平成２１年８月２３日

[流れ星]

　　　　　第２２８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月２６日〜８月２３日

［出口調査］

皆さん！衆議院が7月21日に解散し、8月30日に総選挙になります。そこで、マスメデアが一斉に行う予定の「出口調査」に関しての問題を考えました。

Ａ,Ｂの二人が立候補したある選挙区で、選挙当日投票者の中から無作為に1000人を選んで「出口調査」をしたところ、次のような結果になりました。このことから、投票者全体で立候補者Ａに投票した人の割合を信頼度９５％以上で求め、Ａが勝つか推定せよ。

結果１の場合　550人がＡに、450人がＢに投票した

結果２の場合　530人がＡに、470人がＢに投票した

また、考察として、1000人の「出口調査」の結果、信頼度９５％以上でＡが勝つと推定される最低の人数を考えてください。

NO1「uchinyan」 7/26 15時44分受信

「uchinyan」 7/26 16時53分受信

「uchinyan」 7/27 14時44分受信 更新8/23

第２２８回数学的な応募問題
［出口調査］

一人の有権者が，A に投票するとき 1，そうでないとき 0，の値をとる確率変数を X とします。
そして，有権者全体 N 人の母集団において，X の分布が，平均μ，標準偏差σの分布に従う，とします。
さらにこのとき，X の確率分布が，次のようになっているとします。
 X　｜1｜0｜
確率｜P｜Q｜　ただし，P + Q = 1
すると，N 人の母集団における X の平均μ，分散σ^2，標準偏差σ は，
E(X) = 1/N * Σ[i=1,N]{X(i)} としたときに，
E((X - E(X))^2)
= 1/N * (Σ[i=1,N]{(X(i) - E(X))^2})
= 1/N * (Σ[i=1,N]{(X(i))^2 - 2 * E(X) * X(i) + (E(X))^2})
= 1/N * Σ[i=1,N]{(X(i))^2} - 2 * E(X) * E(X) + (E(X))^2
= E(X^2) - (E(X))^2
に注意すると，
μ = E(X) = 1 * P + 0 * Q = P
σ^2 = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 = (1^2 * P + 0^2 * Q) - P^2 = P(1 - P) = PQ
σ = √(PQ)
となります。ここで，μ = P になっていることが重要です。
P は，X が 1 となる確率なので，これは，有権者全体が A に投票する割合を表しています。
そこで，今回の問題では，候補者は A，B の二人で当選者は一人だけなので，
μ = P > 0.5 となれば，A が当選することを示しています。
そこで，母集団から抽出した標本からμを推定できれば，A が当選するかどうかを判定できます。
ここで，統計学の知識を使います。

統計学において，中心極限定理という定理があって，
平均μ，標準偏差σの分布をする母集団から抽出した n 人の標本の平均 m は，
近似的に，平均μ，標準偏差σ/√(n)，の正規分布に従うことが知られています。
さらに，正規分布の性質より，95% の確率，信頼度，で，
μ - 1.96 * σ/√(n) <= m <= μ + 1.96 * σ/√(n)
となることが知られています。
以下では，これらのことは，証明は統計学の専門書に任せて，既知として使います。
最後の式より，
m - 1.96 * σ/√(n) <= μ <= m + 1.96 * σ/√(n)
がいえ，μ，つまり有権者全体が A に投票する割合 P，を推定できます。
しかし，今回の問題では母集団のσは分かっていないので，標本の標準偏差 s で代用することにします。
すると，
m - 1.96 * s/√(n) <= μ <= m + 1.96 * s/√(n)
になり，μを標本の値だけで推定できます。
そこで，n 人の標本における平均 m と標準偏差 s を求めてみます。

これは，標本が母集団の部分集合であることから，先ほどと同様にして，
一人の有権者が，A に投票するとき 1，そうでないとき 0，の値をとる確率変数を Y とすれば，
Y の確率分布は，次のようになっていると考えられます。
 Y　｜1｜0｜
確率｜p｜q｜　ただし，p + q = 1
すると，n 人の標本における Y の平均 m，標準偏差 s は，同じようにして，
m = p
s = √(pq)
となります。そこで，
p - 1.96 * √(pq/n) <= μ <= p + 1.96 * √(pq/n)
になります。

以上より，いよいよ本題に入ります。

まず，1000 人を抽出したので，n = 1000 です。

結果１の場合：550 人が A に，450 人が B に投票した
p = 550/1000 = 0.55, q = 450/1000 = 0.45 なので，
0.55 - 1.96 * √(0.55 * 0.45 * 1/1000) <= μ <= 0.55 + 1.96 * √(0.55 * 0.45 * 1/1000)
0.55 - 0.031 < 0.55 - 0.03083498013620245548154873330219... <= μ <= 0.55 + 0.031
0.519 < μ <= 0.581
A が当選するには μ > 0.5 であればよかったので，A は当選するといえます。

結果２の場合：530 人が A に，470 人が B に投票した
p = 530/1000 = 0.53, q = 470/1000 = 0.47 なので，
0.53 - 1.96 * √(0.53 * 0.47 * 1/1000) <= μ <= 0.53 + 1.96 * √(0.53 * 0.47 * 1/1000)
0.53 - 0.03093448819683299690068850228091... <= μ <= 0.53 + 0.03093448819683299690068850228091...
0.49906551180316700309931149771909... <= μ <= 0.56093448819683299690068850228...
A が当選するには μ > 0.5 であればいいのですが，
残念ながら，0.5 よりも大きいとは限らないので，A は当選するとはいえません。

考察
q = 1 - p なので，
p - 1.96 * √(p(1 - p)/n) <= μ <= p + 1.96 * √(p(1 - p)/n)
です。これが，確実に，0.5 < μ，となればいいので，
0.5 < p - 1.96 * √(p(1 - p)/n)
が必要です。これより，
1.96 * √(p(1 - p)/n) < p - 0.5
そこで，0.5 < p <= 1 の範囲で，
(1.96)^2 * p(1 - p)/n < (p - 0.5)^2
(1 + (1.96)^2/n) * p^2 - (1 + (1.96)^2/n) * p + (0.25) > 0
p^2 - p + (0.25)/(1 + (1.96)^2/n) > 0
p < (1 - √(1 - 1/(1 + (1.96)^2/n)))/2 or (1 + √(1 - 1/(1 + (1.96)^2/n)))/2 < p
ここで，0.5 < p <= 1 なので，
(1 - √(1 - 1/(1 + (1.96)^2/n)))/2 = 1/2 - (正の値) < 0.5
より，
(1 + √(1 - 1/(1 + (1.96)^2/n)))/2 < p <= 1
(1 + √(1 - 1/(1 + 3.8416/n)))/2 < p <= 1
n = 1000 では，
0.53093... < p <= 1
そこで，p = (A に投票する人の数)/1000 より，
95% の信頼度では，531 人以上が A に投票すればよいことになります。

(感想＋ちょっぴり追加の考察)
統計は，大学時代に実験結果の解析をして以来，使っていなかったので，あまり自信がありません。
記憶をたどりながら，Webでも少し調べて考えてみましたが，あっているかどうか．．．

特に，母集団の標準偏差を標本の標準偏差で代用する，というかなり荒いことを行っています。
Webで調べた限りでは，近似としてはそれでもよい，ようなことが書いてあったように思うのですが，
実際はどうなのでしょうか。
Webで調べた感じでは，標本の標準偏差 s に対して √(n/(n-1)) * s を使った方がいいような記述もありました。
これだと，関係する式は，
p - 1.96 * √(pq/(n - 1)) <= μ <= p + 1.96 * √(pq/(n - 1))
になります。
ただ，今回の問題に関しては，これで計算しても，有意な差は見られないように思われます。

なお，候補者や当選者の人数が増えても，同様にして，各人の投票総数を推定できるので，
それらを比較することで当選するかどうかを判定できそうです。
例えば今回の問題でも，μと 0.5 を比較するのではなくて，
p - 1.96 * √(pq/n) <= μA = P <= p + 1.96 * √(pq/n)
q - 1.96 * √(pq/n) <= μB = Q <= q + 1.96 * √(pq/n)
となるので，μA，μB をそれぞれ求めて比較して，μA > μB がいえるかどうかを確認してもできます。
この方法の方が，より一般的ですね。

実際の選挙では，もっと効率も精度もいい方法を使っているのでしょうが，
基本的な考え方を勉強できて大変ためになりました。ありがとうございます。

NO2「kashiwagi」 7/30 20時26分受信

「kashiwagi」 8/03 15時53分受信 更新8/23

228回解答

【結果1の場合】

　題意よりAおよびB候補の支持率を各々Pa、Pｂとし、次の仮説を設定する。

仮説　H０　：　P＝0.5　即ち引き分けとする。

仮説　H1　：　Pa＝0.55＞Pｂ

正規分布の標準偏差値を求めると、

・・・・・・�@

ところで、題意よりα＝0.05の両側検定であるから、正規分布表からC＝1.96となる。

即ち、ｚ＝3.162　＞　C＝1.96であるから当初の仮説H０　は棄却できるのでA候補が勝つ。

【結果2の場合】

　上記と全く同様な計算を行うと、ｚ＝1.897　＜　C＝1.96であるから当初の仮説H０　が成り立つのでＡ候補が勝つとは限らない。

以上より式�@のPを求めればよく、

　を解いて

P≧0.53099であるから、1000人のうち最低限531人のA候補への投票が必要である。