平成２３年６月１２日

[流れ星]

　　　　　第２５９回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：６月12日〜７月３日

［根軸］

「大学への数学」のショートプログラムを読んでいたら面白い問題がありました。

紹介します。

問題１：単位円ｘ^２＋ｙ^２＝１と円（ｘ−２）^２＋（ｙ−３）^２＝９の２つの交点を

Ａ，Ｂとするとき、直線ＡＢの方程式を求めよ。

　

問題２：円�@：ｘ^２＋ｙ^２＝１、円�A：（ｘ−２）^２＋（ｙ−３）^２＝４とする。

　　　　点Ｐから円�@，円�Aへ引いた接線の長さが等しくなるような点Ｐの軌跡の

方程式を求めよ。

　

【参考】２つの円の方程式が分かっているとき、それらからｘ，ｙの2次の項を消去した式は、直線を表し２つの円の根軸といいます。

　問題３：ｘｙ平面上に、２つの放物線をＣ_１：ｙ＝ｘ^２，Ｃ_２：ｙ＝−ｘ^２＋４ｘ−２とするとき、共通な接線の方程式を求めよ。

問題４：ｘｙ平面上に、２つの放物線をＣ_１：ｙ＝ｘ^２，Ｃ_２：ｙ＝−ｘ^２＋４ｘ−４

とする。点Ｐから２つの放物線Ｃ_１，Ｃ_２へ引いた接線の長さが等しくなるような点Ｐの軌跡の方程式を求めよ。

問題４に関しての差し替え問題＜6月18日午前　記入＞改めて問題５とします。

問題５：ｙ＝ｘ^２･･･�@　ｙ＝−ｘ^２＋４ｘ−４・・・�Aと直線ｘ＝ｋの交点を

Ｐ，Ｑとする。Ｐにおける�@の接線とＱにおける�Aの接線の交点をＲとするとき、

Ｒの軌跡の方程式を求めよ。ただし、軌跡の限界は求めなくて良い。

＜水の流れから：問題４について、言葉足らずで誤解を招く文章になっていることを深くお詫びします。6月18日午前記＞ここに、「uchinyan」 様との意見交換を載せておきます。

「１」 「uchinyan」からの　０６／１２　17：36　受信メール

実は，問題４：が解けていません。というか，題意がつかめていません。

C1：y = x^2，C2：y = - x^2 + 4x - 4 = - (x - 2)^2
において，
これら二つの放物線の外側の点 P(x,y) から接線を引くことが可能ですが，
それぞれの放物線に対して二本引け，一般に，長さが違うと思います。
問題文の「接線の長さ」とはどれをいうのでしょうか？
四本とも長さが等しいということでしょうか？
そんなことが可能なのでしょうか？？
何か勘違いをしていると思うのですが．．．？？？

「２」　水の流れから　０６／１２　20：30　発信メール

「接線は P(x,y)からＣ１，Ｃ２に計4本引けますね。これ想定外。」
「しかし、、 P(x,y)からＣ１への接線ですが、長さは同じかまたは長短があります。

　そして、P(x,y)からＣ２への接線ですが、同じように　長さは同じかまたは長短があります。
そこで、P(x,y)からＣ１、Ｃ２への接線ですが 、
長さが等しいとはＣ１への接線の長さとＣ２への接線の長さを意味してしまして、
長い長さどうし、短い長さどうしが等しいと考えましたが、（同じ長さの場合は4本とも等しい）
　・・・と考えましたが、問題文としては不十分でしょうか。」

　でも、作問者としては、責任を「感じています。
円と同様に存在すると思い込んだところにミスがあるかな。
　もしも、なければないという解答になります。

「３」　「uchinyan」からの　０６／１３　10：35　受信メール

一応，了解しました。
ただ，個人的には今の問題文では分かりにくいように思います。
例えば，片方の長い方ともう一方の短い方の長さが等しい，などという解釈も，
不可能ではないように思うからです。

いずれにせよ，私には難しそうです。

> 　もしも、なければないという解答になります。
少なくとも解はあります。例えば，点(1,0) がそうです。
一般に，接点の座標によるパラメタ表示は簡単です。
ただ，その後，長い方同士，短い方同士，という条件を付けなかったせいか，
接点の座標の満たす条件式がものすごくなってしまって，手に負えないでいます。

なお，少なくとも，二つの式から x^2 を消去した y = 2x - 2 が解にならないことは
確認しています。

一応，もう少し考えてはみますが．．．

「４」 「uchinyan」からの　０６／１３　14：47　受信メール

Ø > ただ，個人的には今の問題文では分かりにくいように思います。
> 例えば，片方の長い方ともう一方の短い方の長さが等しい，などという解釈も，
> 不可能ではないように思うからです。
題意を明確にするためには問題文を書き換えた方がいいと思いますが，
そうすると，一つの放物線への接線の長さの大小の判定をまずしなければいけないので，
かなり難しそうな，さらに難しくなるような，気もしてきました。
どうしたらいいのかな。まぁ，お任せします (^^;

> いずれにせよ，私には難しそうです。
これは，どちらにしても変わらず．．．

「５」　水の流れから　０６／１２　20：30　発信メール

今回の問題4については
答えが先にあって、あとから問題文を作成した次第です。
多くの不備と疑問がでてきたことを深くお詫びします。

で、どうするかですが、

二つの式から x^2 を消去した 直線　y = 2x - 2 は一体何を表わしているのでしょうか。
　ここに、問題の核心がありまして、
当初は　P(x,y)からＣ１、Ｃ２への接線で、長さが等しいとは
Ｃ１への接線の長さとＣ２への接線の長さを等しいと円と同じように思っていましたが、

間違いであるようでして、
　で、土日に　お詫びをしながら、修正をしてサイトに載せたいと思います。
最悪は、削除まで考えていますけど。
　
　重ねて思慮の無さを痛感しています。
指摘に深く感謝しつつ、再度お詫び申し上げます

「６」「uchinyan」からの　０６／１６　11：27　受信メール

私の方でもその後少し調べてみましたが．．．

一般に，各放物線に二本ずつの接線のいずれか同士の長さが
等しくなる軌跡の式を導くことはできました。
しかし，√の入った非常に複雑な式で，平方などして簡単になるのか，
よく分からないでいます。
少なくとも，元の放物線の位置関係の対称性から，
(1,0) に関して点対称なのは明らかです。
しかし，例えば，(0,-2) は解にならないので，
y = 2x - 2 全体が解にならないことも明らかです。
(1,0) 以外にも部分的に解になる点はあるかもしれませんが．．．
多分，あったととしても有限個かなぁ，という気もします。

それと，長い方同士，短い方同士の長さが等しい，という場合も，
少し調べていますが，条件が二つになるので，
軌跡というよりも，有限個の点の集合，になるようです。
そして，どうやら，x <= 0，2 <= x には解はなく，0 < x < 2 の間だけで，
まだ詰め切れていませんが，(1,0) だけかも知れません。

いずれにせよ，今の問題４：は，あまり興味深いものではないかも知れませんね。

> で、どうするかですが、
> 二つの式から x^2 を消去した 直線　y = 2x - 2 は一体何を表わしているのでしょうか。
> 　ここに、問題の核心がありまして、
　はい，出題の意図はよく分かります。
すぐに思いつくのは，前回，第２５８回，の問題２：と同じ設定です。
でも，前回と同じ問題では意味ないですよね．．．
ごめんなさい，すぐには思い付かないです。

> 当初は　P(x,y)からＣ１、Ｃ２への接線で、長さが等しいとは
> Ｃ１への接線の長さとＣ２への接線の長さを等しいと円と同じように思っていましたが、
>
> 間違いであるようでして、
放物線は円のような対称性はないので，これは，そもそも無理そうですよね。

> 　で、土日に　お詫びをしながら、修正をしてサイトに載せたいと思います。
> 最悪は、削除まで考えていますけど。
いずれにせよお任せしますが，何か思いつかなければ，削除も止むなしかな，
と思います。

「７」「uchinyan」からの＜修正メールが届きました＞　06／１9　15：42　受信メール

なお，接線の長い方同士，短い方同士の長さが等しい場合の解ですが，
勘違い，計算違いなどがあり，x < 0，2 < x に解があるかないかは，
まだ分かっていません。
Web上の，
＞そして，どうやら，x <= 0，2 <= x には解はなく，0 < x < 2 の間だけで，
は，間違っている可能性が高いです。

＜水の流れ：最後に、　問題4につきましては　第２５８回の応募問題中にある問題２と同じですが、

差し替えさせていただき、重ねてお詫び申し上げます。＞

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。