平成２０年９月１４日

[流れ星]

　　　第２１２回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：８月２４日〜９月１４日

［ページシステム］

皆さん、2008年北京オリンピックの女子ソフトボール競技決勝戦では、日本に

心から声援を送りました。悲願の優勝ができて感動を味わうことができました。

　さて、ソフトボールで行われた決勝トーナメントですが、ページシステムという方法です。

予選リーグを行い上位４チームで行うものです。ここで、上位１位、２位は3位以内に入りメダルが確定します。

準決勝２試合は上位１位２位で戦い、勝ったら決勝戦進出します。　また、もう１試合は３位４位で負けたら、４位に確定します。

次に、１位２位の試合で負けたチームと３位４位の試合で勝ったチームが３位決定戦を行い、勝ったら決勝戦に進出、負けたら銅メダル決定となります。

　最後にこの２チームで決勝戦を行い、金・銀メダルの争いをします。

ここで、問題を考えました。

予選リーグを行って上位４チームを決めますから、１位から４位のまでのチームの力に優劣ができます。

設定として、予選リーグ１位から４位までの勝つ力を４チーム全体で４割、３割、２割、１割とします。したがって、1位と2位が対戦した場合は1位が勝つ確率は４／７となります。

例えば、今回のように１位Ａアメリカ、２位Ｂ日本、３位Ｃオーストラリア、４位Ｄカナダチームとします。

このとき、Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４チームが金、銀、銅メダルのどれか１つを獲得する確率をそれぞれ求めよ。

注：「新俳人澄朝」さんからご指摘がありましたから、「１つ」を追加します。

青字は8月25日に修正しました。

　　　赤字は9月2日に訂正しました。

「uchinyan」 8/24 14時16分受信 更新9/14

第２１２回数学的な応募問題

今ひとつ問題がピンと来ないので，地道に考えてみます。

X と Y が試合をして X が勝った場合を X:Y -> X，X が n 位の場合を X-n などと書くことにします。
すると，
・A:B -> A, C:D -> C, B:C -> B, A:B -> A の場合
A-1, B-2, C-3, D-4 です。確率は，4/7 * 2/3 * 3/5 * 4/7 = 32/245 です。
・A:B -> A, C:D -> C, B:C -> B, A:B -> B の場合
A-2, B-1, C-3, D-4 です。確率は，4/7 * 2/3 * 3/5 * 3/7 = 24/245 です。
・A:B -> A, C:D -> C, B:C -> C, A:C -> A の場合
A-1, B-3, C-2, D-4 です。確率は，4/7 * 2/3 * 2/5 * 4/6 = 32/315 です。
・A:B -> A, C:D -> C, B:C -> C, A:C -> C の場合
A-2, B-3, C-1, D-4 です。確率は，4/7 * 2/3 * 2/5 * 2/6 = 16/315 です。
・A:B -> A, C:D -> D, B:D -> B, A:B -> A の場合
A-1, B-2, C-4, D-3 です。確率は，4/7 * 1/3 * 3/4 * 4/7 = 4/49 です。
・A:B -> A, C:D -> D, B:D -> B, A:B -> B の場合
A-2, B-1, C-4, D-3 です。確率は，4/7 * 1/3 * 3/4 * 3/7 = 3/49 です。
・A:B -> A, C:D -> D, B:D -> D, A:D -> A の場合
A-1, B-3, C-4, D-2 です。確率は，4/7 * 1/3 * 1/4 * 4/5 = 4/105 です。
・A:B -> A, C:D -> D, B:D -> D, A:D -> D の場合
A-2, B-3, C-4, D-1 です。確率は，4/7 * 1/3 * 1/4 * 1/5 = 1/105 です。
・A:B -> B, C:D -> C, A:C -> A, B:A -> B の場合
A-2, B-1, C-3, D-4 です。確率は，3/7 * 2/3 * 4/6 * 3/7 = 4/49 です。
・A:B -> B, C:D -> C, A:C -> A, B:A -> A の場合
A-1, B-2, C-3, D-4 です。確率は，3/7 * 2/3 * 4/6 * 4/7 = 16/147 です。
・A:B -> B, C:D -> C, A:C -> C, B:C -> B の場合
A-3, B-1, C-2, D-4 です。確率は，3/7 * 2/3 * 2/6 * 3/5 = 2/35 です。
・A:B -> B, C:D -> C, A:C -> C, B:C -> C の場合
A-3, B-2, C-1, D-4 です。確率は，3/7 * 2/3 * 2/6 * 2/5 = 4/105 です。
・A:B -> B, C:D -> D, A:D -> A, B:A -> B の場合
A-2, B-1, C-4, D-3 です。確率は，3/7 * 1/3 * 4/5 * 3/7 = 12/245 です。
・A:B -> B, C:D -> D, A:D -> A, B:A -> A の場合
A-1, B-2, C-4, D-3 です。確率は，3/7 * 1/3 * 4/5 * 4/7 = 16/245 です。
・A:B -> B, C:D -> D, A:D -> D, B:D -> B の場合
A-3, B-1, C-4, D-2 です。確率は，3/7 * 1/3 * 1/5 * 3/4 = 3/140 です。
・A:B -> B, C:D -> D, A:D -> D, B:D -> D の場合
A-3, B-2, C-4, D-1 です。確率は，3/7 * 1/3 * 1/5 * 1/4 = 1/140 です。
これですべてです。そこで，

・A がメダルを取る場合
金メダルを取る場合
32/245 + 32/315 + 4/49 + 4/105 + 16/147 + 16/245
= (32 * 9 + 32 * 7 + 4 * 45 + 4 * 21 + 16 * 15 + 16 * 9)/2205
= 1160/2205
= 232/441
銀メダルを取る場合　
24/245 + 16/315 + 3/49 + 1/105 + 4/49 + 12/245
= (24 * 9 + 16 * 7 + 3 * 45 + 1 * 21 + 4 * 45 + 12 * 9)/2205
= 772/2205
銅メダルを取る場合　
2/35 + 4/105 + 3/140 + 1/140
= (2 * 12 + 4 * 4 + 3 * 3 + 1 * 3)/420
= 52/420
= 13/105
そこで，金，銀，銅のいずれかのメダルを取る確率は，
232/441 + 772/2205 + 13/105
= (232 * 5 + 772 * 1 + 13 * 21)/2205
= 2205/2205
= 1
これは，ページシステムの試合の仕方からも明らかです。

・B がメダルを取る場合
金メダルを取る場合
24/245 + 3/49 + 4/49 + 2/35 + 12/245 + 3/140
= (24 * 4 + 3 * 20 + 4 * 20 + 2 * 28 + 12 * 4 + 3 * 7)/980
= 361/980
銀メダルを取る場合　
32/245 + 4/49 + 16/147 + 4/105 + 16/245 + 1/140
= (32 * 12 + 4 * 60 + 16 * 20 + 4 * 28 + 16 * 12 + 1 * 21)/2940
= 1269/2940
= 423/980
銅メダルを取る場合　
32/315 + 16/315 + 4/105 + 1/105
= (32 + 16 + 4 * 3 + 1 * 3)/315
= 63/315
= 1/5
そこで，金，銀，銅のいずれかのメダルを取る確率は，
361/980 + 423/980 + 1/5 = 784/980 + 1/5 = 4/5 + 1/5 = 1
これは，ページシステムの試合の仕方からも明らかです。

・C がメダルを取る場合
金メダルを取る場合
16/315 + 4/105 = 28/315 = 4/45
銀メダルを取る場合　
32/315 + 2/35 = 50/315 = 10/63
銅メダルを取る場合　
32/245 + 24/245 + 4/49 + 16/147
= (32 * 3 + 24 * 3 + 4 * 15 + 16 * 5)/735
= 308/735
= 44/105
そこで，金，銀，銅のいずれかのメダルを取る確率は，
4/45 + 10/63 + 44/105 = (4 * 7 + 10 * 5 + 44 * 3)/315 = 210/315 = 2/3
これは，ページシステムの試合の仕方からして，３位決定戦に進めばいいので，明らかです。

・D がメダルを取る場合
金メダルを取る場合
1/105 + 1/140 = 7/420 = 1/60
銀メダルを取る場合　
4/105 + 3/140 = 25/420 = 5/84
銅メダルを取る場合　
4/49 + 3/49 + 12/245 + 16/245 = 1/7 + 4/35 = 9/35
そこで，金，銀，銅のいずれかのメダルを取る確率は，
1/60 + 5/84 + 9/35 = (1 * 7 + 5 * 5 + 9 * 12)/420 = 140/420 = 1/3
これは，ページシステムの試合の仕方からして，３位決定戦に進めばいいので，明らかです。

(感想)
A, B, C, D が，金，銀，銅のいずれかのメダルを取る確率は，ページシステムの試合の仕方からして明らかに，
1, 1, 2/3, 1/3 ですが，それでは面白くないので，すべての場合を計算して検算してみました。
ピッタリと合って気持ちがいいです (^^;
それにしても，北京オリンピックのソフトボールの試合はすごかった，根性が入っていた，ですね。
それに比べて，言いたくはないですが，野球のふがいないこと．．．

「新俳人澄朝」8/27 14時16分受信 更新9/14

「kashiwagi」 9/01 14時32分受信

「kashiwagi」 9/02 07時48分受信 更新9/14

212回解答

　まず各々のチーム同志で戦った際の勝つ確率を整理します。尚、Aアメリカ、B日本、Cオーストラリア及びDカナダを各々AU,BJ,CA及びDCと表すことにします。

	AU	BJ	CA	DC
AU	×	4/7	2/3	4/5
BJ	3/7	×	3/5	3/4
CA	1/3	2/5	×	2/3
DC	1/5	1/4	1/3	×

この確率を使用して4チームの金、銀及び銅メダル各々をとる確率を各々の場合を想定し計算します。

【DCについて】

（1）銅メダル

銅メダルをとるための条件は、

�@まずCAに勝つ

�A3位決定戦に出てきたチームに負ける

因って、3位決定戦にBJが出てきた場合は1/3×4/7×3/4＝1/7　

又、AUが出てきた場合は1/3×3/7×4/5＝4/35　

これらを加えて、9/35となる。

（2）銀メダル

銀メダルをとるための条件は、

�@まずCAに勝つ

�A3位決定戦に勝つ

�B決勝で負ける

因って、3位決定戦にBJが出てきた場合は1/3×4/7×1/4×4/5＝4/105

又、AUが出てきた場合は1/3×3/7×1/5×3/4＝3/140　

これらを加えて、5/84となる。

（3）金メダル

金メダルをとるための条件は、

�@まずCAに勝つ

�A3位決定戦に勝つ

�B決勝で勝つ

因って、3位決定戦にBJが出てきた場合は1/3×4/7×1/4×1/5＝1/105

又、AUが出てきた場合は1/3×3/7×1/5×1/4＝1/140　

これらを加えて、1/60となる。

残りCA,BJ及びAUについても全く同じ考え方で考察する。計算は省略致しますが、最終結果を表に整理致します。

	金メダル	銀メダル	銅メダル
DC	1/60 (1.67)	5/84 (5.95)	9/35 (25.71)
CA	4/45 (8.89)	10/63 (15.87)	44/105 (41.90)
BJ	361/980 (36.84)	423/980 (43.16)	1/5 (20.00)
AU	232/441 (52.61)	772/2205 (35.01)	13/105 (12.38)

「kasama」 9/05 17時22分受信 更新9/14

＜コメント：今回の出題はこのシステム下でメダルを獲得する確率についてですね。ケースを洗い出して計算する以外に、いいやり方を思い付きませんでした。＞

各チームの対戦パターンは16通りますが、各ケース毎に起きる確率を計算すると、下表のようになります。

No	対戦パターン				順位				確率
	1回戦		3位決戦	優勝戦	1	2	3	4
1	A○-B×	C○-D×	B○-C×	A○-B×	A	B	C	D	4/7×2/3×3/5×4/7=32/245
2	A○-B×	C○-D×	B○-C×	B○-A×	B	A	C	D	4/7×2/3×3/5×3/7=24/245
3	A○-B×	C○-D×	C○-B×	A○-C×	A	C	B	D	4/7×2/3×2/5×4/6=32/315
4	A○-B×	C○-D×	C○-B×	C○-A×	C	A	B	D	4/7×2/3×2/5×2/6=16/315
5	B○-A×	C○-D×	A○-C×	B○-A×	B	A	C	D	3/7×2/3×4/6×3/7=4/49
6	B○-A×	C○-D×	A○-C×	A○-B×	A	B	C	D	3/7×2/3×4/6×4/7=16/147
7	B○-A×	C○-D×	C○-A×	B○-C×	B	C	A	D	3/7×2/3×2/6×3/5=2/35
8	B○-A×	C○-D×	C○-A×	C○-B×	C	B	A	D	3/7×2/3×2/6×2/5=4/105
9	A○-B×	D○-C×	B○-D×	A○-B×	A	B	D	C	4/7×1/3×3/4×4/7=4/49
10	A○-B×	D○-C×	B○-D×	B○-A×	B	A	D	C	4/7×1/3×3/4×3/7=3/49
11	A○-B×	D○-C×	D○-B×	A○-D×	A	D	B	C	4/7×1/3×1/4×4/5=4/105
12	A○-B×	D○-C×	D○-B×	D○-A×	D	A	B	C	4/7×1/3×1/4×1/5=1/105
13	B○-A×	D○-C×	A○-D×	B○-A×	B	A	D	C	3/7×1/3×4/5×3/7=12/245
14	B○-A×	D○-C×	A○-D×	A○-B×	A	B	D	C	3/7×1/3×4/5×4/7=16/245
15	B○-A×	D○-C×	D○-A×	B○-D×	B	D	A	C	3/7×1/3×1/5×3/4=3/140
16	B○-A×	D○-C×	D○-A×	D○-B×	D	B	A	C	3/7×1/3×1/5×1/4=1/140

この表を基にして、各チームがメダルを獲得する確率を計算すると、下表のようになります。

チーム	メダル
	金	銀	銅	なし
A	32/245+32/315+16/147 +4/49+4/105+16/245 =232/441	24/245+16/315+4/49 +3/49+1/105+12/245 =772/2205	2/35+4/105+3/140 +1/140=13/105	0
B	24/245+4/49+2/35 +3/49+12/245+3/140 =361/980	32/245+16/147+4/105 +4/49+16/245+1/140 =423/980	32/315+16/315+4/105 +1/105=1/5	0
C	16/315+4/105=4/45	32/315+2/35=10/63	32/245+24/245+4/49 +16/147=44/105	4/49+3/49+4/105 +1/105+12/245+16/245 +3/140+1/140=1/3
D	1/105+1/140=1/60	4/105+3/140=5/84	4/49+3/49+12/245 +16/245=9/35	32/245+24/245+32/315 +16/315+4/49+16/147 +2/35+4/105=2/3

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。