平成２２年９月２６日

[流れ星]

　　　　　第２４６回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月５日〜９月26日

［積が和の2010倍］

3350と5025の2数をとると、

3350＋5025＝8375　　　、　3350×5025＝16833750＝8375×2010

となり、積は和の2010倍となる。このように、積が和の2010倍になる2数の組について、

次の問に答えよ。ただし、ここでの2数は自然数とする。

問１：2数の組は何組あるか。

問２：2数のうち和が最小の組と最大の組の2数を求めよ。

問３：すべての2数の組を求めよ。

問４：さらに、積が和のＰ倍として、考察があれば、書いてください。

NO1「uchinyan」 09/05 13時59分受信 更新9/26

　第２４６回数学的な応募問題
［積が和の2010倍］

問１：
二つの自然数を a，b とします。すると，
(a + b) * 2010 = ab
ab - 2010a - 2010b = 0
ab - 2010a - 2010b + 2010^2 = 2010^2
(a - 2010)(b - 2010) = 2010^2 = 2^2 * 3^2 * 5^2 * 67^2 = 4040100
この解は，a，b は自然数なので，
(a - 2010)(b - 2010) = 2010^2 の (a,b)-座標平面でのグラフ上の整数格子点になります。
このグラフは，a - 2010，b - 2010 が負の領域では原点を通る上に凸の双曲線になり，
a，b がともに正の解はありません
そこで，a，b は，2010^2 の正の約数の組 c，d，cd = 2010^2 に対して，
a - 2010 = c，b - 2010 = d
a = 2010 + c，b = 2010 + d
と一意に決まります。そこで，a，b の組は，2010^2 の正の約数の個数，
(2 + 1) * (2 + 1) * (2 + 1) * (2 + 1) = 81 個
だけあることになります。
ただし，「a，b の組」と言ったときに，a <= b に限るならば，
(81 + 1)/2 = 41 個
ですね。

問２：
問１：のグラフにおいて，a + b = k の k が最小・最大になる場合を調べればいいです。
明らかに，
最小，(a,b) = (4020,4020)，a + b = 8040
最大，(a,b) = (2011,4042110) 又は (4042110,2011)，a + b = 4044121

問３：
問１：から明らかですが，2010^2 = cd となる 2010^2 = 4040100 の正の約数 c，d を求め，
a = 2010 + c，b = 2010 + d
とすればいいです。そこで，(a,b)，a <= b として，次の 41 個。
(2011,4042110), (2012,2022060), (2013,1348710), (2014,1012035), (2015,810030),
(2016,675360), (2019,450910), (2020,406020), (2022,338685), (2025,271350),
(2028,226460), (2030,204015), (2035,163614), (2040,136680), (2046,114235),
(2055,91790), (2060,82812), (2070,69345), (2077,62310), (2085,55878),
(2100,46900), (2110,42411), (2144,32160), (2160,28944), (2190,24455),
(2211,22110), (2235,19966), (2278,17085), (2310,15477), (2345,14070),
(2412,12060), (2460,10988), (2613,8710), (2680,8040), (2814,7035),
(2910,6499), (3015,6030), (3216,5360), (3350,5025), (3685,4422),
(4020,4020)

問４：
全く同じ議論が展開できます。
(a + b) * P = ab
(a - 2010)(b - 2010) = P^2
c，d を P^2 の正の約数で cd = P^2 として，
a = P + c，b = P + d
P を素因数分解したとき P = p1^k1 * p2^k2 * … と書けるとすると，
(a,b) の個数は (2 * k1 + 1) * (2 * k2 + 1) * … 個
a <= b に限るならば {(2 * k1 + 1) * (2 * k2 + 1) * … + 1}/2 個
a + b の
最小，(a,b) = (2P,2P)，a + b = 4P
最大，(a,b) = (P + 1,P + P^2) 又は (P + P^2,P + 1)，a + b = P^2 + 2P + 1 = (P + 1)^2

(感想)
問４：が，あまりパッとしませんでした。 ＋αの何か面白いことがあるのかな？

No2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/12 15時08分受信 更新9/26

ab=2010(a+b)
a(b-2010)-2010(b-2010)=2010^2
(a-2010)(b-2010)=2010^2=2^2*3^2*5^2*67^2
2010=3*670=2*3*5*67
右辺の約数の数は…3^4個
2*3*5*67以外は異なるもののペアになるので…
(3^4-1)/2+1=41組

問２：2数のうち和が最小の組と最大の組の2数を求めよ。

ab=一定のとき
a+b≧2√ab
a=b のとき最小なので…
a-2010=2010
a=4020=b…が和の最小
最大は…(1+k/1)/(a+k/a)≦1
1+k≦a+k/a
a+ka≦a^2+k
a^2-a(k+1)+k≧0
(a-1)(a-k)≧0
a≦1 or k≦a
すなわち…a=1 or k のとき
a-2010=1, b-2010=2010^2
a=2011, b=2010*2011=4 042 110…が和の最大

&#8232;問３：すべての2数の組を求めよ。&#8232;

パス...Orz...

問４：さらに、積が和のＰ倍として、考察があれば、書いてください。

ab=p(a+b)
a(b-p)-p(b-p)=P^2
(a-p)(b-p)=P^2
P=p^xq^yr^z…なら…
P^2…(x+1)(y+1)(z+1)…個の約数があり…
大きさの順に並べると…頭のk番目とお尻のk番目を掛けるとP^2
になるので…また…P^2=(p^xq^yr^z
…)^2 なので…
組み合わせの数は…{(x+1)(y+1)(z+1)…+1}/2 個になる。

これくらいのことしか思い浮かばない...^^;...

NO3「浜田明巳」 09/16 13時54分受信 更新9/26

２自然数をａ，ｂ（ａ≦ｂ）とすると，
　　ａｂ＝２０１０(ａ＋ｂ)
　　∴ｂ＝２０１０ａ／(ａ−２０１０)
　ａ，ｂは自然数であるから，ａ＞２０１０であり，
　　ｂ＝２０１０ａ／(ａ−２０１０)
が整数となるもので，ａ≦ｂとなるものを見つければよい．
　分数計算が出来る十進BASICで解いてみた．

! m246.bas
! a*b=(a+b)*2010 -> b=(a*2010)/(a-2010)>0
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET maximum=1000000
LET kotae=0
LET kotae_min=maximum
LET kotae_max=0
FOR a=2011 TO maximum
   LET b=(a*2010)/(a-2010)
   IF INT(b)=b AND a<=b THEN
      LET kotae=kotae+1
      PRINT kotae;a;b;a+b;a*b
      IF kotae_min>a+b THEN
         LET kotae_min=a+b
         LET kotae_min_a=a
         LET kotae_min_b=b
      END IF
      IF kotae_max<a+b THEN
         LET kotae_max=a+b
         LET kotae_max_a=a
         LET kotae_max_b=b
      END IF
   END IF
NEXT a
PRINT kotae_min;kotae_min_a;kotae_min_b
PRINT kotae_max;kotae_max_a;kotae_max_b
END

　このプログラムにより，問１〜３の答は，
問１：４１組
問２：
　最小の組は，４０２０と４０２０
　最大の組は，２０１１と４０４２１１０
問３：
 1  2011  4042110
 2  2012  2022060
 3  2013  1348710
 4  2014  1012035
 5  2015  810030
 6  2016  675360
 7  2019  450910
 8  2020  406020
 9  2022  338685
 10  2025  271350
 11  2028  226460
 12  2030  204015
 13  2035  163614
 14  2040  136680
 15  2046  114235
 16  2055  91790
 17  2060  82812
 18  2070  69345
 19  2077  62310
 20  2085  55878
 21  2100  46900
 22  2110  42411
 23  2144  32160
 24  2160  28944
 25  2190  24455
 26  2211  22110
 27  2235  19966
 28  2278  17085
 29  2310  15477
 30  2345  14070
 31  2412  12060
 32  2460  10988
 33  2613  8710
 34  2680  8040
 35  2814  7035
 36  2910  6499
 37  3015  6030
 38  3216  5360
 39  3350  5025
 40  3685  4422
 41  4020  4020

　積がｐのとき，次のプログラムにより，一般化してみた．

! m246_4.bas
! a*b=(a+b)*p -> b=(a*p)/(a-p)>0
OPTION ARITHMETIC DECIMAL_HIGH
LET maximum=10000
FOR p=1 TO 2010
   PRINT p
   LET kotae=0
   LET kotae_min=maximum
   LET kotae_max=0
   FOR a=p+1 TO maximum
      LET b=(a*p)/(a-p)
      IF INT(b)=b AND a<=b THEN
         LET kotae=kotae+1
         PRINT kotae;a;b;a+b;a*b
         IF kotae_min>a+b THEN
            LET kotae_min=a+b
            LET kotae_min_a=a
            LET kotae_min_b=b
         END IF
         IF kotae_max<a+b THEN
            LET kotae_max=a+b
            LET kotae_max_a=a
            LET kotae_max_b=b
         END IF
      END IF
   NEXT a
   PRINT kotae_min;kotae_min_a;kotae_min_b
   PRINT kotae_max;kotae_max_a;kotae_max_b
NEXT p
END

　掃き出されたデータにより，次のことがらが分かった．

問４：最小の組は２ｐと２ｐ．最大の組はｐ＋１とｐ(ｐ＋１)

　残念ながら，組数は分からなかった．唯一分かったのは，α，β，γ，・・・を素数とするとき，
　　ｐ＝１のとき，１
　　ｐ＝α^nのとき，ｎ＋１
　　ｐ＝αβのとき，５
　　ｐ＝α^2βのとき，８
　　ｐ＝α^3βのとき，１１
　　ｐ＝α^4βのとき，１４
　　・・・
　　ｐ＝α^nβのとき，５＋３(ｎ−１)＝３ｎ＋２
　　ｐ＝α^2β^2のとき，１３
　　ｐ＝αβγのとき，１４
　　ｐ＝α^3β^3のとき，２５

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1  2011  4042110  4044121  8128683210
 2  2012  2022060  2024072  4068384720
 3  2013  1348710  1350723  2714953230
 4  2014  1012035  1014049  2038238490
 5  2015  810030  812045  1632210450
 6  2016  675360  677376  1361525760
 7  2019  450910  452929  910387290
 8  2020  406020  408040  820160400
 9  2022  338685  340707  684821070
 10  2025  271350  273375  549483750
 11  2028  226460  228488  459260880
 12  2030  204015  206045  414150450
 13  2035  163614  165649  332954490
 14  2040  136680  138720  278827200
 15  2046  114235  116281  233724810
 16  2055  91790  93845  188628450
 17  2060  82812  84872  170592720
 18  2070  69345  71415  143544150
 19  2077  62310  64387  129417870
 20  2085  55878  57963  116505630
 21  2100  46900  49000  98490000
 22  2110  42411  44521  89487210
 23  2144  32160  34304  68951040
 24  2160  28944  31104  62519040
 25  2190  24455  26645  53556450
 26  2211  22110  24321  48885210
 27  2235  19966  22201  44624010
 28  2278  17085  19363  38919630
 29  2310  15477  17787  35751870
 30  2345  14070  16415  32994150
 31  2412  12060  14472  29088720
 32  2460  10988  13448  27030480
 33  2613  8710  11323  22759230
 34  2680  8040  10720  21547200
 35  2814  7035  9849  19796490
 36  2910  6499  9409  18912090
 37  3015  6030  9045  18180450
 38  3216  5360  8576  17237760
 39  3350  5025  8375  16833750
 40  3685  4422  8107  16295070
 41  4020  4020  8040  16160400
 8040  4020  4020
 4044121  2011  4042110

＜水の流れ：応募された解答にはPが１から２０１０までときが、すべて書いてありましたが、紙面の都合上割愛されてもらいます＞

NO4「MVH」　　　 09/25 16時34分受信 更新9/26

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。