平成２１年３月２２日

[流れ星]

　　　　　第２２１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：３月１日〜３月２２日

［１０の倍数］

先日、生徒から受けた質問から次のような問題を考えました。

今、1から数えて順に15まで自然数がある。ここから重複を許さずｎ個の数を選び、

それらを全部掛け合わせて得られる数をＴ_ｎとする。ここで、Ｔ_ｎがｋの倍数となる個数を

Ｔ_ｎ（ｋ）と表すことにする。例えば、Ｔ_１（２）＝７、Ｔ_１（３）＝５、Ｔ_１（５）＝３

となります。それでは次の質問に答えてください。

問題１：Ｔ_２（２）、Ｔ_２（５）、Ｔ_２（１０）の値を求めよ。

問題２：Ｔ_３（２）、Ｔ_３（５）、Ｔ_３（１０）の値を求めよ。

問題３：Ｔ_４（２）、Ｔ_４（５）、Ｔ_４（１０）の値を求めよ。

＜「uchinyan」さんからの質問です。3月1日午後1時36分＞

「ここで、Ｔｎがｋの倍数となる個数をＴｎ（ｋ）と表すことにする。」
この「個数」とは，「選んだ n 個の数の組の個数」でしょうか？

それとも，「Tn の個数」でしょうか？
取り敢えず，「選んだ n 個の数の組の個数」と思って解きましたが，違うのか
もしれません。

＜水の流れ：誤解を招くような表現で申し訳ありません。「選んだ n 個の数の組の個数」の考えで作問しました。上の題意と捉えて応募を頂ければ幸いです。ここに修正させていただきます。＞

　　　　　　　　（3月1日午後7時記入）

NO1「uchinyan」 3/01 13時36分受信 更新3/22

第２２１回数学的な応募問題
［１０の倍数］
ごめんなさい。題意がよく分からないです。
「ここで、Ｔｎがｋの倍数となる個数をＴｎ（ｋ）と表すことにする。」
この「個数」とは，「選んだ n 個の数の組の個数」でしょうか？ それとも，「Tn の個数」でしょうか？
取り敢えず，「選んだ n 個の数の組の個数」と思って解きます。
「Tn の個数」の場合は難しそうな気がします。(考察)に少し示します。

問題１：
選んだ 2 個の数を a, b とし，ab を考えます。
なお，2 個選ぶ全体の場合の数は 15C2 = (15 * 14)/2 = 105 です。
(1) T2(2)
全体から，a, b ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
2 の倍数でない，奇数，は 8 個なので，
T2(2) = 105 - 8C2 = 108 - (8 * 7)/2 = 105 - 28 = 77
(2) T2(5)
全体から，a, b ともに 5 の倍数でない場合を引けばいいです。
5 の倍数でないのは 15 - 3 = 12 個なので，
T2(5) = 105 - 12C2 = 108 - (12 * 11)/2 = 105 - 66 = 39
(3) T2(10)
T2(5)から，a, b ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
ただし，重複しないように，2 の倍数でなくしかも，
a が 5 の倍数　かつ　b が 5 の倍数ではない　2 * (8 - 2) = 12
a, b が 5 の倍数　2C1 = 1
そこで，
T2(10) = 39 - (12 + 1) = 39 - 12 = 26

問題２：
選んだ 3 個の数を a, b, c とし，abc を考えます。
なお，3 個選ぶ全体の場合の数は 15C3 = (15 * 14 * 13)/6 = 455 です。
(1) T3(2)
全体から，a, b, c ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
2 の倍数でない，奇数，は 8 個なので，
T3(2) = 455 - 8C3 = 455 - (8 * 7 * 6)/6 = 455 - 56 = 399
(2) T3(5)
全体から，a, b, c ともに 5 の倍数でない場合を引けばいいです。
5 の倍数でないのは 15 - 3 = 12 個なので，
T3(5) = 455 - 12C3 = 455 - (12 * 11 * 10)/6 = 455 - 220 = 235
(3) T3(10)
T3(5)から，a, b, c ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
ただし，重複しないように，2 の倍数でなくしかも，
a が 5 の倍数　かつ　b, c が 5 の倍数ではない　2 * (8 - 2)C2 = 2 * 6C2 = 2 * (6 * 5)/2 = 30
a, b が 5 の倍数　かつ　c が 5 の倍数でなはい　2C2 * (8 - 2) = 1 * 6 = 6
a, b, c が 5 の倍数　ありえません
そこで，
T3(10) = 235 - (30 + 6) = 235 - 36 = 199

問題３：
選んだ 4 個の数を a, b, c, d とし，abcd を考えます。
なお，4 個選ぶ全体の場合の数は 15C4 = (15 * 14 * 13 * 12)/24 = 1365 です。
(1) T4(2)
全体から，a, b, c, d ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
2 の倍数でない，奇数，は 8 個なので，
T3(2) = 1365 - 8C4 = 1365 - (8 * 7 * 6 * 5)/24 = 1365 - 70 = 1295
(2) T4(5)
全体から，a, b, c, d ともに 5 の倍数でない場合を引けばいいです。
5 の倍数でないのは 15 - 3 = 12 個なので，
T4(5) = 1365 - 12C4 = 1365 - (12 * 11 * 10 * 9)/24 = 1365 - 495 = 870
(3) T4(10)
T4(5)から，a, b, c, d ともに 2 の倍数でない場合を引けばいいです。
ただし，重複しないように，2 の倍数でなくしかも，
a が 5 の倍数　かつ　b, c, d が 5 の倍数ではない　2 * (8 - 2)C3 = 2 * 6C3 = 2 * (6 * 5 * 4)/6 = 40
a, b が 5 の倍数　かつ　c, d が 5 の倍数でなはい　2C2 * (8 - 2)C2 = 1 * 6C2 = (6 * 5)/2 = 15
a, b, c が 5 の倍数　かつ　d が 5 の倍数でなはい　ありえません
a, b, c, d が 5 の倍数　ありえません
そこで，
T4(10) = 870 - (40 + 15) = 870 - 55 = 815

(考察)
最初に述べたように，「個数」を「選んだ n 個の数の組の個数」と思って解きましたが，
それとも，「Tn の個数」でしょうか？
しかしこの場合は，1 * 24 = 2 * 12 = 3 * 8 = 4 * 6 = 24 のような重複を除かなければならず，
全部を調べ上げるのはともかく，効率よく調べるのは難しそうな気がしています。
取り敢えず，プログラムで調べた結果を示しておきます。

T2(2) = 52
T2(5) = 27
T2(10) = 16

T3(2) = 190
T3(5) = 112
T3(10) = 84

T4(2) = 455
T4(5) = 294
T4(10) = 251
(感想)
題意が今一つ掴めませんでした。勘違いしている可能性があります。

NO2「新俳人澄朝」3/06 11時55分受信 更新3/22

NO3「kashiwagi」 3/09 20時39分受信 更新3/22

221回解答

問1.

�@2の倍数ということは偶数であれば良く、2数同士の積で奇数となるのは、奇数×奇数しかないので全ての組み合わせから奇数の組を引けば良い。

Ｔ2（2）＝15Ｃ2　–8Ｃ2　＝105-28　＝77

�A5の倍数は以下の様に表されるため、

・5×○（10、15以外）→12

・10×○（5、15以外）→12

・15×○（5、10以外）→12

・5×10

・5×15

・10×15

　　　　　　以上より39となり、Ｔ2（5）＝39

�B10の倍数は以下の様に表されるため、

・10×○（5、15以外）→12

・5×○（10を除く偶数）→6

・15×○（１０を除く偶数）→6

・5×10

・10×15

　　　　　　以上より26となり、Ｔ2（10）＝26

問2.

�@2の倍数ということは偶数であれば良く、3数同士の積で奇数となるのは、奇数×奇数×奇数しかないので全ての組み合わせから奇数の組を引けば良い。

Ｔ3（2）＝15Ｃ3　–8Ｃ3　＝455-56　＝399

�A5の倍数は以下の様に表されるため、

・5×○×△（10、15以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・10×○×△（5、15以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・15×○×△（5、10以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・5×10×○（15以外の数から選ぶ）→12

・5×15×○（10以外の数から選ぶ）→12

・10×15×○（5以外の数から選ぶ）→12

・5×10×15　　→1

　　　　　　以上より235となり、Ｔ3（5）＝235

�B10の倍数は以下の様に表されるため、

・10×○×△（5、15以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・5×○×△（2数の積が偶数であり10、15以外の数から選ぶ）→12Ｃ2　–6Ｃ2＝66-15＝51

・15×○×△（2数の積が偶数であり5、10以外の数から選ぶ）→上記と同様に51

・5×10×○（15以外の数から選ぶ）→12

・10×15×○（5以外の数から選ぶ）→12

・5×15×○（10以外の偶数から選ぶ）→6

・5×10×15　　→1

　　　　　　以上より199となり、Ｔ3（10）＝199

問3.

�@2の倍数ということは偶数であれば良く、4数同士の積で奇数となるのは、奇数×奇数×奇数×奇数しかないので全ての組み合わせから奇数の組を引けば良い。

Ｔ4（2）＝15Ｃ4　–8Ｃ4　＝35×39-35×2　＝35×37　＝1295

�A5の倍数は以下の様に表されるため、

・5×○×△×◇（10、15以外の数から選ぶ）→12×11×10/3×2＝220

・10×○×△×◇（5、15以外の数から選ぶ）→12×11×10/3×2＝220

・15×○×△×◇（5、10以外の数から選ぶ）→12×11×10/3×2＝220

・5×10×○×△（15以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・5×15×○×△（10以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・10×15×○×△（5以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・5×10×15　×○　→12

　　　　　　以上より870となり、Ｔ4（5）＝870

�B10の倍数は以下の様に表されるため、

・10×○×△×◇（5、15以外の数から選ぶ）→12×11×10/3×2＝220

・5×○×△×◇（3数の積が偶数であり10、15以外の数から選ぶ）→12Ｃ3　–6Ｃ3＝220-20＝200

・15×○×△×◇（3数の積が偶数であり5、10以外の数から選ぶ）→上記と同様に200

・5×10×○×△（15以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・10×15×○×△（5以外の数から選ぶ）→12×11/2＝66

・5×15×○×△（2数の積が偶数であり、10以外の数から選ぶ）→12Ｃ2　–6Ｃ2＝66-15＝51

・5×10×15　　→12

　　　　　　以上より815となり、Ｔ4（10）＝815　　　　

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。