平成２０年８月２４日

[流れ星]

　　　　　第２１１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：８月３日〜８月２４日

［連続する自然数の和］

皆さん、今回の問題は今年８月４日。５日に行われる「平成２０年度　中学生高校見学会授業体験「数学」の問題です。

自然数１，２，３，４，５，６・・・の中には単位数１、素数２，３，５，・・・、合成数4＝２×２、６＝２×３、・・・があります。それでは本題に入る前に自然数の約数および約数の個数について考えましょう。

ワーク１　３６を素因数分解して、その約数を全部書いてください。またその個数を求めてください。

ワーク２　３６の約数の中で奇数は何個ありますか。

ここで、２＋３＝５，３＋４＋５＝１２，４＋５＋６＋７＝２２、・・・のような和を連続する自然数の和という。すなわち、最初の自然数をaとし、連続する自然数ｋ個の和、

ａ＋（ａ＋１）＋（ａ＋２）＋・・・＋（ａ＋ｋ−１）をいいます。

ワーク３　１５を連続する自然数の和で何通りにも表してください。

ワーク４　一般に、奇数２ｎ＋１を2個の連続する自然数の和で表してください。

ワーク５　では、偶数２ｎについては常に連続する自然数の和で表されますか、調べてください。

ワーク６　　何か気がついたことはありませんか。

ヒント：どんな自然数でも連続する自然数の和で表されますか。

ヒント：ある自然数が連続する自然数の和で表されたとき、１通りですか。

次に、いくつかの連続する自然数の「ど真ん中」にある数を考えます。

例えば、４、５、６、７、８のときは「ど真ん中」は６です。

また、４、５、６、７、８、９のときは「ど真ん中」の数はありません。

したがって、連続する自然数の「ど真ん中」にある数は奇数とき存在して、偶数のときはありません。

ワーク７　連続する自然数を２ｋ＋１個とし、「ど真ん中」の数をaとします。このとき、

　　(a−ｋ)＋(a−ｋ+1) ＋(a−ｋ+2) ＋・・・＋a ＋(a+1) ＋(a+2) ＋・・・＋(a+ｋ)　

を求めてください。

ワーク８　（奇数）×（奇数）＝（　　　　）、（偶数）×（奇数）＝（　　　　）、

（偶数）×（偶数）＝（　　　　）の（　　　）の中に奇数、偶数を入れてください。

ここで、１５を連続する自然数の和で表したとき、何通りあるかを考えます。

最初に、１５の素因数分解は15＝3×５から、奇数の約数は１，３，５，１５になる。　　

（１）「ど真ん中」を３としたとき、１５÷３＝５ですから、

１５＝３＋３＋３＋３＋３＝（３−２）＋（３−１）＋３＋（３＋１）＋（３＋２）

　　　　　　　　　　　　＝１＋２＋３＋４＋５　＜完成＞

（２）「ど真ん中」を５としたとき、１５÷５＝３ですから、

１５＝５＋５＋５＝（５−１）＋５＋（５＋１）＝４＋５＋６　＜完成＞

（３）「ど真ん中」を１５としたときは特殊な場合でして、連続する自然数が１５という1個だけです。

ワーク９　（４）「ど真ん中」を１としたときを考えてください。

　　　　　　　　　　　　　　　

ワーク10　上のことを用いて３６を連続する自然数の和で表してください。

ワーク11　では、３０００を連続する自然数の和で表してください。

ワーク12　ある自然数Ｎを連続する自然数の和で表すときの方法をまとめてください。　

ＮＯ１「uchinyan」 8/03 13時41分受信 更新8/24

第２１１回数学的な応募問題
［連続する自然数の和］

ちょっとやりづらい感じもするのですが，取り敢えず，順番にやってみます。

ワーク１
36 = 2^2 * 3^2
約数　1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
9 個

ワーク２
1, 3, 9 の 3 個

ワーク３
a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + k - 1) = 15
(2a + k - 1)k/2 = 15
(2a + k - 1)k = 30 = 2 * 3 * 5
(1) k が奇数の場合
2a + k - 1 は偶数です。
(1-1) k = 1 のとき
2a + k - 1 = 30
a = 15
15 = 15
(1-2) k = 3 のとき
2a + k - 1 = 10
a = 4
15 = 4 + 5 + 6
(1-3) k = 5 のとき
2a + k - 1 = 6
a = 1
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
(1-4) k = 15 のとき
2a + k - 1 = 2
a は，自然数では存在しません。
(2) k が偶数の場合
2a + k - 1 は奇数です。
(1-1) 2a + k - 1 = 1 のとき
k = 30
a は，自然数では存在しません。
(1-2) 2a + k - 1 = 3 のとき
k = 10
a は，自然数では存在しません。
(1-3) 2a + k - 1 = 5 のとき
k = 6
a は，自然数では存在しません。
(実は，15 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 となって，(1-3)と等価です。)
(1-4) 2a + k - 1 = 15 のとき
k = 2
a = 7
15 = 7 + 8
以上ですべてです。したがって，
15 = 15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8

ワーク４
明らかに
2n + 1 = n + (n + 1)

ワーク５
a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + k - 1) = 2n
(2a + k - 1)k/2 = 2n
(2a + k - 1)k = 4n
ここで，2a + k - 1 と k の奇遇性は異なるので，
2a + k - 1 又は k のどちらか一方だけが必ず奇数になります。
したがって，少なくとも n は 1 以外の奇数を約数に含まないと，
2n = 2n 以外の連続する自然数の和では表せません。
それ以外は，ワーク６で示すとおりです。

ワーク６
「どんな自然数でも連続する自然数の和で表されますか。」
これは，ワーク５からして，それ自体に等しい自明な場合を除けば，NOです。
1 以外の奇数の約数を含まない 2 のべき乗の数は，それ自体に等しい明らかな場合を除いて，
連続する自然数の和では表せません。
「ある自然数が連続する自然数の和で表されたとき、１通りですか。」
これも，ワーク３から明らかですが，一般にはNOです。

まとめると．．．

a を初項，k を項数，N を自然数として，
a + (a + 1) + (a + 2) + ... + (a + k - 1) = N
(2a + k - 1)k/2 = N
(2a + k - 1)k = 2N
ここで，2a + k - 1 と k の奇遇性は異なるので，
2a + k - 1 又は k のどちらか一方だけが必ず奇数になります。
これから，N の約数のうち奇数 b に注目して，N = bc のとき，
2a + k - 1 = b, k = 2c ---> a = (b - 2c + 1)/2, k = 2c
又は
2a + k - 1 = 2c, k = b ---> a = (2c - b + 1)/2, k = b
の a, k が自然数の範囲のときに，N は連続する自然数の和で表せます。
このとき，一般に，a, k は複数存在します。

ワーク７
(a - k) + (a - k + 1) + ... + (a - 1) + a + (a + 1) + ... + (a + k - 1) + (a + k)
= a(2k + 1)

ワーク８
（奇数）×（奇数）＝（奇数）
（偶数）×（奇数）＝（偶数）
（偶数）×（偶数）＝（偶数）

ワーク９
1 を「ど真ん中」にすると，1 より小さい数をもってこないといけませんが，
これは明らかに自然数ではないので，この場合は不可能です。

ワーク１０
36 = 2^2 * 3^2
奇数の約数は，1, 3, 9 です。
「ど真ん中」を考えるためには，和に表れる自然数の個数を奇数にする必要があります。
36/1 = 36 を「ど真ん中」にする場合は，36 = 36。
36/3 = 12 を「ど真ん中」にする場合は，36 = 12 + 12 + 12 = 11 + 12 + 13。
36/9 = 4 を「ど真ん中」にする場合は，
36 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
0 は自然数ではないし意味がないので取り除くと，結局，
36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

ワーク１１
流れに従って，「ど真ん中」流でやってみます。
3000 = 2^3 * 3 * 5^3
奇数の約数は，1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375 です。
3000/1 = 3000 を「ど真ん中」にする場合は，3000 = 3000。
3000/3 = 1000 を「ど真ん中」にする場合は，3000 = 999 + 1000 + 1001。
3000/5 = 600 を「ど真ん中」にする場合は，3000 = 598 + 599 + 600 + 601 + 602。
3000/15 = 200 を「ど真ん中」にする場合は，
3000 = 193 + 194 + 195 + 196 + 197 + 198 + 199 + 200 + 201 + 202 + 203 + 204 + 205 + 206 + 207
3000/25 = 120 を「ど真ん中」にする場合は，
3000 = 108 + 109 + ... + 119 + 120 + 121 + ... + 131 + 132
3000/75 = 40 を「ど真ん中」にする場合は，
3000 = 3 + 4 + ... + 39 + 40 + 41 + ... + 76 + 77
3000/125 = 24 を「ど真ん中」にする場合は，初項が自然数にならないので不可。
3000/375 = 8 を「ど真ん中」にする場合は，初項が自然数にならないので不可。

ワーク１２
「ど真ん中」流(k が奇数の場合)も含めて，ワーク６でまとめてあります。

(感想)
発見的な流れの出題なので，問題としては，やややりづらい感じもありました。
発見的学習にはよさそうですね。

ＮＯ２「kashiwagi」 8/13 08時23分受信

「kashiwagi」 8/15 09時08分受信 更新8/24

211回解答

ワーク1

　　　　　　　

36＝2²×3²　より約数の数は3×3＝9　その約数は、1,2,3,4,6,9,12,18,36

ワーク2

上記より奇数は1,3,9の3個

ワーク3

15＝3×5であるから連続する1,3,5個で表せる。しかも15は奇数なので連続する2個でも表せる。即ち、15＝15＝7+8＝4+5+6＝1+2+3+4+5

ワーク4

奇数を連続する2数で表すには1を引いて2で割ったものとその上の数を加えれば良く、

2ｎ+1＝ｎ+（ｎ+1）　となる。

ワーク5

連続する2数の和は必ず奇数になるので、基本的には偶数は連続する2数の和では表せない。ところが、奇数が約数として含まれる偶数なら表せる。

例えば、6＝2×3、10＝2×5、14＝2×7、22=2×11、・・・・・・

6＝1+2+3、10＝1+2+3+4、14＝2+3+4+5、22＝4+5+6+7、・・・・・・

ワーク6

偶数で約数に奇数を含まない数以外は連続する自然数の和で表せる。その方法は、奇数を約数に含む偶数は1通りであるが、奇数は2通り以上となる。勿論、その数1個のみで表したものは含まないものとする。

ワーク7

引く数と足す数が対称となっており、減殺しあうので求めるものは（2ｋ+1）・a　となる。

ワーク8

（奇数）×（奇数）＝（奇数）、（偶数）×（奇数）＝（偶数）、（偶数）×（偶数）＝（偶数）

ワーク9

　15＝1+1+・・・・・+1+・・・・・・+1+1＝（1-7）+（1-6）+・・・・・+1+・・・・・+（1+6）+（1+７）

　　　　　　　　＝-6-5-・・・・・+1+・・・・・・+7+8＝7+8

ワーク10

ワーク5の結果を36＝2²×3²に当てはめ、約数の中の奇数である3と9を使い、

36/3＝12より、36＝12+12+12＝11+12+13

36/9＝4より、36＝4+4+4+4+4+4+4+4+4＝0+1+2+3+4+5+6+7+8＝1+2+3+4+5+6+7+8

ワーク11

上記と同様に、3000の奇数である約数を探すと、3,5,15,25の4数であることが分かる。

因って、3000/3＝1000より　3000＝999+1000+1001

　　　　　3000/5＝600より　3000＝598+599+600+601+602

　　　　　3000/15＝200より　3000＝193+194+・・・・・・+200+・・・・・・・・・+206+207

　　　　　3000/25＝120より　3000＝108+109+・・・・・・+120+・・・・・・+131+132

ワーク12

自然数のうち奇数と約数に奇数を含む偶数の場合は、奇数の約数で割って得た数を真ん中にして両側に一つづつ数を加えたり、引いたりした数で連続する数の和とすれば良い。

ＮＯ３「kasama」 8/23 08時58分受信

　　　「kasama」 8/23 20時35分受信 更新8/24

ワーク１

36=2²･3² なので、約数は{1,2,3,4,6,9,12,18,36}の9個です。

ワーク２

36の奇数の約数は{1,3,9}の3個です。

ワーク３

1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15の3通りです。

ワーク４

2n+1=n+(n+1)

ワーク５

１より大きい奇数の約数があれば、連続した自然数の和で表すことができます。

ワーク６

ある自然数が連続した自然数の和で表されるとき、その個数は奇数の約数の数です。

ワーク７

(a-k)+(a-k+1)+(a-k+2)+…+a+(a+1)+(a+2)+…+(a+k)=a(2k+1)

ワーク８

(奇数)×(奇数)＝(奇数)、(偶数)×(奇数)＝(偶数)、(偶数)×(偶数)＝(偶数)

ワーク９

15=(1+1+1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1+1+1+1)=7+8

ワーク１０

ワーク２より、36=3×12なので、ど真ん中は12で、36=12+12+12=11+12+13と表すことができます。

ワーク１１

3000=2³･3･5³と素因数分解できて、下表のように表すことができます。

式	ど真ん中	連続する自然数の和
-	3000	3000
3×1000	1000	999+1000+1001
5×600	600	598+599+600+601+602
15×200	200	193+194+…+200+…+205+206+207
25×120	120	108+109+110+…+120+…+130+131+132
75×40	40	3+4+5+…+40+…+75+76+77
-	1	39+40+41+…+84+85+86
-	1	180+181+182+…+193+194+195

ワーク１２

(1)Nを素因数分解して、1より大きい奇数の約数を求めます。その集合をDとします。

(2)p∈Dに対して、ど真ん中a=N/pを計算します。

(3)すると、連続した自然数の和は(a-k)+…+a+…+(a+k)です(ただし、k=(N/a-1)/2です)。

※青字は2008.8.23修正