kadai78

平成２０年３月３０日

[流れ星]

　　　　　第２０５回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：３月９日～３月３０日

［べータ関数］

皆さん、過去の大学入試問題集（数研出版）を見ていると、べータ関数に関するものがあります。

そこで次の問題を紹介します。

＜「uchinyan」からの指摘：最初の関数で単純ミスの指摘があり、訂正します。9日午後5時＞

NO1「uchinyan」 3/09 13時13分受信更新3/30

第２０５回数学的な応募問題
［べータ関数］

問1 ～問3
最初の式は，x^(1/m) + x^(1/n) = 1 ではなくて x^(1/m) + y^(1/n) = 1 ですね。そう思って解きます。
明らかに 0 <= x <= 1 で意味があり y = (1 - x^(1/m))^n なので，
A(m,n) = ∫[0<=x<=1]{(1 - x^(1/m))^n}dx
です。ここで，t = x^(1/m) とおくと，x = t^m, dx/dt = m * t^(m-1) なので，
A(m,n) = m * ∫[0<=t<=1]{t^(m-1) * (1-t)^n}dt
と書けます。以下，この式を使います。

問1
A(m,1) = m * ∫[0<=t<=1]{t^(m-1)* (1-t)}dx = m * [t^m/m - t^(m+1)/(m+1)][t=0,1] = 1 - m/(m+1) = 1/(m+1)

問2
A(m,n+1) = m * ∫[0<=t<=1]{t^(m-1) * (1-t))^(n+1)}dt = ∫[0<=t<=1]{(t^m)' * (1-t)^(n+1)}dt
= [t^m * (1-t)^(n+1)][t=0,1] - ∫[0<=t<=1]{t^m * (n+1) * (1-t)^n * (-1)}dt
= (n+1) * ∫[0<=t<=1]{t^m * (1-t)^n}dt
= (n+1)/(m+1) * (m+1) * ∫[0<=t<=1]{t^((m+1)-1) * (1-t)^n}dt
= (n+1)/(m+1) * A(m+1,n)

問3
A(m,n) = n/(m+1) * A(m+1,n-1) = {n(n-1)}/{(m+1)(m+2)} * A(m+2,n-2) = ...
= {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n-1)} * A(m+n-1,1)
= {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n-1)} * 1/(m+n)
= {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n-1)*(m+n)}
= m!*n!/(m+n)!

問4 ～問6
I(m,n) = ∫[0<=x<=1]{x^m * (1-x)^n}dx

問4
n >= 1
I(m,n) = ∫[0<=x<=1]{x^m * (1-x)^n}dx = ∫[0<=x<=1]{(x^(m+1)/(m+1))' * (1-x)^n}dx
= [x^(m+1)/(m+1) * (1-x)^n][x=0,1] - ∫[0<=x<=1]{x^(m+1)/(m+1) * n * (1-x)^(n-1) * (-1)}dx
= n/(m+1) * ∫[0<=x<=1]{x^(m+1) * (1-x)^(n-1)}dx
= n/(m+1) * I(m+1,n-1)

問5
I(m,n) = n/(m+1) * I(m+1,n-1) = {n*(n-1)}/{(m+1)*(m+2)} * I(m+2,n-2)
= {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n)} * I(m+n,0)
ここで，
I(m+n,0) = ∫[0<=x<=1]{x^(m+n)}dx
= [x^(m+n+1)/(m+n+1)][x=0,1]
= 1/(m+n+1)
なので，
I(m,n) = {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n)} * 1/(m+n+1)
= {n*(n-1)*...*2}/{(m+1)*(m+2)*...*(m+n)*(m+n+1)}
= m!*n!/(m+n+1)!

問6
I = ∫[α<=x<=β]{(x-α)^m * (x-β)^n}dx
t = x-α とおくと
I = ∫[0<=t<=β-α]{t^m * (t-(β-α))^n}dt
s = t/(β-α) とおくと
I = ∫[0<=s<=1]{((β-α)*s)^m * ((β-α)*s-(β-α))^n}(β-α)ds
= (β-α)^(m+n+1) * ∫[0<=s<=1]{s^m * (s-1)^n}ds
= (-1)^n * (β-α)^(m+n+1) * ∫[0<=s<=1]{s^m * (1-s)^n}ds
= (-1)^n * (β-α)^(m+n+1) * I(m,n)
= (-1)^n * (β-α)^(m+n+1) * m!*n!/(m+n+1)!

(感想)
ベータ関数がガンマ関数で書け，ガンマ関数は引数が正の整数のときは階乗で書けることを知っていれば，
結果は自ずと分かりますね。