kadai78

平成２２年５月３０日

[流れ星]

　　　　　第２４１回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：５月9日～５月30日

［四角形の面積］

過去の大学入試問題を見ていたら、次のような問題を見つけましたから紹介します。

４辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄである凸四角形ＡＢＣＤの面積の最大値を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」 05/09 13時37分受信更新5/30

第２４１回数学的な応募問題
［四角形の面積］

AB = a，BC = b，CD = c，DA = d，∠ABC = x，∠CDA = y，0 < x, y < π，とします。
すると，余弦定理より，
AD^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(x) = c^2 + d^2 - 2cd * cos(y)
また，□ABCD の面積を S とすると，
S = ab/2 * sin(x) + cd/2 * sin(y) = (ab * sin(x) + cd * sin(y))/2
そこで，AD に関する条件式のもとで S を最大にすることになります。

(解法1)
AD に関する条件式は，a, b, c, d は定数，x, y は変数，なので，x, y の関係を与える式です。
そこで，y を x の関数 y = y(x) と見ることができます。
すると，S は，見かけ上は x, y の関数ですが，実は x だけの関数 S = S(x) となります。
そこで，S を x で微分すると，
dS/dx = (ab * cos(x) + cd * cos(y) * dy/dx)/2
一方，AD に関する条件式を x で微分すると，
2ab * sin(x) = 2cd * sin(y) * dy/dx
0 < y < π より，
dy/dx = ab/cd * sin(x)/sin(y)
そこで，
dS/dx = (ab * cos(x) + cd * cos(y) * (ab/cd * sin(x)/sin(y)))/2
dS/dx = ab/(2 * sin(y)) * (cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y))
dS/dx = ab/(2 * sin(y)) * sin(x + y)
これより，0 < x, y < π より，sin(y) > 0，0 < x + y < 2π で，
0 < x + y < π のとき，dS/dx > 0，S は単調増加
x + y = π のとき，dS/dx = 0，S は極大かつ最大
π < x + y < 2π のとき，dS/dx < 0，S は単調減少
そこで，S の最大は，x + y = π のとき，つまり □ABCD が円に内接するとき，です。
S の最大値 Smax は，y = π - x より，
Smax = (ab + cd)/2 * sin(x)
一方，AD に関する条件式より，
a^2 + b^2 - 2ab * cos(x) = c^2 + d^2 + 2cd * cos(x)
cos(x) = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2(ab + cd))
そこで，
(Smax)^2 = ((ab + cd)/2)^2 * (sin(x))^2 = ((ab + cd)/2)^2 * (1 - (cos(x))^2)
= ((ab + cd)/2)^2 * (1 - ((a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2(ab + cd)))^2)
= ((2(ab + cd))^2 - ((a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2)/2^4
= (2(ab + cd) + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2))(2(ab + cd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2))/2^4
= ((a + b)^2 - (c - d)^2)(- (a - b)^2 + (c + d)^2)/2^4
= (a + b + c - d)(a + b - c + d)(a - b + c + d)(- a + b + c + d)/2^4
ここで，s = (a + b + c + d)/2 とおくと，
= (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
そこで，
Smax = sqrt((s - a)(s - b)(s - c)(s - d))
になります。

(解法2)
微分を使わない解法です。
AD に関する条件式より，
a^2 + b^2 - 2ab * cos(x) = c^2 + d^2 - 2cd * cos(y)
a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2(ab * cos(x) - cd * cos(y))
(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = (2(ab * cos(x) - cd * cos(y)))^2
(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 2^2 * ((ab * cos(x))^2 - 2abcd * cos(x)cos(y) + (cd * cos(y))^2)
一方，面積の式より，
2S = ab * sin(x) + cd * sin(y)
(2S)^2 = (ab * sin(x) + cd * sin(y))^2
2^2 * S^2 = (ab * sin(x))^2 + 2abcd * sin(x)sin(y) + (cd * sin(y))^2
2^4 * S^2 = 2^2 * ((ab * sin(x))^2 + 2abcd * sin(x)sin(y) + (cd * sin(y))^2)
そこで，先ほどの式と両辺を足し合わせて，
2^4 * S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2
　= 2^2 * ((ab)^2 - 2abcd * (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + (cd)^2)
2^4 * S^2 + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2 = 2^2 * ((ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd * cos(x + y))
2^4 * S^2 = 2^2 * ((ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd * cos(x + y)) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2
ここで，0 < x, y < π より 0 < x + y < 2π で，
x + y = π のとき，つまり □ABCD が円に内接するとき，cos(x + y) は最小 -1，S は最大
となります。このとき，S の最大値 Smax は，
2^4 * (Smax)^2
= 2^2 * ((ab)^2 + (cd)^2 + 2abcd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2
= (2(ab + cd))^2 - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)^2
= (2(ab + cd) + (a^2 + b^2 - c^2 - d^2))(2(ab + cd) - (a^2 + b^2 - c^2 - d^2))
= ((a + b)^2 - (c - d)^2)(- (a - b)^2 + (c + d)^2)
= (a + b + c - d)(a + b - c + d)(a - b + c + d)(- a + b + c + d)
ここで，s = (a + b + c + d)/2 とおくと，
= 2^4 * (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
そこで，
Smax = sqrt((s - a)(s - b)(s - c)(s - d))
になります。

(考察)
(解法2)の計算よりほとんど明らかですが，円に内接しない一般の場合には，
S = sqrt((s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd * (1 + cos(x + y))/2)
倍角の公式
cos(x + y) = 2 * (cos((x + y)/2))^2 - 1
を使えば，
S = sqrt((s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd * (cos((x + y)/2))^2)
とも書けますね。
なお，Smax の式，円に内接する四角形の面積，は，ブラーマグプタの公式，と言うそうです。
このとき，d = 0 とすれば，A と D は一致して □ABCD は △ABC になり，
S = sqrt(s(s - a)(s - b)(s - c)
となって，ヘロンの公式になります。
△ABC には必ず外接円が存在するので，この結果は妥当と考えられます。

(感想)
実はこの問題は以前に解いたことがありました。
それを思い出しながら解きました。

ＮＯ２「再出発」　 05/17 21時59分受信更新5/30

凸四辺形の最大面積(答)

４辺の長さがそれぞれ a, b, c, d である凸四辺形の面積の最大値を求めて下さい。

解答（大まかな流れ）

∠Ａ=θ、∠Ｃ=φ、□ABCDの面積の２倍を S とします。

S = ad * sinθ + bc * sinφ

∴　dS/dθ= ad * cosθ+ bc * cosφ * (dφ/dθ)

一方

BD² = a² + d² - 2ad * cosθ= b² + c² - 2bc * cosφ

θで微分して

2ad * sinθ= 2bc * sinφ * (dφ/dθ)

∴　bc * dφ/dθ=ad * (sinθ/sinφ)

∴　dS/dθ= ad * cosθ+ ad * cosφ * (sinθ/sinφ)

　　　　　= ad * cosθ+ ad * (sinθ/tanφ)

　　　　　= ad * {cosθ+ (sinθ/tanφ)}

cosθ + (sinθ/tanφ) = 0 より

tanφ = -tanθ

∴　φ = π - θ

また、θ = π - φ の前後で dS/dθの符号が正から負に変化するので

□ABCDが円に内接するときに面積が最大となります。

なので「ブラーマグプタの公式」により

s = (a + b + c + d)/2 とおくと

S = √(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)・・・・・・（答）

＜辺長が与えられた四辺形を円に内接させることができることの大雑把な説明＞

３点 A,B,C を通る円を描きます。

今から４点 A,B,C,D は蝶番または関節のように自由に動くと考えてもらいます。

さて、点 D の状態は次の三つのうちのいずれかになります。

①　円周上にある

②　円の内部にある

③　円の外部にある

①の場合はそのままで円に内接しています。

②、③の場合は点 D において四辺形を切り開き、端点 D₁, D₂ を円周上に置くか、

置けなければ置けるまで円を拡大してから置く。

その後、円を縮小または拡大すればいずれ二つの端点 D₁, D₂ は合体し、辺長の与えられた四辺形が円に内接する。

＜dS/dθ= ad * { cosθ + (sinθ/tanφ) } の値が θ = π - φ の前後で正から負に変化する事の簡単な説明＞

(ⅰ) 0 < φ < π/2 のとき

　　π/2 < θ < π だから、sinθ/tanφも cosθ も減少

(ⅱ) φ = π/2 のとき

　　dS/dθ= ad * { cosθ + cosφ * (sinθ/sinφ)}

　　　　　= ad * cosθ

　より明らか。

(ⅲ) π/2 < φ < π のとき

　　0 < θ < π/2 だから、tanφ < 0 , sinθは正で増加なので、sinθ/tanφも cosθ も減少