平成２０年２月１７日

[流れ星]

　　　　　第２０４回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：２月１７日〜３月９日

［正ｎ角形の３頂点］

皆さん、2007年度大学入試問題集（数研出版）にある慶応大学理工学部の入試問題を参考にして次の問題を作りました。

正ｎ角形（ｎは3以上の整数）の３つの頂点でできる三角形について、次の問題に答えよ。

問題１：ｎ＝９のとき、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２）鈍角三角形の個数を求めよ。

（３）直角三角形の個数を求めよ。

（４）鋭角三角形の個数を求めよ。

問題２：ｎ＝１０のとき、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２）鈍角三角形の個数を求めよ。

（３）直角三角形の個数を求めよ。

（４）鋭角三角形の個数を求めよ。

問題３：一般に、正ｎ角形の３つの頂点でできる三角形について、

（１）三角形の個数を求めよ。

（２）鈍角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

＜「新俳人澄朝」さんからの指摘で18日午後8時に鋭角から鈍角に修正しました。＞

（３）直角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

（４）鋭角三角形の個数を求めよ。（ｎが奇数、偶数に場合わけが必要）

問題４：ｎを無限大に大きくしたとき、正ｎ角形は円に近づきます。

円周上の異なる３点でできる三角形について、

（１）鈍角三角形となる確率を求めよ。

（２）直角三角形となる確率を求めよ。

（３）鋭角三角形となる確率を求めよ。

　皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。