kadai78

平成２０年１月６日

[流れ星]

　　　　　第２０１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１２月１６日～１月６日

［算額in宮城］

皆さん、「日本の幾何　何題解けますか？」（森北出版）「深川英俊　ダン・ペドー共著」と言う本をご存知ですか。その中に宮城県桃生郡桃生町日高見神社に大正２年（1913年）に掲額された問題を参考にして作りました。しかし、本には答えに至る過程が書いてありません。そこで、皆さんの力を必要となりました。考えてください。

問題：∠Bを直角とする直角三角形ABCに図のような3個の正方形P_１Q_１R_１S_１，P_２Q_２R_２S_２，P_３Q_３R_３S_３が内接している。３つの直角三角形B Q_１P_１，R_１P_２S_２，R_２Q_３P_３のそれぞれの内接円O_１、O_２、O_３のうち両端の円の直径が２５cmと１６cmとするとき、真ん中の円O_２の直径を求めよ。

　また、内接円O_１、O_２、O_３の円の直径をｒ_１、ｒ_２、ｒ_３とするとき、これらの文字に間に成り立つ関係式を見つけてください。　

ＮＯ１「kashiwagi｣12/16 12時16分受信更新1/6

＜コメント：最初はうーん、面倒な計算だけだなと思っておりましたが、待てよなるべく計算しないで相似比を美味く使えばと思い愚考しました。やはりこの方針でOKでした。間違えない様慎重に計算し、20分で辿り着きました。前半の問題に正にぴったり当てはまり、これなら良いだろうと・・・、それにしても美しい関係ですね。　
最後になりましたが、本年一年間お世話になりました。来年も面白い問題のご提供方宜しくお願い申し上げます。それでは、少々早いですが、良いお年をお迎え下さい。＞
＜水の流れ：kashiwagi様には以前からお世話になっていまして本当に深く感謝しております。2008年になりましてもよろしくお願いします。＞

201回問題

　△ABCに内接する円の直径をとし、各々の辺BC,AC及びABの長さをa、ｂ、ｃとする。

図から△ABC、△、△及び△は相似である。

又、相似の三角形に内接する円の直径もその相似比に比例する。因ってこれら四つの三角形の相似比を求めれば良い事になる。

今、正方形の辺の長さをKｂとすると、△の斜辺の長さはKｂなので、相似比より＝Kc　又、△の斜辺はKとなる。

因って、正方形の辺の長さはKとなる。

又々相似比を使い、△の辺の長さはK　、

辺の長さはK　　因って、辺の長さはK　

これより辺の長さはK　　因って△の斜辺の長さも

　K　　である。

以上より四つの三角形の相似比は1：K　：　K　：　K　となる。

即ち、相似の三角形に内接する円の直径の比でもある。

これより　　：　　：　　＝　　：　　：　1　となる。

　以上より求める関係は＝　となる。

これより25×16＝　即ち＝20㎝　である。

＜水の流れ：答えが平成20年の２０にこだわってみました。＞

ＮＯ２「uchinyan」12/16 12時43分受信更新1/6

第２０１回数学的な応募問題
［算額in宮城］

同じことなので，一般的に考えてしまいましょう。

まず，角度の関係から明らかに，△BP1Q1，△R1P2S2，△R2P3Q3 は相似です。
したがって，それぞれの三角形に内接する円O1，円O2，円O3 も相似で，
その半径の比は，P1Q1 = x1，P2S2 = x2，P3Q3 = x3 とすると，r1：r2：r3 = x1：x2：x3 です。
これは，直角三角形の直角をはさむ辺の長さを s，t，斜辺を u とすると，内接円の半径 r が，面積の関係から，
sr/2 + tr/2 + ur/2 = st/2，r = st/(s + t + u)
となることから，明らかでしょう。
そこで，x1，x2，x3 の関係を考えます。
まず，△ABC において，AB = a，BC = b とおいて，x1 を求めてみます。
角度の関係から，△ABC，△P1BQ1，△AS1P1，△Q1R1C は相似です。
AC = sqrt(a^2 + b^2) に注意して，
BP1 = a/sqrt(a^2 + b^2) * x1，BQ1 = b/sqrt(a^2 + b^2) * x1
S1A = a/b * x1，S1P1 = x1
R1Q1 = x1，R1C = b/a * x1
そこで，△ABC の面積に関して，
△P1BQ1 + △AS1P1 + △Q1R1C + □P1Q1R1S1 = △ABC
1/2 * ab/(a^2 + b^2) * x1^2 + 1/2 * a/b * x1^2 + 1/2 * b/a * x1^2 + x1^2 = 1/2 * ab
x1 > 0 なので，
x1 = sqrt(ab/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2))
です。
同様にして，x2 を △Q1R1C について考えると，R1Q1 = x1，R1C = b/a * x1 なので，
x1 の式で，a -> x1，b -> b/a * x1 と置き換えればよく，
ab -> b/a * x1^2
a/b -> a/b
b/a -> b/a
なので，
x2 = sqrt(b/a * x1^2/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2))
x2 = 1/a * sqrt(ab/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2)) * x1
同様にして，x3 を △S2R2C について考えると，R2S2 = x2，R2C = b/a * x2 なので，
x1 の式で，a -> x2，b -> b/a * x2 と置き換えればよく，
ab -> b/a * x2^2
a/b -> a/b
b/a -> b/a
なので，
x3 = sqrt(b/a * x2^2/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2))
x3 = 1/a * sqrt(ab/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2)) * x2
です。
結局，x1，x2，x3 かこの順に公比 1/a * sqrt(ab/(1/(a/b + b/a) + a/b + b/a + 2)) の等比数列になります。
これから，r1：r2：r3 = x1：x2：x3 だったので，r1，r2，r3 もこの順に等比数列になります。
そこで，
r2^2 = r1 * r3
がいえます。
r1 = 25 cm，r2 = 16 cm の場合は，r2^2 = 25 * 16，r2 = 20 cm になります。

(考察)
x1，x2，x3 の関係は，一応式を使って調べましたが，
△ABC，△Q1R1C，△S2R2C とそれぞれに内接する正方形の関係なので，
一定の比の割合で変化することはほとんど明らかで，x1，x2，x3 は明らかにこの順に等比数列をなす，
といってしまってもいいかもしれませんね。

(感想)
この問題，過去に，数学オリンピックの国内予選にも出ていましたよね。
そんなこんなで，実は知っていました。
しかしきれいな関係ですよね。最初に作題した方をほめるべきかもしれません (^^;

＜水の流れ：発見しました。２０００年1月１０日実施第１０回日本数学オリンピック予選（２０００）第1問です。
これは１８５３年に佐々木萬蔵氏が岩手県三陸綾里八幡神社に奉納された算額と書いてありました。
ここで、あることが推測できました。私が参考にしたのは宮城県桃生郡桃生町日高見神社に大正２年（1913年）に掲額された算額です。この算額は　直角三角形　AP1S1　と　Q1Q2R２とP3S3S2に内接する円O1,O2,O3です。
　したがって、1913年を参考にしました。作成したのが201回の問題です。
で、1913年の人は1853年の算額をある程度知っていたのではないかと言う推測です。結局、元にもどったことになります。これ、驚きです。情報ありがとうございます。＞

ＮＯ３「新俳人澄朝」12/17 18時52分受信更新1/6

＜コメント：解答記述の部分で少し省略したところがありますが、意を汲んでください。
和算の問題は、「一関博物館」のHPにも毎年問題がこの時期掲載され楽しんでいますが、中々奥が深いと思います。次回は、早くも来年ということです。少し早いですがよい年をお迎えください。＞
＜水の流れ：「一関博物館」のHP は立ち寄ったことがありまして、問題にチャレンジしたことがあります。
さらに、中尊寺を観光したときに、一関という地名を覚えていました。＞

ＮＯ４「Toru」 12/20 14時45分受信更新1/6

＜コメント：　くり返しの模様でだんだん大きくなっていくので、そこのところをうまく言葉で説
明しようと思いましたが、今一つでしょうか　＞
△ ABC、正方形S1P1Q1R1、円O1を一体ととらえてこの図形をK１
△ Q1R1C、正方形Q2P2S2R2、円O2をK２
△ S2R2C、正方形S3P3Q3R3、円O3をK３
とすると、K1,K２,K３は相似で拡大率は
K１／K２=AB/Q1R1=AP1/P1S1+P1B/P1Q1=Q1P2/Q2P2+P2R1/P2S2=Q1R1/S2R2=K２／K３
よって、r1:r2=r2:r3よりr2^2=r1r3
r1=25,r2=16とすればr2=√(25x16)=20

ＮＯ５「kasama」 12/22 02時55分受信更新1/6

＜コメント：回も面白い問題を出題して下さりありがとうございました。さて、宮城県の日高見神社という所には、このような問題が掲額されているとは、大変興味深いですね。
やり方はいろいろあると思いますが、主として三角形の相似を多用して解いてみました。中学数学の範囲内で意外とすんなりできたので、ちょっと不安です。CADで検証してみると答え自体は合っているようなので、＞

△ABCの各辺をBC=a、AC=b、AB=cとします。また、△ABC∽△BQ₁P₁∽△R₁P₂S₂∽△R₂Q₃P₃なので、辺の比を1:t₁:t₂:t₃とします。そして、△ABCを以下の３つの図形①、②、③に分けて考えます。

図形①、②、③は相似ですから、各図形に含まれる直角三角形と正方形の辺の比の関係はどれも同じです。よって、図形①だけを切り出して、その関係を調べます。AP₁:BP₁=t:1-tとすると、

△ABC∽△AP₁S₁∽△BQ₁P₁なので、

　t:1-t=b･b/a:c⇒t=(a²+c²)/(a²+c²+ac)…(1)

です。次に、図形①と②について、辺の比の関係を考えると、

　P₂R₁=(1-t)P₁Q₁

ですが、P₁Q₁=t₁b、P₂R₁=t₂cで、(1)式を代入して整理すると、

　(a²+c²+ac)/ab==t₁/t₂…(2)

となります。同様に、図形②と③についても、

　(a²+c²+ac)/ab==t₂/t₃…(3)

です。(2)(3)式から、a、b、cを消去すると、

　t₁t₃=t₂²…(3)

となります。ここで、△BQ₁P₁∽△R₁P₂S₂∽△R₂Q₃P₃だから、その辺の比の関係(3)式は、その三角形の内接円の直径の関係にも適用できて、

　r₁r₃=r₂²…(4)

です。例えば、r₁=25、r₃=16ならば、r₂=√(25×16)=20です。

ＮＯ６「bear56」　12/24 18時39分受信更新1/6

今回は直感に従ってみましたが，和算の三角比を知りません．
これで良いのでしょうか．しかも，本来は，もっと細かく計算するべきなのでしょうが，
直感に従っているので，かなり短絡しています．
PS
テキスト文字を工夫するより，LaTeXを使うほうが，段々楽になってきました．

寄せられた解答です。

「bear56」　12/27 14時07分受信更新1/6

＜コメント：三角比を使わずに，相似形の比例関係から求めてみました．
結果的に見れば，半角の三角比です．角度を使わなくても，内接円の半径と三角比を関連付けられそうです．
PS
いよいよ冬休みです．
本年中は，新参者ながら，大変お世話になりました．新年も，ご指導の程，よろしくお願い致します．＞

寄せられた解答です。

ＮＯ７「ぐーてん」12/26 18時34分受信更新1/6

＜コメント：今年は、水流さんのＨＰに出会えたのが、最大の収穫だったかもです。
おかげさまで、長らく衰えていた数学への関心がよみがえってきました。最近は、数学基礎論を少しかじっています。
思い起こせばε-δ法が私が数学からドロップアウトすることになった元凶でした。最近少し理解をし始めて分かったことは、こんなの理解出来るほうが頭が変だということです。巧妙だけど人間の直観に基づいた正統な手法じゃないなと感じました。別途、超準解析とかが研究されていることも知り、まともな数学者も少しはいるのだなとほっとしたりしています。今年もお世話になりました。来年もまたよろしくお願いいたします。＞

＜水の流れ：とんでもないです。こちらこそ恐縮ばかりです。また、よろしくお願いします。＞