平成２０年７月１３日
[流れ星]
第２０９回数学的な応募問題
＜解答募集期間：６月１５日～７月１３日
［累乗和の極限］
皆さん、過去の大学入試問題を見ていたら、下のような問題がでていました。
NO1「uchinyan」 6/15 12時12分受信
「uchinyan」 6/15 18時15分受信
更新7/13
第２０９回数学的な応募問題
［累乗和の極限］
a(n) = (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n)/(n + 1)^n
(1)
a(1) = 1/(1 + 1)^1 = 1/2^1 = 1/2 = 0.5
a(2) = (1 + 2^2)/(2 + 1)^2 = (1 + 4)/3^2 = 5/9 =
0.5555...
a(3) = (1 + 2^2 + 3^3)/(3 + 1)^3 = (1 + 4 + 27)/4^3
= 32/64 = 1/2 = 0.5
a(4) = (1 + 2^2 + 3^3 + 4^4)/(4 + 1)^4 = (1 + 4 +
27 + 256)/5^4 = 288/625 = 0.4608
a(5) = (1 + 2^2 + 3^3 + 4^4 + 5^5)/(5 + 1)^5 = (1 +
4 + 27 + 256 + 3125)/6^5 = 3413/7776 = 0.4389...
(2)
n >= 6 の整数に対して，
1 - a(n)
= 1 - (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n)/(n + 1)^n
= {(n + 1)^n - (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n)}/(n +
1)^n
= {n^n + nC1 * n^(n-1) + nC2 * n^(n-2) + ... +
nC(n-2) * n^2 + nC(n-1) * n + 1) - (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n)}/(n + 1)^n
= {(nC1 * n^(n-1) - (n-1)^(n-1)) + (nC2 * n^(n-2) -
(n-2)^(n-2)) + ... + (nC(n-3) * n^3 - 3^3) + (nC(n-2) * n^2 - 2^2) + nC(n-1) *
n}/(n + 1)^n
= {∑[k=1,n-2]{nCk * n^(n-k) - (n-k)^(n-k)} + nC(n-1) * n}/(n + 1)^n
ここで，n > k >= 1 の整数のとき，明らかに，
n > n-k > 0, nCk > 1
nCk * n^(n-k) > n^(n-k) > (n-k)^(n-k)
nCk * n^(n-k) - (n-k)^(n-k) > 0
nC(n-1) * n > 0
なので，n >= 6 の整数で
1 - a(n) > 0
a(n) < 1
になります。また，(1)より，n = 1, 2, 3, 4, 5 に対しても a(n) < 1 です。
結局，すべての自然数 n に対して
a(n) < 1
がいえます。
(3)
a(n+1)
= (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n + (n + 1)^(n + 1))/(n
+ 2)^(n + 1)
= (1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n + (n + 1)^(n + 1))/(n
+ 1)^n * (n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)
= {(1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n)/(n + 1)^n + (n +
1)^(n + 1)/(n + 1)^n} * (n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)
= {a(n) + (n + 1)} * (n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)
= a(n) * (n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1) + (n + 1)^(n +
1)/(n + 2)^(n + 1)
(4)
明らかに，0 < a(n) なので，0 < a(n) < 1 より
0 <= lim[n->∞]{a(n)} <= 1
で，lim[n->∞]{a(n)} は有界です。
(3)より，
a(n+1) = a(n) * (n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1) + (n +
1)^(n + 1)/(n + 2)^(n + 1)
lim[n->∞]{a(n+1)} = lim[n->∞]{a(n) * (n + 1)^n/(n
+ 2)^(n + 1) + (n + 1)^(n + 1)/(n + 2)^(n + 1)}
= lim[n->∞]{a(n)} * lim[n->∞]{(n + 1)^n/(n + 2)^(n
+ 1)} + lim[n->∞]{(n + 1)^(n + 1)/(n + 2)^(n + 1)}
ここで，
(n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)
= (n + 1)^n/((n + 1) + 1)^(n + 1)
= (n + 1)^n/{(n + 1)^(n + 1) * (1 + 1/(n + 1))^(n +
1)}
= 1/(n + 1) * 1/(1 + 1/(n + 1))^(n + 1)
lim[n->∞]{(n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)}
= lim[n->∞]{1/(n + 1) * 1/(1 + 1/(n + 1))^(n + 1)}
= lim[n->∞]{1/(n + 1)} * lim[n->∞][1/(1 + 1/(n +
1))^(n + 1)}
lim[n->∞](1 + 1/(n + 1))^(n + 1) = lim[n+1 -> ∞]{(1
+ 1/(n + 1))^(n + 1)} = e (自然対数の底)なので，
lim[n->∞]{(n + 1)^n/(n + 2)^(n + 1)}
= 0 * 1/e
= 0
また，
(n + 1)^(n + 1)/(n + 2)^(n + 1)
= (n + 1)^(n + 1)/((n + 1) + 1)^(n + 1)
= 1/(1 + 1/(n + 1))^(n + 1)
lim[n->∞]{(n + 1)^(n + 1)/(n + 2)^(n + 1)}
= lim[n->∞]{1/(1 + 1/(n + 1))^(n + 1)}
= 1/e
がいえるので，0 <= lim[n->∞]{a(n)} <= 1 にも注意して，
lim[n->∞]{a(n+1)} = lim[n->∞]{a(n)} * 0 + 1/e = 0
+ 1/e = 1/e
つまり，
lim[n->∞]{a(n)} = 1/e
になります。
(感想)
何となくこれでいいのかな，という感じもするのですが，結果は一応きれいなので。
しかし，ここでも 1/e が現れるとは．．．
NO2「Underbird」 6/19 09時03分受信
更新7/13
第２０９回 「累乗和の極限」 Underbirdより
とするとき、
（１）
の値を求めよ。
， 
， 
， 
，
（２）不等式 
を証明せよ。
よって、
すなわち、 が成り立つ。
（３）
を
と
用いて表せ。
ここで、より
を代入し
（４）
を求めよ。
明らかに
と（２）の結果とあわせて、
であることから、（３）より
が成り立ち、両端の項の極限値をそれぞれ計算すると
よって、はさみうちの原理より 
NO3「kashiwagi」 6/23 18時00分受信
更新7/13
209回解答
（1）題意より
であるからｎに1・・・・・、5を代入して
となる。
（2）n＝1の時（1）より
が成立する。
ｎ＝ｋの時成り立つとすると、
・・・・・①
ところで、①より
が成り立つ。両辺に
を加えると
因って、両辺を
で割ると、
・・・・② が成立する。
因って、帰納法で証明された。
（3）①と②の関係から 
・・・・・③ となる。
（4）③より
の極限をとると、
ここで
であるから、上式を変形し計算すると、
に収束する。
即ち、
である。
NO4「三角定規」 6/29 23時52分受信 更新7/13
[問題209] 解答 <三角定規>
NO5「kasama」 7/12 16時37分受信 更新7/13
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(1)随時計算すると、 |
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a1=1/2,a2=5/9,a3=1/2,a4=288/625,a5=3413/7776 |
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となります。 |
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(2)anの分母を二項定理を利用して変形すると、 |
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(1+n)n=nCn1nn0+nC11n-1n1+nC21n-2n2+…+nCn1n-nnn≧n0+n1+n2+…+nn>11+22+…+nn |
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となりますから、 |
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an=(11+22+…+nn)/(n+1)n<1 |
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です。 |
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(3)an+1を変形してくと、 |
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an+1=(11+22+…nn+(n+1)n+1)/(n+2)n+1={(n+1)nan+(n+1)n+1}/(n+2)n+1=(n+1)n(an+n+1)/(n+2)n+1 |
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となります。 |
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(4)(3)より、 |
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an=nn-1(an-1+n)/(n+1)n |
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ですが、0<an-1<1なので、 |
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nn-1(0+n)/(n+1)n<an<nn-1(1+n)/(n+1)n⇒1/(1+1/n)n<an<1/(1+1/n)n･(1+1/n) |
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となり、n→∞のとき両辺は1/eになるので、 |
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liman=1/e |
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です。 |
