平成２２年５月３０日

[流れ星]

　　　　　第２４２回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：５月30日〜６月20日

［完全数］

皆さん、６，２８，４９６，８１２８，次が33550336である数字が完全数である

とはご存知でしょう。完全数とは自分自身を除いた他のすべての正の約数の和がその数に一致している自然数をいいます。ここで、問題です。

問題１：２^ｎ−１が素数ならば、２^ｎ−１（２^ｎ−１）は完全数であることを証明せよ。

問題２：偶数の完全数はすべて、２^ｎ−１（２^ｎ−１）の形にかけることを証明せよ。

　　　　このとき、ｎおよび２^ｎ−１は素数である。

問題３：完全数Ｎのすべての正の約数について、その逆数をとり合計すると和が２になることを証明せよ。

問題４：ｐとｑが、異なる奇素数であるとき、積ｐｑは完全数でないことを証明せよ。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。