平成２０年１０月２６日

[流れ星]

　　　　　第２１５回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：10月26日〜11月16日

［ｱｲｾﾞﾝｽﾀｲﾝ三角形］

皆さん、高校数学で習う余弦定理をご存知ですか。三角形の３辺の長さをa、ｂ、ｃとしたときに成り立つ定理です。ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２−２ａｂｃｏｓθのことです。

辺ｃに対する角Cが１２０°のとき、 ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２＋ａｂとなる。

例えば、a＝３、ｂ＝５、ｃ＝７がそうです。別名七五三の三角形と私は呼んでいます。

最近、「整数とあそぼう」（日本評論社、一松信著）を読んでいたら、このような３辺の長さが整数で、角が１２０°である三角形を「アイゼンスタインの三角形」と知りました。

ここで、ｘ＝ａ＋ｂ，ｙ＝ａ（またはｂ），ｚ＝ｃである三角形はｚ^２＝ｘ^２＋ｙ^２―ｘｙ

を満たし、角が６０°になります。これがｘ＝８、ｙ＝５、ｚ＝７となり、別名ナゴヤ（名古屋）の三角形と私は呼んでいます。

　さて、ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２＋ａｂ整数解ですが、

a＝ｍ^２−ｎ^２，ｂ＝２ｍｎ＋ｎ^２，ｃ＝ｍ^２＋ｍｎ＋ｎ^２となります。

ただし、ｍとｎは互いに素で、ｍ−ｎは３の倍数ない。

ここから、問題です。

問題１：ｍ、ｎに自然数を小さい順に代入して、（a、ｂ、ｃ、ａ＋ｂ）組を幾つか求めてください。

問題２：a＝ｍ^２−ｎ^２，ｂ＝２ｍｎ＋ｎ^２，ｃ＝ｍ^２＋ｍｎ＋ｎ^２のとき、ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２＋ａｂを満たしていることを確かめてください。

問題３：積ａｂｃ（ａ＋ｂ）は必ず８４０の倍数になることを確かめてください。

問題４：可能なら、ｃ^２＝ａ^２＋ｂ^２＋ａｂ整数解が、a＝ｍ^２−ｎ^２，ｂ＝２ｍｎ＋ｎ^２，

ｃ＝ｍ^２＋ｍｎ＋ｎ^２となることを求めてください。

注：アイゼンスタイン（1823〜1852）はドイツの天才数学者です。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。