平成２３年5月15日

[流れ星]

　　　　　第２５７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：4月24日〜５月15日

［はさみうちの原理］

過去の大学入試問題から出題します。

NO1「uchinyan」 04/24 16時02分受信 更新5/15

　第２５７回数学的な応募問題

［はさみうちの原理］

(1)

x = 2kπsin(x), k は正の整数，x >= 0

sin(x) = x/2kπ

として，y = sin(x)，y = x/2kπ のグラフの交点を考えます。

まず，m > 0 を傾きとして，y = mx と y = sin(x) のグラフを x >= 0 で考えると，

y = sin(x) は x = 0 で傾き 1 の接線をもつので，

m >= 1 で交点は 1 個，その後，直線の傾きが減少すると 1 個増え，

さらに傾きが減少し y = sin(x) に接すると 1 個増え，

さらに傾きが減少すると 1 個増え，を繰り返します。

ここで，x = π/2 + 2(k-1)π = (4k-3)π/2 のとき sin(x) = 1 であること，

2/(4k-3)π > 2/4kπ = 1/2kπ > 2/(4k+1)π であること，

y = x/2kπ は (2kπ,1) を通ること，に注意すると，

x が 2kπ 〜 π/2 + 2kπ = (4k+1)π/2 で y = sin(x) と接する直線を y = mx として，

2/(4k-3)π > 2/4kπ = 1/2kπ > m > 2/(4k+1)π

がいえます。

そこで，y = x/2kπ は，x が 2kπ 〜 (4k+1)π/2 で y = sin(x) と共有点をもちません。

これより，y = x/2kπ と y = sin(x) との交点は，

n = 1, 2, ..., k として x = 2(n-1)π 〜 (2n-1)π の間に 2 個ずつ，

合計 2k 個になります。

(2)

(1)の議論より，y = x/2kπ と y = sin(x) との交点は，

n = 1, 2, ..., k として x = 2(n-1)π 〜 (2n-1)π の間に 2 個ずつ，あるので，

その 2 個を a(n) < b(n) とすると，2(n-1)π <= a(n) < b(n) <= (2n-1)π です。

そこで，s(k) = Σ[n=1,k]{a(n) + b(n)} なので，

Σ[n=1,k]{2(n-1)π * 2} <= Σ[n=1,k]{a(n) + b(n)} <= Σ[n=1,k]{(2n-1)π * 2}

Σ[n=1,k]{4(n-1)π} <= s(k) <= Σ[n=1,k]{2(2n-1)π}

4 * k(k-1)/2 * π <= s(k) <= 2 * k^2 * π

2k(k-1)π <= s(k) <= 2k^2π

これより，

lim[k->∞]{2k(k-1)π/k^2} <= lim[k->∞]{s(k)/k^2} <= lim[k->∞]{2k^2π/k^2}

2π <= lim[k->∞]{s(k)/k^2} <= 2π

つまり，はさみうちの原理より，

lim[k->∞]{s(k)/k^2} = 2π

になります。

(感想)

最初，ちょっと勘違いをして，(1)の評価に手間取りましたが，これでどうでしょうか。

なお，より正確には，

2(n-1)π <= a(n) < 2(n-1)π + π/2，2(n-1)π + π/2 < b(n) <= (2n-1)π

ですが，結果には効いてこないですね。

NO2「MVH」 05/10 12時51分受信 更新5/15

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。