平成２３年７月３日

[流れ星]

　　　　　第２６０回数学的な応募問題≧≧

　　　　　　＜解答募集期間：７月３日〜７月２４日

［ベルヌーイの不等式］

職場の数学科の先生から生徒が利用している家庭用参考書にある次の質問を受けました。

（それは問題２です）その問題を解くために必要な考えがベルヌーイの不等式です。

問題１： ベルヌーイの不等式　ｔ^ｎ−ｎｔ＋（ｎ−１）≧０

　　　　ただし、ｔ＞０　，ｎは２以上の自然数とする。

　　　　これを証明せよ。

　

問題２：ｎを自然数とするとき、２^２ｎ＋６ｎ−１が９で割りきれることを証明せよ。

　　　　ただし、数学的帰納法を用いないでください。

　

問題３：ｎを自然数とするとき、５^ｎ＋ａｎ＋ｂが１６で割りきれるような16以下の自然数ａ，ｂを求めよ。【出展：1997年一橋大学の入試問題】

問題４： 体積が２πの直円柱の中で表面積が最小となる直円柱の底面と半径を求めよ。

【出展：2001年東京女子医科大学の入試問題】

解法として、微分を使った方法、相加平均・相乗平均の利用があります。そして、他の方法でも考えてください。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。