平成２０年２月１７日

[流れ星]

　　　　　第２０３回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：１月２７日〜２月１７日

［ガウスの格子点問題］

皆さん、2007年度大学入試問題集（数研出版）にある首都大東京大学の入試問題を参考にして次の問題を作りました。なお、３大数学者の一人であるドイツのカール・フリードリヒ・ガウス（1777〜1855年）がこの極限値を求めています。

＜指摘：質問３は「新俳人澄朝」さんから反例がでてきました。ｎ＝２のとき、

方眼紙で実際に数えてみると、Ｐ（４）＝８、Ｐ（８）＝４１となり不成立＞

＜水の流れ：まったく不注意でした。深く反省し、お詫び申し上げます。質問３は取り消しにします

　　1月28日午後8時40分記入＞

そこで、「πと微積分の23話」という本を読んで調べたところ、「ガウスの格子点問題」と称して載っていましたから、関連問題として追加しました。よろしくお願いします。＜29日午後8時追加＞

ＮＯ１「新俳人澄朝」1/28 10時42分受信 更新2/17

「新俳人澄朝」2/15 09時20分受信 更新2/17

ＮＯ２「kasama」 　2/09 15時40分受信 更新2/17

「kasama」 　2/16 02時17分受信 更新2/17

質問１　k=1,2,…,n-1とします。x=kのとき、x²+y²<n²となるような格子点数をP_k(n)とすると、

　√(n²-k²)-1≦P_k(n)≦√(n²-k²)

です。これを、k=1,2,…,n-1で加算すると、

　{√(n²-k²)-1}≦P_k(n)=P(n)≦√(n²-k²)…(1)

となります。

質問２　(1)の両辺をn²で割って極限をとると、

　{√(n²-k²)}/n²={√(1-(k/n)²)}/n=√(1-x²)dx=π/4

　{√{(n²-k²)-1}}/n²={√(1-(k/n)²)}/n+1/n²=√(1-x²)dx=π/4

なので、両辺からはさんで、

　P(n)/n²=π/4

です。

質問４　N=13、N=17、N=29の場合をそれぞれ調べると、

　N=13…(±2)²+(±3)²=(±3)²+(±2)²⇒R(13)=8

　N=17…(±1)²+(±4)²=(±4)²+(±1)²⇒R(17)=8

　N=29…(±2)²+(±5)²=(±5)²+(±2)²⇒R(29)=8

なので、R(p)=8と類推できます。博士の愛した数式(小川洋子著)にも載っていましたが、フェルマー・オイラーの２平方和定理(←素人なのでよく理解できませんでした)によると、4で割って1余る素数は２つの整数の和として表されるのでR(p)=8です。

質問５　同様に、N=3、N=7、N=11の場合をそれぞれ調べると、

　N=3…なし⇒R(3)=0

　N=7…なし⇒R(7)=0

　N=11…なし⇒R(11)=0

なので、R(p)=0と類推できます。こちらも、その２平方和定理によると、4で割って3余る素数は２つの整数の和として表されないのでR(p)=0です。

質問６　Nが2つの平方和で、N=p²+q²と表せたとします。すると、

　2N=2(p²+q²)=(p+q)²(p-q)²

です。つまり、Nと2Nは1対1に関連付けられますから、R(N)=R(2N)です。

質問６　上の質問を参考にして、R(1)+R(2)+R(3)+…+R(N)を数式で表そうとしましたが、うまくできませんでした。直感的にπに近付いているのは分かるのですが。。。

ＮＯ３「kashiwagi｣ 2/15 21時57分受信 更新2/17

　

問題6.

　題意より右図が書ける。

の一つの格子点が（0、√N）

とすると、上の（√N、√N）

は必ず格子点である。即ち、

の一つの格子点に

対応する格子点が必ず上に

ある事になる。因って、R(N)＝R(2N)が成り立つ。

問題7.

　題意より、下図に示す半径が各々√Nと√N+1の円の面積を比較した場合、これら2円の間にあるのが一辺√Nの正方形4個ぶんであり、これは円内の格子点の数に等しい。

因って、それらの面積を比較し、

が成り立つ。即ち、

であるからこれらの極限値はπに収束する。因って、求めるものはπである。　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。