kadai78

平成２０年１２月７日

[流れ星]

　　　　第２１６回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月16日～12月7日

［博士の愛した数式］

NO1「uchinyan」 11/18 11時17分受信

「uchinyan」 11/19 18時06分受信更新12/7

第２１６回数学的な応募問題
［博士の愛した数式］

問題１：
y = ax^2 + bx + c, a not= 0
において，
・a > 0 <-> グラフが下に凸，a < 0 <-> グラフが上に凸
・グラフが y 軸を切る点の y 座標が c
・- b/2a がグラフ(放物線)の軸
になっています。そこで，
(1) a > 0, c < 0, - b/2a > 0, b < 0
(2) a > 0, c > 0, - b/2a < 0, b > 0
(3) a < 0, c < 0, - b/2a > 0, b > 0
(4) a < 0, c < 0, - b/2a < 0, b < 0

(別解)
微分を使います。
y = ax^2 + bx + c, a not= 0
y' = 2ax + b
y'' = 2a
なので，
・a > 0 <-> グラフが下に凸，a < 0 <-> グラフが上に凸
・グラフの x = 0 での接線の傾きが b
・グラフが y 軸を切る点の y 座標が c
になっています。そこで，
(1) a > 0, b < 0, c < 0
(2) a > 0, b > 0, c > 0
(3) a < 0, b > 0, c < 0
(4) a < 0, b < 0, c < 0

問題２：
y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a not= 0
y' = 3ax^2 + 2bx + c
において，
・a > 0 <-> グラフが x -> ∞ で y -> ∞，a < 0 <-> グラフが x -> ∞ で y -> - ∞
・グラフが y 軸を切る点の y 座標が d
・極値を与える x の値を α, β とすると，α + β = - 2b/3a, αβ = c/3a
になっています。そこで，
(1) a > 0, d < 0, - 2b/3a > 0, c/3a > 0, b < 0, c > 0
(2) a > 0, d < 0, - 2b/3a < 0, c/3a = 0, b > 0, c = 0
(3) a < 0, d < 0, - 2b/3a > 0, c/3a < 0, b > 0, c > 0
(4) a < 0, d = 0, - 2b/3a > 0, c/3a < 0, b > 0, c > 0

(別解)
より高階の微分まで使います。
y = ax^3 + bx^2 + cx + d, a not= 0
y' = 3ax^2 + 2bx + c
y'' = 6ax + 2b
なので，
・a > 0 <-> グラフが x -> ∞ で y -> ∞，a < 0 <-> グラフが x -> ∞ で y -> - ∞
・b > 0 <-> x = 0 でグラフが下に凸，b < 0 <-> x = 0 でグラフが上に凸
・グラフの x = 0 での接線の傾きが c
・グラフが y 軸を切る点の y 座標が cd
になっています。そこで，
(1) a > 0, b < 0, c > 0, d < 0
(2) a > 0, b > 0, c = 0, d < 0
(3) a < 0, b > 0, c > 0, d < 0
(4) a < 0, b > 0, c > 0, d = 0

問題３：
y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
y' = f'(x) = 3x^2 + 2ax + b
f'(x) = 3x^2 + 2ax + b = 0
極値をもつ条件は，この二次方程式が二つの異なる実数解をもつことです。そこで，
a^2 - 3b > 0
このとき，増減表から明らかに，
x = α = (- a - sqrt(a^2 - 3b))/3 で極大値を，x = β = (- a + sqrt(a^2 - 3b))/3 で極小値を
とります。そこで，
(1) x = 1 で極大
(- a - sqrt(a^2 - 3b))/3 = 1
sqrt(a^2 - 3b) = - a - 3 > 0, a < -3
a^2 - 3b = (a + 3)^2 = a^2 + 6a + 9, b = - 2a - 3
c : 任意
(2) x = -2 で極小
(- a + sqrt(a^2 - 3b))/3 = -2
sqrt(a^2 - 3b) = a - 6 > 0, a > 6
a^2 - 3b = (a - 6)^2 = a^2 - 12a + 36, b = 4a - 12
c : 任意

(別解)
極大，極小を二階の微係数でチェックしてもいいですね。
y = f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
y' = f'(x) = 3x^2 + 2ax + b
y'' = f''(x) = 6x + 2a
ここで，
・x = α で極大 -> f'(α) = 0, f''(α) < 0
・x = α で極小 -> f'(α) = 0, f''(α) > 0
これを使うと．．．
(1) x = 1 で極大
f''(1) = 6 + 2a < 0, a < -3
f'(1) = 3 + 2a + b = 0, b = - 2a - 3
c : 任意
(2) x = -2 で極小
f''(-2) = - 12 + 2a > 0, a > 6
f'(-2) = 12 - 4a + b = 0, b = 4a - 12
c : 任意

問題４：
(1) f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 2, f'''(0) = 6
f(x) = 1 + 1/1! * x + 2/2! * x^2 + 6/3! * x^3 + ∑[n=4,∞]{f^{n}(0)/n! * x^n}
f(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + ∑[n=4,∞]{f^{n}(0)/n! * x^n}
もし f^{n}(0) = 0 for n >= 4 ならば，
f(x) = 1 + x + x^2 + x^3
(2) 若干，題意があいまいですが，
f^{n}(0) = 1 for n >= 0
だろうと思われます。その場合は，
f(x) = ∑[n=0,∞]{x^n/n!}
f'(x) = ∑[n=1,∞]{x^(n-1)/(n-1)!} = f(x), f(0) = 1
これを満たすのは，f(x) = e^x です。
(3) 若干，題意があいまいですが，
f^{2n}(0) = 0
f^{2n+1}(0) = (-1)^n
だろうと思われます。その場合は，
f(x) = ∑[n=0,∞]{(-1)^n/(2n+1)! * x^(2n+1)}
f'(x) = ∑[n=0,∞]{(-1)^n/(2n)! * x^(2n)}
f''(x) = ∑[n=1,∞]{(-1)^n/(2n-1)! * x^(2n-1)} = - ∑[k=0,∞]{(-1)^k/(2k+1)! * x^(2k+1)} = - f(x)
f(0) = 0, f'(0) = 1
これを満たすのは，f(x) = sin(x) です。
(4) 若干，題意があいまいですが，
f^{2n}(0) = (-1)^n
f^{2n+1}(0) = 0
だろうと思われます。その場合は，
f(x) = ∑[n=0,∞]{(-1)^n/(2n)! * x^(2n)}
これは，(3) の f'(x) と同じです。
そこで，f(x) = (sin(x))' = cos(x) です。

問題５：
問題４：の (2) より，
e^x = ∑[n=0,∞]{x^n/n!}
ここで，x = iθ とおくと，
e^(iθ) = ∑[n=0,∞]{(iθ)^n/n!}
= ∑[k=0,∞]{(-1)^k/(2k)! * θ^(2k)} + i * ∑[k=0,∞]{(-1)^k/(2k+1)! * θ^(2k+1)}
問題４：の (3) 及び (4) より，
= cosθ + i * sinθ
つまり，
e^(iθ) = cosθ + i * sinθ
になります。

問題６：
e^(iθ) + 1 = 0 は明らかにおかしく，e^(iπ) + 1 = 0 の間違いと思われます。
これならば，オイラーの定理で，θ = π とおくと，
e^(iπ) = cosπ + i * sinπ = -1
e^(iπ) + 1 = 0
となります。

問題７：
オイラーの定理で，θ = π/2 + 2nπ，n : 整数，とおくと，
e^(i * (π/2 + 2nπ)) = cos(π/2 + 2nπ) + i * sin(π/2 + 2nπ)
e^(i * π/2 + i * 2nπ)) = 0 + i * 1 = i
つまり，
i = e^(i * π/2 + i * 2nπ)
そこで，
i^i = (e^(i * π/2 + i * 2nπ))^i = e^{(i * π/2 + i * 2nπ) * i} = e^(-π/2 - 2nπ)
ちょっと驚きですが，n : 整数だけの不定性があって，一意には決まらないようです。
特に，n = 0 のときには，電卓を叩いて，
i^i = e^(-π/2) = 0.207879576350762...

問題８：
cos(x) + i * sin(x) = (cos(x/n) + i * sin(x/n))^n
において，問題４：の (3) 及び (4) より，
cos(x/n) = ∑[k=0,∞]{(-1)^k/(2k)! * (x/n)^(2k)}
sin(x/n) = ∑[k=0,∞]{(-1)^k/(2k+1)! * (x/n)^(2k+1)}
ここで，n -> ∞ のとき f(n) 程度に振る舞う式を O(f(n)) と書くことにします。すると，
cos(x/n) = 1 + O(1/n^2)
sin(x/n) = x/n + O(1/n^3)
と書けます。そこで，
(cos(x/n) + i * sin(x/n))^n
= ((1 + O(1/n^2)) + i * (x/n + O(1/n^3)))^n
= ((1 + i * x/n) + O(1/n^2)))^n
= (1 + ix/n)^n * ((1 + O(1/n^2)/(1 + ix/n))^n
= (1 + ix/n)^n * ((1 + O(1/n^2)*(1 + O(1/n)))^n
= (1 + ix/n)^n * (1 + O(1/n^2))^n
ここで，lim[n->∞](1 + 1/n)^n = e なので，
lim[n->∞](1 + ix/n)^n
= lim[N->∞]((1 + 1/N)^N)^(ix)　<----- 1/N = ix/n とおいた
= e^(ix)
また，
(1 + O(1/n^2))^n
= 1 + ∑[k=1,n]{nCk * (O(1/n^2))^k}
ここで，nCk, k >= 1 は最大でも O(n^k) なので，n が十分大きいとき，せいぜい，
= 1 + ∑[k=1,∞]{O(n^k) * O(1/n^(2k))}　
= 1 + ∑[k=1,∞]{O(1/n^k)}
(k が大きいところでは，実際にはもっと速く 0 に近づきます。)
= 1 + O(1/n)
つまり，
lim[n->∞]{(1 + O(1/n^2))^n} = lim[n->∞]{1 + O(1/n)} = 1
そこで，
lim[n->∞]{(cos(x/n) + i * sin(x/n))^n}
= lim[n->∞]{(1 + ix/n)^n * (1 + O(1/n^2))^n}
= e^(ix) * 1
= e^(ix)
これより，
cos(x) + i * sin(x) = e^(ix)
がいえました。

(考察)
θ = x/n とおいたドモアブルの定理
(cosθ + i * sinθ)^n = cos(nθ) + i * sin(nθ)
は，n に関する数学的帰納法で証明できます。
* n = 1 の場合　明らか
* n = k で成立しているとします。
(cosθ + i * sinθ)^k = cos(kθ) + i * sin(kθ)
n = k + 1 の場合
(cosθ + i * sinθ)^(k+1)
= (cosθ + i * sinθ)^k * (cosθ + i * sinθ)
帰納法の仮定より
= (cos(kθ) + i * sin(kθ)) * (cosθ + i * sinθ)
= (cos(kθ)cosθ - sin(kθ)sinθ) + i * (sin(kθ)cosθ + cos(kθ)sinθ)
三角関数の加法定理より
= cos((k+1)θ) + i * sin((k+1)θ)
これで，n = k + 1 の場合も証明できました。

(感想)
水の流れさんからのご指摘を受けて，前半と後半の問題の脈絡をつけるために，
問題１：，問題２：，問題３：で高階の導関数を考えた別解を追加しました。
また，問題７：で，i^i が実数になる，しかも一般には不定性があって，一意には決まらない！，
のには驚きました。
なお，問題８：がもう少しうまくできないかな，と思っています。