平成２２年１０月１７日

[流れ星]

　　　　　第２４７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月26日〜10月17日

［無限級数の美しさ］

先日、青土社出版「πとeの話」を読んでいたら、無限級数の美しさと不思議を見つけま

した。皆さんに紹介します。さらに、イギリスの数学者ハーデイー（1877〜1947）の言葉も

ありました。書いてみます。

「数学者の思考様式は、画家や詩人のそれと同じように美しくなければならず

そのアイデアは、色や言葉と同じように調和を形作らなければならない

美は、なにものにも優先する試金石である

見苦しい数学がこの世で永遠に生命を保つことなどありえない」

　

　

＜修正とお詫び：（４）の問題に「：再出発」さんからミスの指摘を受けました。ここにお詫びをし、分母の（２＋１）！から（ｎ＋１）！に修正します。10月3日正午記＞

ＮＯ１「uchinyan」 09/26 14時04分受信 更新10/17

題意にあるように，以下では，
Σ[n=0,∞]{1/n!} = e
を認めて議論します。
また，この無限級数は，一様絶対収束することが知られているので，
級数の計算などは，有限項の演算の場合と同じようにできる前提で議論します。

(1)
Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)!}
= Σ[n=0,∞]{2n/(2n)! + 1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{2n/(2n)!} + Σ[n=0,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} + Σ[n=0,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=0,∞]{1/n!}
= e

(2)
Σ[n=0,∞]{(n+1)/(2n+1)!}
= 1/2 * Σ[n=0,∞]{((2n+1) + 1)/(2n+1)!}
= 1/2 * Σ[n=0,∞]{1/(2n)! + 1/(2n+1)!}
= 1/2 * Σ[n=0,∞]{1/n!}
= e/2

(3)
Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{((2n+1) - 1)/(2n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{1/(2n)! - 1/(2n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{(-1)^n/n!}
ここで，
Σ[n=0,∞]{1/n!} * Σ[n=0,∞]{(-1)^n/n!}
最初の項の n を m，二番目の項の n を k と書き換えると，
= Σ[m=0,∞]{1/m!} * Σ[k=0,∞]{(-1)^k/k!}
= Σ[m=0,∞]{Σ[k=0,∞]{(-1)^k * 1/m! * 1/k!}}
m，k の和を m+k = n，k の和に変換すると，
= Σ[n=0,∞]{Σ[k=0,n]{(-1)^k * 1/(n-k)! * 1/k!}}
= Σ[n=0,∞]{Σ[k=0,n]{1/n! * n!/(n-k)!k! * (-1)^k}}
= 1 + Σ[n=1,∞]{1/n! * Σ[k=0,n]{nCk * (-1)^k}}
二番目の項における中のΣは二項定理を使って変形できて，
= 1 + Σ[n=1,∞]{1/n! * (1 + (-1))^n}
= 1 + Σ[n=1,∞]{1/n! * 0}
= 1 + 0
= 1
そこで，Σ[n=0,∞]{1/n!} = e より，
e * Σ[n=0,∞]{(-1)^n/n!} = 1
Σ[n=0,∞]{(-1)^n/n!} = 1/e
がいえ，
Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} = Σ[n=0,∞]{(-1)^n/n!} = 1/e

(4)
最初の式が変ですが，右辺からすると，
Σ[n=0,∞]{n/(n+1)!}
と思われます。そう思って解きます。
Σ[n=0,∞]{n/(n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} + Σ[n=1,∞]{(2n-1)/(2n)!}
= Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} + Σ[n=1,∞]{(2n+1)/(2n)!} - 2 * Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} + Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)!} - 2 * Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} + 1
ここで，(3)，(1)より，
Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} = 1/e
Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)!} = e
また，(1)，(3)の途中の式より，
Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} + Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} = e
Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} - Σ[n=0,∞]{1/(2n+1)!} = 1/e
最初の式は，
Σ[n=0,∞]{1/(2n+1)!} + Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} = e
とも書けるので，これと 1/e の式を連立させて，
Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} = (e + 1/e)/2
Σ[n=0,∞]{1/(2n+1)!} = (e - 1/e)/2
そこで，
Σ[n=0,∞]{n/(n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} + Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)!} - 2 * Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} + 1
= 1/e + e - 2 * (e + 1/e)/2 + 1
= 1
実は，これは，e とは関係なく，これの N までの部分和を S(N) とすると，
S(N) = Σ[n=0,N]{n/(n+1)!}
= Σ[n=0,N]{1/n! - 1/(n+1)!}
= 1 - 1/(N+1)!
なので，
Σ[n=0,∞]{n/(n+1)!}
= lim[N->∞]{S(N)}
= lim[N->∞]{1 - 1/(N+1)!}
= 1
ですね。

(考察)
e^x のマクローリン展開，
Σ[n=0,∞]{x^n/n!} = e^x
が使えれば，
Σ[n=0,∞]{x^n/n!} = e^x
Σ[n=0,∞]{(-x)^n/n!} = e^(-x)
がいえるので，
Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} + Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n+1)!} = e^x
Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} - Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n+1)!} = e^(-x)
より，
Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} = (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x)
Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n+1)!} = (e^x - e^(-x))/2 = sinh(x)
を求めておいて計算する手もありますね。
検算も兼ねてやってみると．．．

(1)
Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)!}
= [d(Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n)!})/dx]x=1
= [d(Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} * x)/dx]x=1
= [d(cosh(x) * x)/dx]x=1
= [sinh(x) * x + cosh(x)]x=1
= sinh(1) + cosh(1)
= (e^1 - e^(-1))/2 + (e^1 + e^(-1))/2
= e

(2)
Σ[n=0,∞]{(n+1)/(2n+1)!}
= [1/2 * d(Σ[n=0,∞]{x^(2n+2)/(2n+1)!})/dx]x=1
= [1/2 * d(Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n+1)!} * x)/dx]x=1
= [1/2 * d(sinh(x) * x)/dx]x=1
= [(cosh(x) * x + sinh(x))/2]x=1
= (cosh(1) + sinh(1))/2
= ((e^1 + e^(-1))/2 + (e^1 - e^(-1))/2)/2
= e/2

(3)
Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!}
= [d(Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n+1)!})dx]x=1
= [d(Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n+1)!} * 1/x)/dx]x=1
= [d(sinh(x)/x)/dx]x=1
= [(cosh(x) * x - sinh(x))/x^2]x=1
= cosh(1) - sinh(1)
= (e^1 + e^(-1))/2 - (e^1 - e^(-1))/2
= 1/e

(4)
Σ[n=0,∞]{n/(n+1)!}
= [d(Σ[n=0,∞]{x^n/(n+1)!})/dx]x=1
= [d(Σ[n=1,∞]{x^(n-1)/n!})/dx]x=1
= [d(Σ[n=1,∞]{x^n/n!} * 1/x)/dx]x=1
= [d((Σ[n=0,∞]{x^n/n!} - 1) * 1/x)/dx]x=1
= [d((e^x - 1)/x)/dx]x=1
= [(e^x * x - (e^x - 1))/x^2]x=1
= e^1 - (e^1 - 1)
= 1

確かに一致しています。

(感想)
(考察)が頭にあったので何とかなりましたが，(3)は少し考え込みました (^^;
ちょっとした頭の体操でした。

ＮＯ２「ｽﾓｰｸﾏﾝ」1 10/08 20時34分受信 更新10/17

(1) (2n+1)/(2n)!=1/(2n-1)!+1/(2n)!　→1+1/(奇数)!+1/(偶数)!　→e

(2) (n+1)/(2n+1)!=(1/2)(2n+1+1)/(2n+1)!=(1/2){1/(2n)!+1/(2n+1)!}　→e/2

(4) n/(n+1)!=(n+1-1)/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!

　　1/1!-1/2!+(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+...　→1

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」2 10/10 17時38分受信 更新10/17

(4) n/(n+1)!=(n+1-1)/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!

　1/1!-1/2!+(1/2!-1/3!)+(1/3!-1/4!)+...　
　
　1/1!-1/2!
　1/2!-1/3!
　1/3!-1/4!
　...
　1/(n-2)!-1/(n-1)!
　1/(n-1)!-1/n!
合計=1-1/n!
lim[n→∞] (1-1/n!)=1

(3) x=Σ{(2n)/(2n+1)!}=Σ{1/(2n)!-1/(2n+1)!}
                         =Σ{(1/2)*(1/n!)-1/(2n+1)!}

＜水の流れ：以下の青字がどうも変・・・＞

　　　　　　　  =(e-1)/2-Σ{1/(2n+1)!}
　  x+Σ{1/(2n+1)!}=Σ{1/(2n)!}=(e-1)/2
　 (x+Σ{1/(2n+1)!})+Σ{1/(2n)!}=2*{(e-1)/2}=e-1
　 Σ{(1/(2n+1)!+1/(2n)!}=e-2
　 けっきょく...
　  x=(e-1)-(e-2)=1
　でいいのかなぁ...^^;
　 これは自信なし...もっと簡明な方法あるに違いない...?


ＮＯ３「再出発」 　10/11 09時02分受信 更新10/17

寄せられた解答その１です。

寄せられた解答その２です。

ＮＯ４「MVH」 10/17 15時30分受信 更新10/17

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。