平成２２年１１月２８日
[流れ星]
第２４９回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：11月7日〜11月28日
［無限級数の美しさ(3)］
先日、青土社出版「πとeの話」を読んでいたら、無限級数の美しさと不思議さを見
けました。皆さんに紹介します。3回目です。
NO1「uchinyan」 11/07 14時03分受信 更新11/28
第２４９回数学的な応募問題
［無限級数の美しさ(3)］
題意にあるように，今回も，以下では，
Σ[n=0,∞]{1/n!} = e
を認め，さらに，第247回，第248回の値を既知として議論します。
また，これらの無限級数は，一様絶対収束することが知られているので，
級数の計算などは，有限項の演算の場合と同じようにできる前提で議論します。
(1)
Σ[n=1,∞]{n(n+2)/(n+1)!}
= Σ[n=1,∞]{((n+1)^2 - 1)/(n+1)!}
= Σ[n=1,∞]{(n+1)^2/(n+1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(n+1)!}
= Σ[n=1,∞]{(n+1)/n!} - Σ[n=1,∞]{1/(n+1)!}
= Σ[n=1,∞]{n/n!} + Σ[n=1,∞]{1/n!}
- Σ[n=1,∞]{1/(n+1)!}
= Σ[n=1,∞]{1/(n-1)!} + Σ[n=1,∞]{1/n!} - Σ[n=1,∞]{1/(n+1)!}
= Σ[n=0,∞]{1/n!} + (Σ[n=0,∞]{1/n!}
- 1) - (Σ[n=0,∞]{1/n!} - 1 - 1)
= e + (e - 1) - (e - 2)
= e + 1
(2)
(2-1)
前提より，
Σ[n=0,∞]{1/n!} = e
Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} + Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} = e
第247回の(3)より，
Σ[n=0,∞]{2n/(2n+1)!} = 1/e
Σ[n=1,∞]{(2n-2)/(2n-1)!} = 1/e
Σ[n=1,∞]{((2n-1) - 1)/(2n-1)!} = 1/e
Σ[n=1,∞]{(2n-1)/(2n-1)! - Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} = 1/e
Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} = 1/e
そこで，
Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} = (e + 1/e)/2 = e/2 + 1/2e
ついでに (^^;
Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} = (e - 1/e)/2 = e/2 - 1/2e
(2-2)
Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - (Σ[n=0,∞]{1/(2n)!} - 1)
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} + 1
(2-1)の二番目の式より，
= 1 - 1/e
(2-3)
Σ[n=1,∞]{(2n-1)(2n+1)/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{((2n)^2 - 1)/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{(2n)^2/(2n)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{2n/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{((2n-1) + 1)/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{(2n-1)/(2n-1)!} + Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} + Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= (e + 1/e)/2 + (1 - 1/e)
= (e - 1/e)/2 + 1
= e/2 + 1 - 1/2e
(3)
Σ[n=1,∞]{Σ[k=1,n]{k}/n!}
= Σ[n=1,∞]{(n(n+1)/2)/n!}
= (Σ[n=1,∞]{((n+1)/(n-1)!})/2
= (Σ[n=1,∞]{((n-1) + 2)/(n-1)!})/2
= (Σ[n=1,∞]{((n-1)/(n-1)!} + 2 * Σ[n=1,∞]{1/(n-1)!})/2
= (Σ[n=2,∞]{(1/(n-2)!} + 2 * Σ[n=1,∞]{1/(n-1)!})/2
= (Σ[n=0,∞]{(1/n!} + 2 * Σ[n=0,∞]{1/n!})/2
= 3/2 * Σ[n=0,∞]{1/n!}
= 3e/2
(考察)
e^x のマクローリン展開，
Σ[n=0,∞]{x^n/n!} = e^x
が使えれば．．．
(1)
1 + Σ[n=1,∞]{x^n/n!} = e^x
1 + Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!} = e^x
Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!} = e^x - 1
x * Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!} = Σ[n=0,∞]{x^(n+2)/(n+1)!}
d(x * Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!})/dx = Σ[n=0,∞]{(n+2)/(n+1)! * x^(n+1)}
(d(x * Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!})/dx)/x = Σ[n=0,∞]{(n+2)/(n+1)! * x^n}
d((d(x * Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!})/dx)/x)/dx = Σ[n=1,∞]{n(n+2)/(n+1)! * x^(n-1)}
より，
Σ[n=1,∞]{n(n+2)/(n+1)!}
= [d((d(x * Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/(n+1)!})/dx)/x)/dx]x=1
= [d((d(x * (e^x -
1))/dx)/x)/dx]x=1
= [d(((x + 1) * e^x -
1)/x)/dx]x=1
= [((x + 2) * e^x * x - ((x
+ 1) * e^x - 1))/x^2]x=1
= ((1 + 2) * e^1 * 1 - ((1 +
1) * e^1 - 1))/1^2
= 3e - (2e - 1)
= e + 1
(2)
(2-1)
Σ[n=0,∞]{x^n/n!} = e^x
Σ[n=1,∞]{x^(2n-2)/(2n-2)!} + Σ[n=1,∞]{x^(2n-1)/(2n-1)!} = e^x
x -> -x として，
Σ[n=1,∞]{x^(2n-2)/(2n-2)!} - Σ[n=1,∞]{x^(2n-1)/(2n-1)!} = e^(-x)
そこで，
Σ[n=1,∞]{x^(2n-2)/(2n-2)!} = (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x)
Σ[n=1,∞]{x^(2n-1)/(2n-1)!} = (e^x - e^(-x))/2 = sinh(x)
これより，
Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} = [(e^x + e^(-x))/2]x=1 = (e + 1/e)/2 = e/2 + 1/2e
ついでに (^^;
Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} = [(e^x - e^(-x))/2]x=1 = (e - 1/e)/2 = e/2 - 1/2e
(2-2)
Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n)!}
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - (Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} - 1)
= Σ[n=1,∞]{1/(2n-1)!} - Σ[n=1,∞]{1/(2n-2)!} + 1
= [(e^x - e^(-x))/2]x=1 -
[(e^x + e^(-x))/2]x=1 + 1
= (e - 1/e)/2 - (e + 1/e)/2
+ 1
= 1 - 1/e
(2-3)
Σ[n=1,∞]{x^(2n-2)/(2n-2)!} = (e^x + e^(-x))/2 = cosh(x)
Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} = cosh(x)
x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!} = Σ[n=0,∞]{x^(2n+1)/(2n)!}
d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx = Σ[n=0,∞]{(2n+1)/(2n)! * x^(2n)}
d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx = Σ[n=1,∞]{(2n+1)/(2n)! * x^(2n)} + 1
d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx - 1 = Σ[n=1,∞]{(2n+1)/(2n)! * x^(2n)}
(d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx - 1)/x = Σ[n=1,∞]{(2n+1)/(2n)! * x^(2n-1)}
d((d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx - 1)/x)/dx = Σ[n=1,∞]{(2n-1)(2n+1)/(2n)! * x^(2n-2)}
より，
Σ[n=1,∞]{(2n-1)(2n+1)/(2n)!}
= [d((d(x * Σ[n=0,∞]{x^(2n)/(2n)!})/dx - 1)/x)/dx]x=1
= [d((d(x * cosh(x))/dx -
1)/x)/dx]x=1
= [d(cosh(x) + x * sinh(x) -
1)/x)/dx]x=1
= [((2 * sinh(x) + x *
cosh(x)) * x - (cosh(x) + x * sinh(x) - 1))/x^2]x=1
= ((2 * sinh(1) + 1 *
cosh(1)) * 1 - (cosh(1) + 1 * sinh(1) - 1))/1^2
= sinh(1) + 1
= (e - 1/e)/2 + 1
= e/2 + 1 - 1/2e
(3)
Σ[n=1,∞]{Σ[k=1,n]{k}/n!}
= Σ[n=1,∞]{(n(n+1)/2)/n!}
= (Σ[n=1,∞]{n(n+1)/n!})/2
としておいて，
x * e^x = x * Σ[n=0,∞]{x^n/n!} = Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/n!}
d(Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/n!})/dx = Σ[n=0,∞]{(n+1)/n! * x^n}
d(d(Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/n!})/dx)/dx = Σ[n=1,∞]{n(n+1)/n! * x^(n-1)}
より，
Σ[n=1,∞]{Σ[k=1,n]{k}/n!}
= (Σ[n=1,∞]{n(n+1)/n!})/2
= ([d(d(Σ[n=0,∞]{x^(n+1)/n!})/dx)/dx]x=1)/2
= ([d(d(x *
e^x)/dx)/dx]x=1)/2
= ([d((x + 1) *
e^x)/dx]x=1)/2
= ([(x + 2) * e^x)]x=1)/2
= ((1 + 2) * e^1)/2
= 3e/2
確かに一致しています。
(感想)
今回も前々回，前回の続きでしたね。確かにいろいろと計算できるのは興味深いですが，
失礼ながら，三回続くと，さすがに飽きてきたかも (^^;
今回もいろいろな計算方法があると思いますが，取り敢えず，思い付いた方法でやってみました。
No2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」1 11/12 02時56分受信
更新11/28
(1)
{(n+1)-1}{(n+1)+1}/(n+1)!={(n+1)^2-1}/(n+1)!
=(n+1)/n!-1/(n+1)!
=1/(n-1)!+1/n!-1/(n+1)!
=e+e-1-(e-2)
=e+1
眠くなって来たのでチャオ...Orz...
「ｽﾓｰｸﾏﾝ」2 11/13 00時30分受信 更新11/28
(2)-1
1-1+1/2!-1/3!+1/4!-1/5!+1/6!-...=1/e
1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/7!+1/8!+...=e
1+1/2!+1/4!+1/6!+1/8!+...=(1/e+e)/2
(2)-2
(1/1!+1/3!+1/5!+...)-(1/2!+1/4!+1/6!+...)=(e-1/e)/2-{(1/e+e)/2-1}
=1-1/e
(2)-3
(2n-1)(2n+1)/(2n)!
={(2n)^2-1}/(2n)!
=2n/(2n-1)!-1/(2n)!
=(2n-1+1)/(2n-1)!-1/(2n)!
=1/(2n-2)!+1/(2n-1)!-1/(2n)!
=(e+1/e)/2+(1-1/e)-{(e+1/e)/2-1}
=2-1/e
<水の流れコメント：(2)-2を使って -{(e+1/e)/2-1} ・・・これ余分でいらない
したがって、答えは・・・＞
(3) 1/1!+(1+2)/2!+(1+2+3)/3!+(1+2+3+4)/4!+...
=Σ{n(n+1)/2*n!}
=Σ{(1/2)*(n^2/n!+1/(n-1)!} ←前回247回の(1)Σn^2/n!=2e より ^^
(or...
=Σ(1/2)*{n/(n-1)!+1/(n-1)!}
=Σ(1/2)* {((n-1)+1)/(n-1)!+1/(n-1)!}
=Σ(1/2)*{1/(n-2)!+2/(n-1)!} )...
=(1/2)(2e+e)
=3e/2
こんどはあってるかなぁ...^^;?...Orz~
(-1)! とかは...存在しない(意味のない)ものと考えればいいってことになるのでしょうね...^^;?
No3「MVH」 11/27 23時48分受信 更新11/28
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
