平成２２年５月９日

[流れ星]

　　　　　第２４０回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：４月18日〜５月９日

［算額の問題（１）］

森北出版の深川英俊・ダンソコロフスキー共著「日本の数学　何題解けますか」を見ていると、算額らしい興味あるものがあります。次の問題を考えてください。

半径がＲの円Ｏに弦ＡＤをとり、図のように円Ｏの円周上にＡ，Ｂ，Ｎ、Ｃ，Ｄをこの順にとる。ただし、Ｎは弧ＡＤの中点である。さらに、ＡＤの中点Ｍに対して、線分ＭＢ，ＭＣによってこの円弧を３個の部分に分ける。次に、それぞれの部分に半径ｒの３つの内接円Ｏ_１、Ｏ_２、Ｏ_３を作る。ここで、ＡＤ＝a、ＭＮ＝bとしたとき、ｒをa、ｂで表せ。

ＮＯ１「uchinyan」 04/19 15時17分受信

「uchinyan」 04/21 14時43分受信 更新5/9

第２４０回数学的な応募問題
［算額の問題（１）］

MAB 部分に 円O1 が，MBC 部分に 円O2 が，MCD 部分に 円O3 があるとします。
まず，三つの円の半径はすべて同じなので，図形が OMN に関して対称になります。
そこで，円O1 又は 円O3 のどちらかは考えなくて十分です。
ここで，円O の中心を O(0,0)，O を通って AD に平行に x 軸，OMN を y 軸，として，
座標を導入します。
すると，O(0,0)，M(0,R - b)，N(0,R)，D(a/2,0)，円O2 の中心 O2(0,R - r) です。
次に，円O3 の中心 O3 ですが，まず x 座標は R - b + r = R + r - b です。
円O3 は 円O と接するので，その接点を T，接線を L とすると，OT も O3T も T において L と垂直ですが，
T において L と垂直な直線は一本しかないので，O，O3，T は同一直線上にあります。
そこで，OO3 = OT - O3T = R - r になります。これより，y 座標は，
sqrt((R - r)^2 - (R + r - b)^2) = sqrt((2R - b)(b - 2r))
になり，O3(sqrt((2R - b)(b - 2r)),R + r - b) です。
一方で，MC ですが，円O2 が MC に接することより，
sin(π/2 - ∠CMD) = r/(b - r)
cos(∠CMD) = r/(b - r)
tan(∠CMD) = sqrt((1/cos(∠CMD))^2 - 1) = sqrt(((b - r)/r)^2 - 1) = sqrt(b(b - 2r))/r
なので，MC は，
y = sqrt(b(b - 2r))/r * x + (R - b)
になります。
ここで，O2，O3 から MC に下ろした垂線の足を H，I とし，O2O3 と MC の交点を E とすると，
O2H = r = O3I，∠O2EH = ∠O3EI，∠O2HE = π/2 = ∠O3EH より，△O2EH ≡ △O3EI となり，
O2E = O3E で，E は O2O3 の中点になります。
そこで，E(sqrt((2R - b)(b - 2r))/2,(2R - b)/2) です。
この E は MC 上にあるので，
(2R - b)/2 = sqrt(b(b - 2r))/r * sqrt((2R - b)(b - 2r))/2 + (R - b)
(2R - b)r = sqrt(b(2R - b)) * (b - 2r) + 2(R - b)r
ここで，△OMD において，
(a/2)^2 + (R - b)^2 = R^2
なので，
R = (a^2/4 + b^2)/2b
R - b = (a^2/4 - b^2)/2b
2R - b = a^2/4b
b(2R - b) = a^2/4
などより，
a^2/4b * r = a/2 * (b - 2r) + (a^2/4 - b^2)/b * r
a^2 * r = 2ab(b - 2r) + (a^2 - 4b^2) * r
4b(a + b)r = 2ab^2
r = ab/2(a + b)
になります。

(別解)
上記の座標による解法を見直してみると，実質，三平方の定理と相似しか使っていないことに気付きます。
それに注目した初等幾何による解法です。そのままを翻訳もできますが，少し変えました。
なお，説明の都合上，同じ文字が出てきますが，別の点を意味しているのでご注意ください。

MAB 部分に 円O1 が，MBC 部分に 円O2 が，MCD 部分に 円O3 があるとします。
まず，三つの円の半径はすべて同じなので，図形が OMN に関して対称になります。
そこで，円O1 又は 円O3 のどちらかは考えなくて十分です。今回は，円O1 と 円O2 で考えます。
円O2 の中心 O2 から MB に垂線を下ろしその足を H とします。
さらに，円O1 の中心 O1 から AM，NM に垂線を下ろしその足を I，J とします。
さて，∠BMA + ∠O2MH = ∠BMA + ∠NMB = ∠NMA = 90°なので，∠MO2H =∠BMA です。
また，MO1 は ∠BMA の二等分線なので，∠O1MI = ∠BMA/2 です。
そこで，∠MO2H の二等分線と MB の交点を E とすると，∠EO2H = ∠MO2H/2 = ∠BMA/2 = ∠O1MIです。
これより，△O1MI ∽ △EO2H がいえます。そこで，O1I：IM = EH：HO2 がいえます。
ここで，まず，O1I = r，HO2 = r です。
そして，JO = JM + MO = O1I + ON - MN = r + R - b = R + r - b です。
さらに，円O1 は 円O と接し，その接点を T，接線を L とすると，OT も O1T も T において L と垂直ですが，
T において L と垂直な直線は一本しかないので，O，O1，T は同一直線上にあります。
そこで，OO1 = OT - O1T = R - r になります。
これより，IM = O1J は，△OJO1 に三平方の定理を使って，
IM = O1J = sqrt((OO1)^2 - JO^2) = sqrt((R - r)^2 - (R + r - b)^2) = sqrt((2R - b)(b - 2r))
になります。
一方で，O2M = MN - O2N = b - r なので，△MO2H に三平方の定理を使って，
HM = sqrt(O2M^2 - O2H^2) = sqrt((b - r)^2 - r^2) = sqrt(b(b - 2r))
になります。そこで，O2E は ∠MO2H の二等分線だったので，
HE：EM = O2H：O2M
EH = HE = HM * O2H/(O2H + O2M) = sqrt(b(b - 2r)) * r/b
です。これより，
O1I：IM = EH：HO2
r：sqrt((2R - b)(b - 2r)) = (sqrt(b(b - 2r)) * r/b)：r = sqrt(b(b - 2r))：b
br = sqrt((2R - b)(b - 2r)) * sqrt(b(b - 2r))
br = sqrt(b(2R - b)) * (b - 2r)
ここで，△OMA において，
(a/2)^2 + (R - b)^2 = R^2
なので，
R = (a^2/4 + b^2)/2b
2R - b = a^2/4b
b(2R - b) = a^2/4
より，
br = a/2 * (b - 2r)
(a + b)r = ab/2
r = ab/2(a + b)
になります。

(感想)
最初，三角関数を使って容易に式は立てられたのですが，なかなかすごい式になって，
うまく解けませんでした。
ダメもとで初等幾何も絡めて座標でやってみたら，思いのほか簡単，r の一次方程式！，
になって解けてしまいました。結果もきれいですね。
また，少し見直して，初等幾何だけの解法も(別解)として示せました。
算額絡みの問題は，解き方の判断を誤ると大変になるものが結構ありますね。
しかし，現在ではいろいろな技が使えますが，和算ではどうしたのでしょうかね。

ＮＯ２「再出発」 　 05/05 11時45分受信

「再出発」 　 05/08 15時01分受信 更新5/9

弦と弧に挟まれた円(答)

半径 R の円Ｏに弦 AD をとり、劣弧 AD 上に A, B, N, C, D をこの順にとる。
ただし、N は弧 AD の中点である。
AD の中点 M に対して、線分 MB, MC によってこの円弧を３個の部分に分けると
それぞれの部分に半径ｒの３つの小圓Ｏ₁、Ｏ₂、Ｏ₃が内接する。
ここで、MD = c, MN = b として、r を b, c で表してみます。

解答

θ + φ + φ = π/2 なので

--

初めは

sinθ= cos2φ

　　= 1 - 2sin²φ

で計算していったのですが、最後に結果が二通り出てしまい

勿論片方は捨てるべきものでした。

おそらく

θ = π/2 + 2φ

であっても初めの関係式が成り立ってしまうことが原因だと考えています

なので、方針変更・・・・・・

--

tanθ= cot2φ

　　= (1 - tan²φ)/{2tanφ}

∴　2tanθtanφ = 1 - tan²φ・・・�@

また

MH₁²=(b - r)² - r²

　= b(b - 2r)　　　　・・・・・・�A

MH₃²=(R - r)² - (R - b + r)²

　= (2R - b)(b - 2r)　　・・・・�B

ところで

c² = R² - (R - b)²

　= b(2R - b)

∴ 2R - b = c²/b　　・・・・・・�C

�@の両辺を２乗したものに�A�Bなど代入して

r^2 ･ 4r^2	=	{1 - r^2/(2R - b)(b - 2r)}^2
b(b - 2r)･(2R - b)(b - 2r)
�Cなど使い、荒っぽく２乗を外したりして
2r^2	= 1 -	br^2
c(b - 2r)		c^2(b - 2r)

∴　2cr² = c²b - 2c²r - br²

∴　(2c + b)r² + 2c²r - c²b = 0

∴　{(2c + b)r - cb}(r + c) = 0

∴　r = cb/(2c + b)

ここで AD=2MD だから

a = 2c

とすれば

∴　2r = ab/(a + b)

∴　r = ab/2(a + b)・・・・・・（答）

ＮＯ３「ＭＶＨ」 　 05/08 13時24分受信 更新5/9

寄せられた解答です。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。