-1)^n/n^2
そこで，
a(n) = (-1)^n/n^2, n = 1, 2, 3, ...
特に，
a(1) = - 1, a(2) = 1/4

問題３：
問題１：＆問題２：より，
x^2/4 = π^2/12 + Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)
と書けます。そこで，x = π とおくと，
π^2/4 = π^2/12 + Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mπ)
π^2/4 - π^2/12 = Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * (-1)^m
Σ[m=1,∞] 1/m^2 = π^2/4 - π^2/12 = π^2 * 2/12 = π^2/6
Σ[n=1,∞] 1/n^2 = π^2/6
になります。

問題４：
x^2/4 = π^2/12 + Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)
において，両辺を二乗して，x を -π～π で積分すると，
(x^2/4)^2 = (π^2/12 + Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx))^2
x^4/16
　= π^4/144 + 2 * π^2/12 * Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)
　+ (Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx))^2
x^4/16
　= π^4/144 + 2 * π^2/12 * Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)
　+ Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^m/m^2 * (-1)^n/n^2 * cos(mx) * cos(nx)}
∫[-π～π] {x^4/16} dx
　= ∫[-π～π] {π^4/144} dx
　+ ∫[-π～π] {2 * π^2/12 * Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)} dx
　+ ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^m/m^2 * (-1)^n/n^2 * cos(mx) * cos(nx)} dx
右辺
= ∫[-π～π] {π^4/144} dx
+ ∫[-π～π] {2 * π^2/12 * Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * cos(mx)} dx
+ ∫[-π～π] {Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^m/m^2 * (-1)^n/n^2 * cos(mx) * cos(nx)} dx
= π^5/72
+ 2 * π^2/12 * Σ[m=1,∞] (-1)^m/m^2 * ∫[-π～π] {cos(mx)} dx
+ Σ[m=1,∞ ＆ n=1,∞] {(-1)^m/m^2 * (-1)^n/n^2 * ∫[-π～π] cos(mx)cos(nx) dx}
= π^5/72
+ 0
+ Σ[n=1,∞] {(-1)^n/n^2 * (-1)^n/n^2 * π}
= π^5/72
+ π * Σ[n=1,∞] 1/n^4
左辺 = ∫[-π～π] {x^4/16} dx
= ∫[0 ～π] {x^4/8} dx
= [x^5/40][0 ～π]
= π^5/40
そこで，
π^5/40 = π^5/72 + π * Σ[n=1,∞] 1/n^4
Σ[n=1,∞] 1/n^4 = π^4/40 - π^4/72 = π^4 * (9 - 5)/360 = π^4 * 4/360
Σ[n=1,∞] 1/n^4 = π^4/90
になります。

(考察)
同様の計算を，例えば x^3/6 に行って，ζ(2) = π^2/6，ζ(4) = π^4/90 を使うと，
ζ(6) = π^6/945 が求まります。
それ以上は大変そうなので計算していませんが，適当な関数を使って，順次，ζ(2n) を求めていけそうです。
一方，ζ(2n-1) は，ちょっと考えた感じでは，うまく行きそうにはなさそうですね。

(感想)
前回と同様に，ζ関数の値が簡単に求まってしまうのには驚きです。
いずれにせよ，フーリエ級数を使っていろいろな級数の和が求まりそうなのは，
興味深いことだと思いました。

NO3「新俳人澄朝」10/16 18時03分受信更新11/4

NO4「bear56」　10/16 19時56分受信更新11/4

NO5「Toru」 10/22 14時11分受信更新11/4

＜コメント：細かいところは目をつぶって、結果のきれいなところを楽しむことにします。
また時間がとれたら、解析概論を読みなおしてみます。　＞

問題１、２
?の両辺を-π～πまで積分すると
左辺：・(x^2/ 4)dx=[x^3/12]=π^3 /6
右辺は初項以外は０になって
右辺：・(a0 /2) dx=a0π　よりa0 /2=π^2 /12

cos nx (n=1,2,----)をかけて同様に積分すると
左辺：・(x^2 cos nx /4)dx=[x^2 sin nx /4n] -・( x sin nx /2n)dx
=[x cos nx /2n^2]+・cos nx /2n^2 dx=(-1)^2 π/n^2+[sin nx /2n^3]
=(-1)^n π/n^2
右辺はa nの項以外は0になって
右辺：・a n(cos nx)^2dx =πan
これからan=(-1)^n/ n^2　(a1=-1,a2=1/4)

問題3 f(x)=x^2/4 (-π≦x≦π)を周期2πの周期関数として拡張すると、これはX=π
で連続であるから、
?でx＝πとすると
π^2/4=π^2/12 + Σ(-1)^n cos nπ/n^2=π^2/12 + Σ(1/n^2)
よりΣ(1/n^2)=π^2/4-π^2/12 =π^2 / 6

問題4
・(x^4/16)dx=[x^5/80]=π^5/ 40
右辺を2乗して展開し項別積分できるとすれば、各項の2乗以外のものはすべて0にな
り
・(a0 /2)^2 dx=a0^2 π/2=π^5 /72
・(an cos nx)^2dx =πan^2=π/ n^4 これらから
π^5/ 40=π^5 /72+Σ(π/n^4)
よってΣ(1/n^4)=π^4/40 － π^4 /72=π^4 /90

NO6「ぐーてん」10/23 16時07分受信更新11/4

＜コメント：今回もフーリエ級数の基礎的なところが勉強できてためになりました。
実はフーリエ変換の方は仕事で多用しています。
どんな時に使うかというと、私の仕事は研究ですので、実験をやって自動測定して得られた時系列データ（温度、重量、動力などさまざま。。）から細かい変動を取り除いて、データを平滑化するために用います。実験で得たデータをフーリエ変換してパワースペクトルを求め、そのうち除去したい周波数成分を０に書き換え、さらに逆変換をすると元のデータが平滑化されたものが得られます。
昔は、プログラムを書いて計算させたり、専用の解析ソフトが必要でしたが、今はエクセルだけで簡単にできてしまいます。便利な世の中になりました。＞
＜水の流れ：応募されたこのときの解答は、一部修正がありましたから、その後の解答を下に掲載しました。＞

「ぐーてん」10/29 11時27分受信更新11/4

問題1

②式の両辺をからまで積分すると，