kadai78

平成２２年１月３日

[流れ星]

　　　　　第２３４回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：12月13日～1月3日

［確率は面積比（１）］

皆さん、場合の数が無数にある確率の問題を考えたことがありますか。

ここで、問題です。

ａ，ｂを　ａ＜ｂである任意に与えられた正の数とする。長さｂの線分上に勝手に2点をとるとき，それら２点間の距離がa以上である確率を求めよ。

NO1「uchinyan」 12/13 12時24分受信更新1/3

OB = b となるような線分 OB を考えます。
そして，OB 上に二点 P，Q を，OP = x，OQ = y，0 <= x <= y <= b となるようにとります。
すると，今考えるのは，PQ = y - x >= a > 0 となる場合です。
つまり，0 <= x <= y <= b において，y - x >= a > 0 となる場合，を考えればいいです。
これは，x,y 座標系で図示すると，
頂点が (0,0), (b,0), (b,b), (0,b) となる正方形の左上半分の三角形のうち，
y = x + a よりも上側の領域です。
これら領域における点の分布は一様と考えていいので，求める確率 p は，これら領域の面積比になります。
そこで，0 < a < b を考慮して，
p = ((b - a)^2/2)/(b^2/2) = (1 - a/b)^2
になります。

(考察)
もとになる領域を 0 <= x <= y <= b としましたが，0 <= x <= b, 0 <= y <= b でも構いません。
ただ，そのときは，対象になる領域が，|y - x| >= a > 0 となります。
|y - x| >= a　
<----->　((y - x >= 0) and (y - x >= a)) or ((y - x < 0) and (-(y - x) >= a))　
<----->　(y >= x + a) or (y <= x - a)
なので，こう考えると，
頂点が (0,0), (b,0), (b,b), (0,b) となる正方形のうち，
y = x + a よりも上側又は y = x - a よりも下側の領域です。
そこで，求める確率は，
p = ((b - a)^2/2 * 2)/(b^2) = (1 - a/b)^2
になります。
当然ですが，先ほどの結果と一致します。

なお，十進BASICのプログラムで確認してみました。
全体のスケールは確率に関係しないので b = 1 にしています。

RANDOMIZE
LET b = 1
LET n = 1000000
FOR a = 0 TO 1 STEP 0.01

LET c = 0
FOR i = 1 TO n
  LET x = RND
LET y = RND
   IF ABS(x - y) >= a THEN
   LET c = c + 1
   END IF
   NEXT i
   PRINT "a ="; a; "b ="; b
   PRINT "理論値"; (1 - a/b)^2
   PRINT "実験値"; c/n
NEXT a

END

a = 0 b = 1
理論値 1
実験値 1
a = .01 b = 1
理論値 .9801
実験値 .97994
a = .02 b = 1
理論値 .9604
実験値 .959954
a = .03 b = 1
理論値 .9409
実験値 .940893
a = .04 b = 1
理論値 .9216
実験値 .921686
a = .05 b = 1
理論値 .9025
実験値 .9023
．．．
a = .46 b = 1
理論値 .2916
実験値 .291652
a = .47 b = 1
理論値 .2809
実験値 .280481
a = .48 b = 1
理論値 .2704
実験値 .270639
a = .49 b = 1
理論値 .2601
実験値 .259495
a = .5 b = 1
理論値 .25
実験値 .249233
a = .51 b = 1
理論値 .2401
実験値 .239791
a = .52 b = 1
理論値 .2304
実験値 .229517
a = .53 b = 1
理論値 .2209
実験値 .220456
a = .54 b = 1
理論値 .2116
実験値 .211591
a = .55 b = 1
理論値 .2025
実験値 .202725
．．．
a = .96 b = 1
理論値 .0016
実験値 .001552
a = .97 b = 1
理論値 .0009
実験値 .00089
a = .98 b = 1
理論値 .0004
実験値 .000423
a = .99 b = 1
理論値 .0001
実験値 .000098
a = 1 b = 1
理論値 0
実験値 0

これを見ると，確かに，ほぼ一致しています。

(感想)
確率が面積比で表わされることがあることは，正規分布などのグラフでは常識といってもいいように思います。
しかし，このような問題として問われると，面食らうこともありますね。いい復習になりました。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/21 18時20分受信更新1/3

今回もチャレンジ～^^v
似た問題：直線を3分割したとき三角形のできる確率は？ってのをみたことがありま
す ^^
今回は...
b-a≧a → b≧2a なので...
a-b平面で考えると...
明らかに正方形の 1/4 の面積分が確率と考えられますよね？♪

急に寒さが増して来ました...ソバ粉の値段が上がってるそうです...^^;
佳い年をお迎えくださいませ～m(_ _)m～v

NO3「ぐーてん」 12/22 10時40分受信更新1/3

＜「ぐーてん」さんのコメントから＞

いつも拝見させていただいております。
大変お久しぶりではありますが、答案を投稿させていただきますので、よろしくお願いします。

最近、少し暇ができたので、ヤフー知恵袋の数学や理科の質問に回答などしたりしています。
たまに面白い質問があって、新たな数学の世界に出会うこともあります。
例えば、
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1433663824
四次元空間の最密充填について、私なりに考えてみました。
検索してもあまり的確なことが書かれているサイトが見当たらなかったので。
ちなみに、beetbertというのが私です。

今年も、面白い問題をたくさんありがとうございました。
来年もよろしくお願いします。良いお年を。