平成２３年１月９日

[流れ星]

　　　　　第２５１回数学的な応募問題解答

　　　　　＜解答募集期間：12月19日〜1月9日＞

［ｅとπについて］

　　　　先日同僚との会合で次のような問題を頂きました。その場ですぐに発想が出てきませんでしたが、・・・

　　　

ｅ（超越数）とπ（円周率）について

　　ｅ^πとπ^ｅ　の大小を調べよ。

＜水の流れ：ある関数のグラフを利用して解きましたが・・・他の解法があれば・・・＞

NO1「uchinyan」 12/19 17時11分受信 更新1/9

第２５１回数学的な応募問題

［ｅとπについて］

取り敢えず，思い付いた解法です。

x > 0 として，y = x^(1/x) のグラフを考えます。明らかに，y > 0 です。

e を底とした対数をとると，

log(y) = log(x)/x

両辺を x で微分して，

1/y * y' = (1/x * x - log(x) * 1)/x^2 = (1 - log(x))/x^2

y' = y * (1 - log(x))/x^2

ここで，log(x) は，

lim[x->+0](log(x)) = -∞，lim[x->+∞](log(x)) = +∞

で，x > 0 で単調に増加する関数なので，1 - log(x) は x = e でだけ 0 になります。

そこで，y = x^(1/x) は，

0 < x < e で，y' > 0，y は単調増加

x = e で，y' = 0，y は極大かつ最大で y = e^(1/e)

e < x で，y' < 0，y は単調減少

になります。これより，

e^(1/e) > π^(1/π)

です。そこで，両辺を eπ 乗すると，

e^π = (e^(1/e))^(eπ) > (π^(1/π))^(eπ) = π^e

つまり，

e^π > π^e

になります。

(別解)

似たようなものですが，一応。

π^e = (e^(log(π)))^e = e^(e * log(π))

なので，e^π との比較は，π と e * log(π) との比較に帰着します。

そこで，x > 0 として，

f(x) = x - e * log(x)

を考えます。

f'(x) = 1 - e/x = (x - e)/x

より，

0 < x < e で，f'(x) < 0，f(x) は単調減少

x = e で，f'(x) = 0，f(x) は極小かつ最小で f(e) = e - e * log(e) = e - e = 0

e < x で，f'(x) > 0，f(x) は単調増加

になります。これより，x > 0 で，

x >= e * log(x)，等号は x = e だけ

そこで，x = π では，

π > e * log(π)

です。これより，

e^π > e^(e * log(π)) = π^e

つまり，

e^π > π^e

になります。

(感想)

多分，これら，若しくは似たようなものが，

「ある関数のグラフを利用して解きましたが」

ではないのかな，という気がしています。

実際に近似値を計算する以外に，他の解法があるのかな．．．

なお，実際に計算すれば，

e^π = 23.140… > π^e = 22.459…のようです。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 12/22 23時58分受信 更新1/9　

前回は言われてみればなるほどでした〜〜〜♪
けっきょく...
f'(x)で割った余りが...１次式以下なら...極値が...
f''(x)で割った余りが...１次式以下なら...変曲点が...
...
直線上にあるってことなんですね♪

今回の問題は感動した問題の一つで思い出しました...^^v

第251回　
ｅ^πとπ^ｅ　の大小を調べよ。

回答
両方の log で考える...
π*log e, e*log π の大小と同じ...
両方を...π*e で割ったもので考える...
log e/e と log π/π の大小と同じ...

一般に...f(t)=log t/t のグラフを考えると...
f'(t)=1/t^2-log t/t^2=(1-log t)/t^2
0<t<e...では...傾き>0
t=e で...傾き0
e<t...で...傾き<0
つまり...t=e のとき、f(e)=1/e が最大値(極値)をとる!!
けっきょく...
e<π　(たとえ...e>πであろうが) のときは...Max{f(t)}=f(e)=log e/e > log π/
π であるので...
けっきょく...
e^π > π^e　で〜す♪

今年も...限られた問題だけしか解けませんでしたが ^^;...
いつも楽しませていただきましてありがとうございました~m(_ _)m~
みなさんの解答で勉強させてもらってます Orz~
来年も当たってくだけろ精神 ^^; で...参ります...よろしくお願いいたします〜〜〜♪

NO3　「MVH」 01/08 16時02分受信 更新1/9

　　＜水の流れ：別解の発想には感激をし、嬉しく感じました。数学って本当に楽しくて奥行きが深い学問ですね。MVHさん感謝します。＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。