kadai78

平成２１年２月８日

[流れ星]

　　　　　第２２０回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：２月8日～３月１日

［行列Ａのｎ乗］

皆さん、入試問題に行列Ａのｎ乗を求める問題があります。まとめてみました。

＜水の流れ：「uchinyan」さんから指摘があり、問題４でＥを2次の正方行列から2次の単位行列に訂正します。ここにお詫び申し上げます。＞「2月8日午後5時記」

ＮＯ１「uchinyan」 2/08 14時54分受信更新3/1

第２２０回数学的な応募問題
［行列Ａのｎ乗］

テキストでは行列をうまく表現できず，また，Web では半角スペースが続くと文字がずれてしまうので，
見づらいですが，行列などを，
A = (a b)
@@@ (c d)
などと書くことにします。(そうしてもうまく表示されるかなぁ．．．)
また，E を単位行列，O を零行列，とします。

問題１：
A = (4 -3)
@@@ (2 -1)
x^n を x^2 - 3x + 2 で割った余りは１次式なので ax + b とし，商を q(x) とすると，
x^n = q(x) * (x^2 - 3x + 2) + ax + b = q(x) * (x - 1)(x - 2) + ax + b
x = 1 として，a + b = 1，x = 2 として，2a + b = 2^n，なので，a = 2^n - 1, b = 2 - 2^n となり，
x^n = q(x) * (x^2 - 3x + 2) + (2^n - 1)x + (2 - 2^n)
ここで，x -> A とすると，x^k -> A^k で, 定数項に E を補えば，そのまま行列の式になり，
A^n = q(A) * (A^2 - 3A + 2E) + (2^n - 1)A + (2 - 2^n)E
ここで，
A^2 - 3A + 2E
= (10 -9) - (12 -9) + (2 0)
@ ( 6 -5) - ( 6 -3) + (0 2)
= (0 0)
@ (0 0)
= O
なので，
A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)E
A^n = (4 * (2^n - 1) + (2 - 2^n) (-3) * (2^n - 1) + 0)
@@@@@ (2 * (2^n - 1) + 0 (-1) * (2^n - 1) + (2 - 2^n))
= (3 * 2^n - 2 3 - 3 * 2^n)
@ (2^(n+1) - 2 3 - 2^(n+1))

v vc問題２：
A = ( 1 2)
@@@ (-1 4)
(1)
AX = kX
(A - kE)X = O
ここで X not= O となるには，A - kE の行列式が 0，|A - kE| = 0，でなければなりません。
|A - kE| = | 1-k 2| = (1 - k)(4 - k) - (2)(-1) = k^2 - 5k + 6 = 0
@@@@@@@@@@ |-1 4-k|
k = 2, 3
そこで，α = 2，β = 3 です。
(2)
α = 2 に対しては (2)，β = 3 に対しては (1) なので，
@@@@@@@@@@@@@@@@@ (1)，@@@@@@@@@@@@@@@@@ (1)
P = (2 1)
@@@ (1 1)
です。そこで，
P^(-1) * A * P = (1 -1)( 1 2)(2 1) = (1 -1)(4 3) = (2 0)
@@@@@@@@@@@@@@@@ (-1 2)(-1 4)(1 1) @ (-1 2)(2 3) @ (0 3)
これより，
(P^(-1) * A * P)^n = (2^n 0)
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ (0 3^n)
一方で，
(P^(-1) * A * P)^n
= (P^(-1) * A * P)^(n-2) * (P^(-1) * A * P) * (P^(-1) * A * P)
= (P^(-1) * A * P)^(n-2) * (P^(-1) * A^2 * P)
= ...
= P^(-1) * A^n * P
なので，
P^(-1) * A^n * P = (2^n 0)
@@@@@@@@@@@@@@@@@@ (0 3^n)
A^n = P * (2^n 0) * P^(-1) = (2 1)(2^n 0)(1 -1)
@@@@@@@@@ (0 3^n) @@@@@@@@@@ (1 1)(0 3^n)(-1 2)
= (2 1)( 2^n -2^n )
@ (1 1)(-3^n 2*3^n)
= (2^(n+1)-3^n 2*3^n-2^(n+1))
@ ( 2^n-3^n 2*3^n-2^n )

問題３：
A = ( 1 2)
@@@ (-1 4)
この行列は，問題２：と同じです。
(1)
AX = kX
A^2 * X = A(AX) = A(kX) = k(AX) = k * kX = k^2 * X
A^3 * X = A(A^2 * X) = A(k^2 * X) = k^2 * (AX) = k^2 * kX = k^3 * X
...
A^n * X = A(A^(n-1) * X) = A(k^(k-1) * X) = k^(n-1) * (AX) = k^(n-1) * kX = k^n * X
(2)
問題２：の(1)と同じです。
そこで，α = 2，β = 3 です。
(3)
α = 2 に対しては (2)，β = 3 に対しては (1) なので，
@@@@@@@@@@@@@@@@@ (1)，@@@@@@@@@@@@@@@@@ (1)
A^n * (2) = 2^n * (2)
@@@@@ (1) @@@@@@@ (1)
A^n * (1) = 3^n * (1)
@@@@@ (1) @@@@@@@ (1)
です。ここで，
A^n = (x y) とおくと，
@@@@@ (z u)
2x + y = 2^(n+1)
2z + u = 2^n
x + y = 3^n
z + u = 3^n
これを解いて，
x = 2^(n+1) - 3^n
y = 2 * 3^n - 2^(n+1)
z = 2^n - 3^n
u = 2 * 3^n - 2^n
つまり，
A^n = (2^(n+1)-3^n 2*3^n-2^(n+1))
@@@@@ ( 2^n-3^n 2*3^n-2^n )
当然ですが，これは，問題２：の結果と一致します。

問題４：
A = ( 2 1)
@@@ (-2 5)
(1)
AX = kX
(A - kE)X = O
ここで X not= O となるには，A - kE の行列式が 0，|A - kE| = 0，でなければなりません。
|A - kE| = | 2-k 1| = (2 - k)(5 - k) - (1)(-2) = k^2 - 7k + 12 = 0
@@@@@@@@@@ |-2 5-k|
k = 3, 4
そこで，α = 3，β = 4 です。
(2)
A = 3P + 4Q
P + Q = E
より，
P = 4E - A
Q = A - 3E
ここで，問題文には「E は２次の正方行列」とありますが「２次の単位行列」の誤りでしょう。
そう思って解きます。すると，
P = (2 -1)
@@@ (2 -1)
Q = (-1 1)
@@@ (-2 2)
(3)
P^2 = (2*2+(-1)*2 2*(-1)+(-1)*(-1)) = (2 -1) = P
@@@@@ (2*2+(-1)*2 2*(-1)+(-1)*(-1)) @ (2 -1)
Q^2 = ((-1)*(-1)+1*(-2) (-1)*1+1*2) = (-1 1) = Q
@@@@@ ((-2)*(-1)+2*(-2) (-2)*1+2*2) @ (-2 2)
PQ = (2*(-1)+(-1)*(-2) 2*1+(-1)*2) = (0 0) = O
@@@@ (2*(-1)+(-1)*(-2) 2*1+(-1)*2) @ (0 0)
QP = ((-1)*2+1*2 (-1)*(-1)+1*(-1)) = (0 0) = O = PQ
@@@@ ((-2)*2+2*2 (-2)*(-1)+2*(-1)) @ (0 0)
(4)
PQ = QP より，A^n = (3P + 4Q)^n の計算では積の交換則がいえて，通常の二項定理が使え，
A^n = (3P + 4Q)^n
= ∑[k=0,n]{nCk * (3P)^k * (4Q)^(n-k)}
PQ = QP = O より，
= 3^n * P^n + 4^n * Q^n
P^2 = P, Q^2 = Q より，
= 3^n * P + 4^n * Q
= ( 2*3^n-4^n 4^n-3^n)
@ (2*3^n-2*4^n 2*4^n-3^n)
= ( 2*3^n-2^(2n) 2^(2n)-3^n)
@ (2*3^n-2^(2n+1) 2^(2n+1)-3^n)

(感想)
A^n の求め方のいい復習になりました。
なお，これらは大学で線形代数を学べば，
・問題１：は，ケーリー・ハミルトンの定理の応用。
・問題２：は，行列の対角化の応用。
・問題３：は，行列の対角化の幾何学的な解釈の応用。
・問題４：は，行列のスペクトル分解の応用。
と分かるわけですが，それらは，線形代数の教科書に譲っておきましょう。

ＮＯ２「新俳人澄朝」2/10 15時13分受信更新3/1

＜コメント：今回の問題は、入試問題よりの出題ということで、受験生の気持ちになって解いてみました。固有値・対角化・ケーリーハミルトンの定理など妙に懐かしかったです。ただ、どの問題も誘導がきつくて解答者の自由な発想は入り込む余地が無く、「解いた！」といった実感ではなく「解かされた・・・」でした。＞

ＮＯ３「kashiwagi」 2/16 22時22分受信更新3/1

＜コメント：今回の問題には驚かされました。小職が高校生の頃は行列など無く、大学1年の教養で初めてお目にかかり、色々な問題を解かされたことを思い出したからです。しかも、この様に色々な解き方で・・・・、やはり時代は着実に進歩しているのですね。＞

問題１：

問題２：

問題３

問題４

ＮＯ４「kasama」 2/27 13時34分受信更新3/1

＜コメント：今回は固有値に関する問題ですね。学生時代にやった線形代数を思い出しながら、取り組みました。できたと思いますので＞

問題１

xⁿをx²-3x+2で割ったときの商をQ(x)とすると、適当な定数a,bを用いて、

　xⁿ=(x²-3x+2)･Q(x)+ax+b

と表すことができます。x²-3x+2=0の解は1、2なので、それぞれ上式に代入して、

　a+b=1,2a+b=2ⁿ ⇒ a=2ⁿ-1,b=2-2ⁿ

よって、xⁿは、

　xⁿ=(x²-3x+2)･Q(x)+(2ⁿ-1)x+2-2ⁿ

と表すことができます。行列Aにも同等の演算は成り立ちますから、適当な行列Bを用いて、

　Aⁿ=(A²-3A+2E)･B+(2ⁿ-1)A+(2-2ⁿ)E

と表すことができます。ここで、行列AにCayley-Hamiltonの定理を適用すると、

　A²-3A+2E=0

ですから、Aⁿは、

　Aⁿ=(2ⁿ-1)A+(2-2ⁿ)E

3･2ⁿ-2		3-3･2ⁿ
2ⁿ⁺¹-2		3-2ⁿ⁺¹

となります。

問題２

(1)AX=kXを変形すると、

　AX=kX

⇒

1-k		2
-1		4-k

ここで、

1-k		2
-1		4-k

の逆行列が存在すれば、

となって不都合ですから、

　det

1-k		2
-1		4-k

=0⇒k=2,3⇒α=2,β=3

(2)y₁=1とすると、

　k(α)=2 ⇒

1-2		2
-1		4-2

x₁

y₁

⇒

x₁

y₁

　k(β)=3 ⇒

1-3		2
-1		4-3

x₁

y₁

⇒

x₁

y₁

よって、

2		1
1		1

⇒ P^-1AP=

2		0
0		3

となって、両辺をn乗すると、

　(P^-1AP)ⁿ=

2		0
0		3

ⁿ

⇒

P^-1AP･P^-1AP･･･P^-1AP=

2ⁿ		0
0		3ⁿ

⇒

Aⁿ=

2ⁿ⁺¹-3ⁿ		-2ⁿ⁺¹+2･3ⁿ
2ⁿ-3ⁿ		-2ⁿ+2･3ⁿ

となります。

問題３

(1)数学的帰納法で証明します。

　n=1の場合、AX=kXなので成り立ちます。

　n=mの場合、A^mX=k^mXが成り立つと仮定して、両辺の左からAを掛けて、

　　A^m+1X=A･k^mX=k^m･AX=k^m･kX=k^m+1X

　となり、n=m+1のときも成り立ちます。

　以上より、すべての自然数について成り立ちます。

(2)問題２(1)より、α=2,β=3です。

(3)問題２(2)より、

　Aⁿ

=2ⁿ

Aⁿ

=3ⁿ

だから、

　Aⁿ

2		1
1		1

2ⁿ⁺¹		3ⁿ
2ⁿ		3ⁿ

⇒

Aⁿ=

2ⁿ⁺¹-3ⁿ		-2ⁿ⁺¹+2･3ⁿ
2ⁿ-3ⁿ		-2ⁿ+2･3ⁿ

となります。

問題４

(1)Ak=kXを変形すると、

　Ak=kX

⇒

2-k		1
-2		5-k

となり、問題２(1)と同様にして、

　det

2-k		1
-2		5-k

=0⇒k=3,4⇒α=3,β=4

です。

(2)条件を満たす行列P、Qを

p₁₁		p₁₂
p₂₁		p₂₂

,Q=

q₁₁		q₁₂
q₂₁		q₂₂

とすると、A=αP+βQ,P+Q=Eだから、

2		1
-2		5

p₁₁		p₁₂
p₂₁		p₂₂

q₁₁		q₁₂
q₂₁		q₂₂

p₁₁		p₁₂
p₂₁		p₂₂

q₁₁		q₁₂
q₂₁		q₂₂

1		0
0		1

です。これを解いて、

2		-1
2		-1

,Q=

-1		1
-2		2

となります。

(3)それぞれ、単純に計算すると、

　P²=

2		-1
2		-1

2		-1
2		-1

2×2+(-1)×2		2×(-1)+(-1)×(-1)
2×2+(-1)×2		2×(-1)+(-1)×(-1)

2		-1
2		-1

　Q²=

-1		1
-2		2

-1		1
-2		2

(-1)×(-1)+1×(-2)		(-1)×1+1×2
(-2)×(-1)+2×(-2)		(-2)×1+2×2

-1		1
-2		2

　PQ=

-1		1
-2		2

2		-1
2		-1

2×(-1)+(-1)×(-2)		2×1+(-1)×2
2×(-1)+(-1)×(-2)		2×1+(-1)×2

0		0
0		0

　QP=

2		-1
2		-1

-1		1
-2		2

(-1)×2+1×2		(-1)×(-1)+1×(-1)
(-2)×2+2×2		(-2)×(-1)+2×(-1)

0		0
0		0

(4)A=αP+βQの両辺をn乗して、(3)の結果を使って変形すると、

　Aⁿ

(αP+βQ)ⁿ

_nC₀(αP)ⁿ(βQ)⁰_nC₁(αP)^n-1(βQ)¹+_nC₂(αP)^n-2(βQ)²+…+_nC_n-1(αP)¹(βQ)^n-1+_nC_n(αP)⁰(βQ)ⁿ

αⁿP+βⁿQ

3ⁿ

2		-1
2		-1

+4ⁿ

-1		1
-2		2

2･3ⁿ-2²ⁿ		2²ⁿ-3ⁿ
2･3ⁿ-2²ⁿ⁺¹		2²ⁿ⁺¹-3ⁿ

となります。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。