平成22年6月20日
[流れ星]
第243回数学的な応募問題
<解答募集期間:6月20日〜7月11日
[包絡線]
大学入試問題を見ていると、次のような問題が出ていることがあります。紹介します。
NO1「uchinyan」 06/20 17時42分受信
「uchinyan」 06/20 17時50分受信
「uchinyan」 06/21 11時32分受信
更新7/11
図をうまく描くソフトを持っていないので,領域を表す式までで勘弁してください (^^;
<水の流れ:構いませんから、気にしないでください。>
問題1:
y =
2tx - t^2, 0 <= t <= 1
f(t) =
t^2 - 2tx + y とおくと,与えられた式は f(t) = 0 で,
二次関数 f(t) = t^2
- 2tx + y が t 軸と 0 <= t
<= 1 で共有点をもつ条件を求めればいい
ことになります。
f(t) =
t^2 - 2tx + y = (t - x)^2 + (y - x^2)
より,この二次関数は,軸 t =
x,頂点 (x, y - x^2),下に凸,なので,
y -
x^2 <= 0 であって
x <
0 のとき f(0) <= 0 及び f(1)
>= 0
0
<= x <= 1 のとき f(0) >= 0 又は f(1) >= 0
1 <
x のとき f(0) >= 0 及び f(1)
<= 0
つまり,
y -
x^2 <= 0 であって
x <
0 のとき y <= 0 及び 1 - 2x +
y >= 0
0
<= x <= 1 のとき y >= 0 又は 1 - 2x + y >= 0
1 <
x のとき y >= 0 及び 1 - 2x +
y <= 0
整理すると,
y
<= x^2,y = x^2 以下であって,
x <
0 のとき,y <= 0 及び y >=
2x - 1,x 軸以下 及び y = 2x - 1 以上
0
<= x <= 1 のとき,y >= 0 又は y >= 2x - 1,x 軸以上 又は y = 2x - 1 以上
1 <
x のとき,y >= 0 及び y <=
2x - 1,x 軸以上 及び y = 2x - 1 以下
結局まとめると,
x <
0 のとき,x 軸以下 及び y = 2x - 1 以上
0
<= x < 1/2 のとき,y = x^2 以下 及び y = 2x - 1 以上
1/2
<= x < 1 のとき,y = x^2 以下 及び x 軸以上
1
<= x のとき,x 軸以上 及び y = 2x - 1 以下
問題2:
A (0,
t^2 + 4), B (t/2 + 2/t, 0), 0 < t < 2
とします。線分 AB は,s を 0 <= s <= 1 として,
x =
(t/2 + 2/t)(1 - s), y = (t^2 + 4)s
と書けます。ここで,s と t は独立です。そこで,
0
<= x <= t/2 + 2/t < ∞,0 <= y <= t^2 + 4 < 8
として,s を消すことができて,
x =
(t^2 + 4)/2t * (1 - y/(t^2 + 4)) = (t^2 + 4)/2t - y/2t
2tx +
y = t^2 + 4
f(t) =
t^2 - 2tx + (4 - y) とおくと,
二次関数 f(t) = t^2
- 2tx + (4 - y) が t 軸と 0 < t
< 2 で共有点をもつ条件を求めればいい
ことになります。ただし,0
<= x,0 <= y < 8 です。
f(t) =
t^2 - 2tx + (4 - y) = (t - x)^2 + (4 - y - x^2)
より,この二次関数は,軸 t =
x,頂点 (x, 4 - y - x^2),下に凸,なので,
4 - y
- x^2 <= 0 であって
x = 0 のとき f(0) < 0 及び f(2) > 0
0 <
x < 2 のとき f(0) > 0 又は f(2)
> 0
2
<= x のとき f(0) > 0 及び f(2)
< 0
つまり,
4 - y
- x^2 <= 0 であって
x = 0 のとき 4 - y < 0 及び 4 - 4x + 4 - y > 0
0 <
x < 2 のとき 4 - y > 0 又は 4 -
4x + 4 - y > 0
2
<= x のとき 4 - y > 0 及び 4 -
4x + 4 - y < 0
整理すると,
y
>= - x^2 + 4,y = - x^2 + 4 以上であって,
x = 0 のとき,y > 4 及び y < - 4x + 8,y = 4 より上 及び y = - 4x + 8 より下
0 <
x < 2 のとき y < 4 又は y < -
4x + 8,y = 4 より下 又は y = - 4x +
8 より下
2
<= x のとき y < 4 及び y > -
4x + 8,y = 4 より下 及び y = - 4x +
8 より上
結局まとめると,x, y の最初の条件も加味して,
x <
0 のとき,明らかに存在しない
x = 0 のとき,4 < y < 8
0 <
x < 1 のとき,y = - x^2 + 4 以上 及び y
= - 4x + 8 より下
1
<= x < 2 のとき,y = - x^2 + 4 以上 及び y = 4 より下
2
<= x のとき,0 <= y < 4
問題3:
y = tx + sqrt(t^2 + 1), t > 0
y - tx = sqrt(t^2 + 1) > 0 より,y > tx です。このとき,
(y - tx)^2 = t^2 + 1
(x^2 -
1)t^2 - 2xyt + (y^2 - 1) = 0
f(t) =
(x^2 - 1)t^2 - 2xyt + (y^2 - 1) とおくと,
f(t) =
0 が t 軸と t > 0 で共有点をもつ条件を求めればいいことになります。
(1)
x^2 - 1 = 0 及び y = 0 のとき
f(t) =
- 1 < 0 なので不可。
(2)
x^2 -1 = 0 及び y not= 0 のとき
(2-1)
x = 1 及び y not= 0 のとき
f(t) =
- 2yt + (y^2 - 1) = 0
t =
(y^2 - 1)/2y = (y + 1)(y - 1)/2y > 0
-1
< y < 0 又は 1 < y
ただし,y > tx = t = (y^2 - 1)/2y なので,1 < y だけが可能です。
(2-2)
x = -1 及び y not= 0 のとき
f(t) =
2yt + (y^2 - 1) = 0
t = -
(y^2 - 1)/2y = - (y + 1)(y - 1)/2y > 0
y <
-1 又は 0 < y < 1
ただし,y > tx = -t = (y^2 - 1)/2y なので,0 < y
< 1 だけが可能です。
(3)
x^2 - 1 not= 0 のとき
f(t) =
(x^2 - 1)t^2 - 2xyt + (y^2 - 1)
= (x^2
- 1)(t - xy/(x^2 - 1))^2 - (xy)^2/(x^2
- 1) + (y^2 - 1)
= (x^2
- 1)(t - xy/(x^2 - 1))^2 - (x^2 + y^2 - 1)/(x^2 - 1)
より,f(t) は二次関数で,
軸 t = xy/(x^2 - 1),頂点 (xy/(x^2 - 1), - (x^2 + y^2 - 1)/(x^2 - 1))
です。
(3-1)
x^2 - 1 > 0,x < -1 又は
x > 1,のとき
二次関数は下に凸なので,t
> 0 に共有点をもつのは,
- (x^2
+ y^2 - 1)/(x^2 - 1) <= 0 であって
xy/(x^2 - 1) <= 0 のとき f(0) < 0
xy/(x^2 - 1) > 0 のとき 常にOK
つまり,
x^2 +
y^2 - 1 >= 0 であって
xy <= 0 のとき y^2 - 1 < 0
xy > 0 のとき 常にOK
整理すると,
x^2 +
y^2 >= 1,x^2 + y^2 = 1 の円周も含む外部であって
((x
< -1) 及び ((y < 0) 又は (0
<= y < 1))) 又は ((x > 1) 及び ((-1 < y <= 0) 又は (0 < y)))
ただし,y > tx の条件も加味してまとめると,
x^2 +
y^2 = 1 の円周も含む外部であって
((x
< -1) 及び (y < 1)) 又は ((x
> 1) 及び (y > 1))
(3-2)
x^2 - 1 < 0,-1 < x < 1,のとき
二次関数は上に凸なので,t
> 0 に共有点をもつのは,
- (x^2
+ y^2 - 1)/(x^2 - 1) >= 0 であって
xy/(x^2 - 1) <= 0 のとき f(0) > 0
xy/(x^2 - 1) > 0 のとき 常にOK
つまり,
x^2 +
y^2 - 1 >= 0 であって
xy >= 0 のとき y^2 - 1 > 0
xy < 0 のとき 常にOK
整理すると,
x^2 +
y^2 >= 1,x^2 + y^2 = 1 の円周も含む外部であって
((-1
< x <= 0) 及び ((y < -1) 又は (y > 0))) 又は ((0 <= x < 1) 及び ((y > 1) 又は (y < 0)))
ただし,y > tx の条件も加味してまとめると,
x^2 +
y^2 = 1 の円周も含む外部であって
((-1
< x < 0) 及び (y > 0)) 又は ((0 <= x < 1) 及び (y > 1)))
以上ですべてなので,結局まとめると,
x <
-1 のとき,y = 1 より下
x = -1
のとき,0 < y < 1
-1
< x < 0 のとき,x 軸より上であって
x^2 + y^2 = 1 の円周も含む外部
x
>= 0 のとき,y = 1 より上
(考察1)
一応,式を使って考えましたが,直感的に図形的考察から次のようにも考えられます。
問題1:
y =
2tx - t^2, 0 <= t <= 1
これは,傾きが 2t,y 切片が - t^2 の直線群で,
t = 0,
y = 0 〜 t = 1, y = 2x - 1
をつなぐようなものになります。さらに,この式は,
y -
t^2 = 2t(x - t)
と変形できます。これは,y =
x^2 の (t,t^2) における接線です。
したがって,実はこの直線群は,この接線を 0 <= t <= 1 で動かしたものです!
これをイメージすれば,答えの領域はほぼ明らかでしょう。
問題2:
A (0,
t^2 + 4), B (t/2 + 2/t, 0), 0 < t < 2
線分 AB の群は,
t
-> 0, A(0,4), B(+∞,0),y = 4 に近づく
t
-> 2, A(0,8), B(2,0),y = - 4x + 8 に近づく
をつなぐようなものになります。
これは少しイメージしにくいですが,問題1:の類推で,
y = 4,y = - 4x + 8 が y = - x^2 + 4 の接線になっていることは分かります。
それから答えの領域をイメージすることは不可能ではないでしょう。
問題3:
y = tx + sqrt(t^2 + 1)
これは,傾きが t,x 切片が - sqrt(1 +
(1/t)^2),y 切片が sqrt(t^2 + 1) の直線群で,
t
-> 0, y = 1 〜 t -> ∞, x = 1
をつなぐようなものになります。さらに,この式は,
tx - y + sqrt(t^2
+ 1) = 0
と変形し,原点との距離を求めてみると,
原点との距離 = |0 - 0
+ sqrt(t^2 + 1)|/sqrt(t^2 +
1) = 1
と常に 1 です。つまり,実はこの直線群は,x^2 + y^2 = 1 の接線群を t > 0 で動かしたものです!
これをイメージすれば,答えの領域はほぼ明らかでしょう。
(考察2)
「そういえば,包絡線というキーワードを意識せずに解いちゃったけど,これって何?」
と思い至り,Webで調べてみました。Wikipediaには,
包絡線(ほうらくせん、envelope)とは、与えられた曲線族と接線を共有する曲線、
すなわち与えられた(一般には無限個の)全ての曲線たちに接するような曲線のことである。
とありました。今回の問題では,直線群が対象なので,それらが接線そのものになりますね。
要するに,(考察1)で議論した曲線のようです。
そこで,少し考えてみました。
今,t をパラメタとして,次のような直線群が与えられているとします。
a(t) *
x + b(t) * y + c(t) = 0
包絡線は,これを接線とするので,接点は一般に t に依存し (x(t), y(t)) と書けます。
これは,見方を変えれば,包絡線の
t によるパラメタ表示とも考えられます。
接点は,当然,接線上にもあるので,
a(t) *
x(t) + b(t) * y(t) + c(t) = 0
これを t で微分すると,
a'(t)
* x(t) + a(t) * x'(t) + b'(t) * y(t) + b(t) * y'(t) + c'(t) = 0
ここで,(x'(t),
y'(t)) は包絡線上の点 (x(t), y(t)) における接線ベクトルなので,
接線と平行で,接線に垂直なベクトル,法線ベクトル,(a(t), b(t)) と垂直です。そこで,
a(t) *
x'(t) + b(t) * y'(t) = 0
これより,先ほどの式は,
a'(t)
* x(t) + b'(t) * y(t) + c'(t) = 0
と簡単になります。さらに,これと接線の式を連立させた
a(t) *
x(t) + b(t) * y(t) + c(t) = 0
a'(t)
* x(t) + b'(t) * y(t) + c'(t) = 0
を,x(t),y(t) について解けば,包絡線の t によるパラメタ表示が得られることになります!
そこで,今回の問題で確かめてみます。
問題1:
y =
2tx - t^2, 0 <= t <= 1
より,
2tx -
y - t^2 = 0
2x -
2t = 0
を,x,y について解くことになります。これは,
x = t,
y = t^2, 0 <= t <= 1
そこで,包絡線は,
y =
x^2, 0 <= x <= 1
になります。
問題2:
A (0,
t^2 + 4), B (t/2 + 2/t, 0), 0 < t < 2
包絡線を考えるだけならば,A,B を通る直線を考えれば十分でしょう。これは,
y -
(t^2 + 4) = (0 - (t^2 + 4))/((t/2 + 2/t) - 0) * (x - 0)
y -
(t^2 + 4) = - 2tx
y = -
2tx + (t^2 + 4)
これより,
2tx +
y - (t^2 + 4) = 0
2x -
2t = 0
を,x,y について解くことになります。これは,
x = t,
y = - t^2 + 4, 0 < t < 2
そこで,包絡線は,
y = -
x^2 + 4, 0 < x < 2
になります。
問題3:
y = tx + sqrt(t^2 + 1), t > 0
より,
tx - y + sqrt(t^2
+ 1) = 0
x + t/sqrt(t^2 + 1) = 0
を,x,y について解くことになります。これは,
x = -
t/sqrt(t^2 + 1), y = 1/sqrt(t^2 + 1), t > 0
そこで,包絡線は,
x^2 +
y^2 = 1, -1 < x < 0, 0 < y < 1
になります。
確かに,解答に現れる曲線,(考察1)の曲線と一致しています。
なお,一般に,直線群ではなく曲線群でも同様の連立方程式が導けますが,
大学レベルになってしまうので省略します。
(感想)
最初,包絡線というキーワードを意識しないで解いてしまい,今回は少してこずりました。
図形的考察から,領域がどうなりそうかは,ほぼ予想がつくのですが,
境界部分など,抜けがあるかもしれません。
その後,包絡線に関しては,知らなかったのでWebで調べて(考察2)に追加しました。
勉強になりました。
NO2「MVH」 07/10 13時47分受信 更新7/11
流れ星〕第243回数学的な応募問題 〔包絡線〕
by MVH
〔解答〕解法がいくつかあります。問題1を例にとって、分類してみますと(月刊誌「大学への数学」による命名)、
@
自然流(順手流):直接y=2tx-t^2の動く範囲を捉える(xを固定してtの関数と見る(ファクシミリの原理)。最大・最小の候補を並べて(図示して)大小比較すれば答えが一挙に得られる)。→tが3次以上のときなどに有効。
A
逆手流:y=2tx-t^2をtに関する2次方程式と見て、この2次方程式が0≦t≦1に少なくとも一つ実数解を持
つような(x,y)の条件を求める。→tが全ての実数を動けるときなどに有効。
B
包絡線からの考察:y=x^2上の点P(t,t^2)における接線がy=2tx-t^2であることから、0≦t≦1でPを動かしたときのこの接線の通過範囲を求める(y=x^2をy=2tx-t^2の包絡線という)。→包絡線がすぐに思い浮かべば最も有効(いくつかの典型的な接線の形を覚えておくと、対処しやすい。)
今回の問題1〜3については、個人的に、解法Bでシンプルに解けるように感じました。
問題1: 上記より、求める通過領域は、図1(但し、境界を含む)。
問題2: 与えられた2点を結ぶ直線の方程式は、y=-2tx+t^2+4である。これは、放物線y=-x^2+4上の点P(t,-t^2+4)における接線の方程式である。従って、0<t<2でPを動かしたときのこの接線の通過領域のうち、第一象限にある部分が答えとなる(図2)。但し、境界は、x軸、y軸、放物線のみ含む((0,4),(0,8),(2,0)を除く)。
問題3: t>0のとき与えられた直線群が、円x^2+y^2=1上の第二象限内の任意の点P(x座標をsとする)における接線群であることを示す。点Pは第二象限の点だから、-1<s<0であり、y座標は、y=(1-s^2)^(1/2)と表せる。よって、点Pにおけるこの円の接線の方程式は、y-(1-s^2)^(1/2)=(-s)(x-s)/(1-s^2)^(1/2)⇔y=(-sx)/(1-s^2)^(1/2)+1/(1-s^2)^(1/2)と表せる。さて、ここで、(-s)/(1-s^2)^(1/2)=tと変数変換すると、この接線の方程式は、y=tx+(t^2+1)^(1/2)と表せる。また、-1<s<0のとき、f(s)=(-s)/(1-s^2)^(1/2)のグラフを調べることにより、t>0が分かる。よって、示された。以上により、答えは図3。但し、境界は、円周上だけ含む(点(0,1),(-1,0)を除く)。
〔解き終えて〕
包絡線は「大学への数学」で身に付けました。実際には、問題によって、解法を選べるのが望ましいと思われますが、包絡線の形をいくつか知っていると早いでしょうね。良い復習になりました。
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。