平成２０年８月３日

[流れ星]

　　　　　第２１１回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：８月３日〜８月２４日

［連続する自然数の和］

皆さん、今回の問題は今年８月４日。５日に行われる「平成２０年度　中学生高校見学会授業体験「数学」の問題です。

自然数１，２，３，４，５，６・・・の中には単位数１、素数２，３，５，・・・、合成数4＝２×２、６＝２×３、・・・があります。それでは本題に入る前に自然数の約数および約数の個数について考えましょう。

ワーク１　３６を素因数分解して、その約数を全部書いてください。またその個数を求めてください。

ワーク２　３６の約数の中で奇数は何個ありますか。

ここで、２＋３＝５，３＋４＋５＝１２，４＋５＋６＋７＝２２、・・・のような和を連続する自然数の和という。すなわち、最初の自然数をaとし、連続する自然数ｋ個の和、

ａ＋（ａ＋１）＋（ａ＋２）＋・・・＋（ａ＋ｋ−１）をいいます。

ワーク３　１５を連続する自然数の和で何通りにも表してください。

ワーク４　一般に、奇数２ｎ＋１を2個の連続する自然数の和で表してください。

ワーク５　では、偶数２ｎについては常に連続する自然数の和で表されますか、調べてください。

ワーク６　　何か気がついたことはありませんか。

ヒント：どんな自然数でも連続する自然数の和で表されますか。

ヒント：ある自然数が連続する自然数の和で表されたとき、１通りですか。

次に、いくつかの連続する自然数の「ど真ん中」にある数を考えます。

例えば、４、５、６、７、８のときは「ど真ん中」は６です。

また、４、５、６、７、８、９のときは「ど真ん中」の数はありません。

したがって、連続する自然数の「ど真ん中」にある数は奇数とき存在して、偶数のときはありません。

ワーク７　連続する自然数を２ｋ＋１個とし、「ど真ん中」の数をaとします。このとき、

　　(a−ｋ)＋(a−ｋ+1) ＋(a−ｋ+2) ＋・・・＋a ＋(a+1) ＋(a+2) ＋・・・＋(a+ｋ)　

を求めてください。

ワーク８　（奇数）×（奇数）＝（　　　　）、（偶数）×（奇数）＝（　　　　）、

（偶数）×（偶数）＝（　　　　）の（　　　）の中に奇数、偶数を入れてください。

ここで、１５を連続する自然数の和で表したとき、何通りあるかを考えます。

最初に、１５の素因数分解は15＝3×５から、奇数の約数は１，３，５，１５になる。　　

（１）「ど真ん中」を３としたとき、１５÷３＝５ですから、

１５＝３＋３＋３＋３＋３＝（３−２）＋（３−１）＋３＋（３＋１）＋（３＋２）

　　　　　　　　　　　　＝１＋２＋３＋４＋５　＜完成＞

（２）「ど真ん中」を５としたとき、１５÷５＝３ですから、

１５＝５＋５＋５＝（５−１）＋５＋（５＋１）＝４＋５＋６　＜完成＞

（３）「ど真ん中」を１５としたときは特殊な場合でして、連続する自然数が１５という1個だけです。

ワーク９　（４）「ど真ん中」を１としたときを考えてください。

　　　　　　　　　　　　　　　

ワーク10　上のことを用いて３６を連続する自然数の和で表してください。

ワーク11　では、３０００を連続する自然数の和で表してください。

ワーク12　ある自然数Ｎを連続する自然数の和で表すときの方法をまとめてください。　

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。