平成２２年１月２４日
[流れ星]
第２３５回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：1月3日～1月24日
［確率は面積比（2）］
皆さん、場合の数が無数にある確率の問題を考えたことがありますか。
ここで、問題です。
円周上に異なる３点Ａ，Ｂ，Ｃを選び、三角形ＡＢＣを作る。このとき、
（１）直角三角形となる確率を求めよ。
（２）鋭角三角形となる確率を求めよ。
（３）鈍角三角形となる確率を求めよ。
ヒント:円の中心が三角形の周上または内部、外部にあるときを考えてください。
もちろん、他の解法を考えても構いません。
NO1「uchinyan」 01/03 14時37分受信
「uchinyan」 01/04 13時54分受信
更新1/24
第２３５回数学的な応募問題
［確率は面積比（2）］
明けましておめでとうございます。今年も宜しくお願い致します。
さて，問題ですが．．．
円の中心を O とします。
A，B，C はこの円周上にありますが，重複しないように，
A を固定し，A，B，C の順番に反時計回りにある，としても一般性を失いません。
そこで，A を固定した状態で，A，B，C は一致しないように，まず，B をとり，次に，C をとる，と考えます。
すると，∠AOB = x，∠AOC = y として，0 < x < y < 2π です。
このとき，図形的性質から，
0 < x < π の場合
x < y < π の場合 △ABC は ∠ABC が鈍角の鈍角三角形
y = π の場合 △ABC は ∠ABC が直角の直角三角形
π < y < π + x の場合 △ABC は鋭角三角形
y = π + x の場合 △ABC は ∠BAC が直角の直角三角形
π + x < y < 2π の場合 △ABC は ∠BAC が鈍角の鈍角三角形
x = π の場合 △ABC は ∠ACB が直角の直角三角形
π < x < 2π の場合 △ABC は
∠ACB が鈍角の鈍角三角形
となります。0 < x < y < 2π と，A，B，C は一致しない，にも注意して，まとめると，
(1) △ABC が直角三角形の場合
((0 < x < π) and ((y = π) or (y = π + x))) or ((x = π) and (π < y <
2π))
(2) △ABC が鋭角三角形の場合
(0 < x < π) and (π < y < π + x)
(3) △ABC が鈍角三角形の場合
((0 < x < π) and ((x < y < π) or (π + x < y < 2π))) or (π
< x < y < 2π)
これを (x,y) 座標平面で表します。
B，C の分布は円の円周上一様と考えられるので，x，y の分布も一様で，
それぞれの場合の確率は，それぞれの (x,y) の領域の面積に比例すると考えられます。
そこで，全体が 0 < x < y < 2π であること，点，線分の面積は 0 であること，に注意すると，
(1) △ABC が直角三角形の場合
(0 + 0 + 0)/(2π * 2π * 1/2) = 0
(2) △ABC が鋭角三角形の場合
(π * π * 1/2)/(2π * 2π * 1/2) = 1/4
(3) △ABC が鈍角三角形の場合
(π * π * 1/2 * 3)/(2π * 2π * 1/2) = 3/4
になります。
(別解1)
先ほどの解法で，A は固定するものの，B，C は円周上を自由に動く，と考えることもできます。
ただしこの場合は，∠AOB = x，∠AOC = y として，x <---> y となる場合も含めることになるので，
0 < x < 2π，0 < y < 2π，x not= y で，各々の三角形の可能な領域も，x <---> y の場合が含まれます。
しかし，確率では，分母になる全体の面積が２倍，分子になるそれぞれの領域の面積も２倍，
になるだけなので，打ち消しあって，同じ結果を与えます。
(別解2)
最初の解法を，ちょっと見直しました。こちらの方が若干考えやすい，と思います。
A，B，C の設定は同じにして，∠AOB = x，∠BOC = y とすると，∠COA = 2π - x - y で，
0 < x < 2π，0 < y < 2π，0 < x + y < 2π です。
この条件の下で，図形的性質から，明らかに，
(1) △ABC が直角三角形の場合
(x = π) or (y = π) or (x + y = π)
(2) △ABC が鋭角三角形の場合
(0 < x < π) and (0 < y < π) and (π < x + y < 2π)
(3) △ABC が鈍角三角形の場合
(π < x < 2π) or (π < y < 2π) or (0 < x + y < π)
これらを (x,y) 座標平面で表します。
すると，同様に，それぞれの確率は，それぞれの領域の面積に比例すると考えられ，
(1) △ABC が直角三角形の場合
(0 + 0 + 0)/(2π * 2π * 1/2) = 0
(2) △ABC が鋭角三角形の場合
(π * π * 1/2)/(2π * 2π * 1/2) = 1/4
(3) △ABC が鈍角三角形の場合
(π * π * 1/2 * 3)/(2π * 2π * 1/2) = 3/4
になります。
(別解3)
(別解1)と同じ設定において，つまり，A は固定するものの，B，C は円周上を自由に動く，とすると，
∠AOB が x ～ x + dx の間にある確率は dx/2π，∠AOC が y ～ y + dy の間にある確率は dy/2π，
と考えられます。
そして，それぞれの三角形の満たす範囲は，(別解1)と同じになることより，
dx -> 0，dy -> 0 の極限を考えることで，
次のように，積分などを使って，直接に，確率を求めることもできます。
(1) △ABC が直角三角形の場合
x，y のいずれかの積分範囲が 0 なので 0
(2) △ABC が鋭角三角形の場合
∫[x=0,π]{∫[y=π,π+x]{dy/2π}dx/2π} + (x <---> y としたもの)
= ∫[x=0,π]{∫[y=π,π+x]{dy/2π}dx/2π} * 2 <----- y - π -> y と置換
= ∫[x=0,π]{∫[y=0,x]{dy/2π}dx/2π} * 2
= ∫[x=0,π]{2x/(2π)^2}dx
= [x^2/(2π)^2][x=0,π]
= 1/4
(3) △ABC が鈍角三角形の場合
((0 < x < π) and ((x < y < π) or (π + x < y < 2π))) or (π
< x < y < 2π)
∫[x=0,π]{∫[y=x,π]{dy/2π}dx/2π} + (x <---> y としたもの)
+ ∫[x=0,π]{∫[y=π+x,2π]{dy/2π}dx/2π} + (x <---> y としたもの)
+ ∫[x=π,2π]{∫[y=x,2π]{dy/2π}dx/2π} + (x <---> y としたもの)
= ∫[x=0,π]{∫[y=x,π]{dy/2π}dx/2π} * 2
+ ∫[x=0,π]{∫[y=π+x,2π]{dy/2π}dx/2π} * 2
+ ∫[x=π,2π]{∫[y=x,2π]{dy/2π}dx/2π} * 2 <----- x - π -> x と置換
= ∫[x=0,π]{∫[y=x,π]{dy/2π}dx/2π} * 2
+ ∫[x=0,π]{∫[y=π+x,2π]{dy/2π}dx/2π} * 4 <----- y - π -> y と置換
= ∫[x=0,π]{∫[y=x,π]{dy/2π}dx/2π} * 6 <----- π - y -> y と置換
= ∫[x=0,π]{∫[y=0,π-x]{dy/2π}dx/2π} * 6 <----- π - x -> x と置換
= ∫[x=0,π]{∫[y=0,x]{dy/2π}dx/2π} * 2 * 3 <----- (2)の計算を利用
= 3/4
と，求めることもできます。
なお，(3)は，(1)と(2)より，1 - 0 - 1/4 = 3/4 としてもいいですね。
(考察)
この問題は，「第２０４回数学的な応募問題［正ｎ角形の３頂点］」の問題４：の結果と一致しています。
第２０４回では，正ｎ角形を基に考えていますが，
n -> ∞ では，正ｎ角形の頂点はその外接円の円周上に一様に分布するので，
結果が一致するのは，自然でもっともなこと，と思われます。
第２０４回の(感想)でも少し述べましたが，
・直角三角形が存在するにも関わらず，確率は 0。
・鈍角三角形の確率が意外と多く，鋭角三角形の確率の３倍もある。
のには，ちょっと驚きです。
(感想)
問題を見たときに，正ｎ角形の極限で計算したことあるよな，と思い，第２０４回を思い出しました。
最初は，設定を間違えて重複しており，全体が 1 を超える変な値になってしまったのですが，
第２０４回のおかげで，軌道修正できました。
今年も宜しくお願い致します。
NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 01/04 22時41分受信 更新1/24
回答
3点のうちの1点を固定して考えてもよい。
次にもう一点を取るとき、最初の点から時計回りに180°まで移動させる。
それらの点と円の中心を通る直線を引くとき、それらの点と反対側のそれらの直線と
の間に区切られた円周上に3番目の点があるときのみ鋭角三角形になる。
つまり、0～半円周の領域に範囲は広がってゆく。
このとき、それ以外の領域、つまり、全円周～半円周の領域に3番目の点が存在する
場合が、鈍角三角形になっている。円周の長さ(中心角 x)とその円周でできる扇方の
面積(y)は1：1対応しているので...
0～半円周→ y=x
全円周～半円周→ y=2-x
0≦x≦1(πでもいいけど...)
面積比は...
鋭角三角形：鈍角三角形＝1 : 3
直角三角形は...1点を決めたとき、もう1点は or 3番目の点がどちらかの反対側の点
のときしかなく...これでは...扇方という面積にはならないので...0
けっきょく...全体の確率1は...鋭角＆鈍角三角形だけで考えればいいので...
(1)直角三角形になる確率＝０
(2)鋭角三角形になる確率＝1/(1+3)=1/4
(3)鈍角三角形になる確率＝3/(1+3)=3/4
になるのかな・・・♪？
NO3「kashiwagi」 01/07 19時20分受信 更新1/24
235回
今△ABCを考え、∠A＝α、∠B＝βとする。
この三角形が鋭角三角形であるためには、
①0°＜α＜90°、0°＜β＜90°
②残りの角度も90°より小さくなければならないので α+β＞90°
③三角形の角度という条件から、α+β＜180°
以上の3条件を座標系（α、β）に図示すると以下の様になる。
即ち、茶色に塗り潰した部分が鋭角三角形の存在する確率である。これは図から明らかに1/4である。又、残りの3/4が鈍角三角形の存在する確率である。尚、直角三角形の存在は上記三角形の三辺上であり、これは面積を持たないので確率は0となる。
以上を整理すると、
（1）直角三角形のできる確率は0
（2）鋭角三角形の出来る確率は1/4
（3）鈍角三角形の出来る確率は3/4
NO4「再出発」 01/15 22時57分受信
「再出発」 01/17 03時46分受信 更新1/24
（解）
半径１の円周上に１点Ａをとります。
そこから時計回りに２点Ｂ、Ｃをとります。
弧ＡＢの長さをθ（Ｂの縦座標）としたときの点Ｃの存在範囲の割合で、
△ＡＢＣがそれぞれの形状になる確率を考えます。
（ⅰ） ０＜θ＜πのとき、弧ＡＣの長さＬ（Ｃの縦座標）が
θ＜Ｌ＜πのとき鈍角三角形
Ｌ＝πのとき直角三角形
π＜Ｌ＜θ＋πのとき鋭角三角形
Ｌ＝θ＋πのとき直角三角形
θ＋π＜Ｌ＜２πのとき鈍角三角形
（ⅱ） θ＝πのとき、π＜Ｌ＜２πで直角三角形
（ⅲ） π＜θ＜２πのとき、θ＜Ｌ＜２πで鈍角三角形
添付の図＜prob2.png＞は円周を点Ａで切り、直線に伸ばした時の
点Ｂの位置を横軸に、点Ｃの位置を縦軸にとってできた正方形。
ただし正方形の境界線は含みません。
ピンク色の部分が鈍角三角形になる割合。
黄色の部分が鋭角三角形になる割合。
黄色とピンク色の境界線（紺色）の部分が直角三角形になる割合。
それぞれの確率を面積比で考えて、
直角三角形になる割合は面積としては０なので
（１）の答、0
（２）の答、0.25
（３）の答、0.75
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これはいい線いっていると思います。
夜更かしの自信作なんですが・・・・・・
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
