平成２３年９月２５日

[流れ星]

　　　　　第２６３回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月4日〜9月25日

［準素数］

自然数には素数と合成数がある。ただ、１は素数でも合成数でもない。単位数という。

ここで、合成数であり、２、３、５のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。準素数を小さい順に３つ挙げると、４９、７７、９１です。２０１１以下の素数は３０５個ある。２０１１以下の準素数をいくつあるか。

＜水の流れ：「浜田明巳」さんから指摘があり、赤字で修正します。5日午後8時

お詫び：相変わらずミスがあり、申し訳ありません。今後もご愛顧賜りますようお願いします。＞

NO1「uchinyan」 09/04 12時17分受信 更新9/25

第２６３回数学的な応募問題への解答 を送ります。
準素数の定義が少しおかしい感じがするので，適当に解釈し直して解きました。

まずは，題意の確認から。

問題文は，2011/09/04 12:00 では，

＞自然数には素数と合成数がある。ただ、１は素数でも合成数でもない。単位数という。

＞ここで、自然数が２、３、５のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。

＞準素数を小さい順に３つ挙げると、４９、７７、９１です。

＞２０１１以下の素数は３０５個ある。２０１１以下の準素数をいくつあるか。

になっていますが，

「自然数が２、３、５のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。」

だと，準素数には 1 や素数が含まれるように読めます。しかし，

「準素数を小さい順に３つ挙げると、４９、７７、９１です。」

とあるので，準素数は 1 と素数を含まない定義のようなので，

「合成数が２、３、５のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。」

のことだと思って解くことにします。

この定義の下では，n までの準素数の個数は，

n から，

1 の 1 個＋素数の個数 を引き，

2，3，5 自体の 3 個は，次でそれぞれの倍数でさらに引くことになるので足し，

2，3，5 の倍数の個数 を引き，

2，3 の最小公倍数 6 の倍数，2，5 の最小公倍数 10 の倍数，3，5 の最小公倍数 15 の倍数，は，

それぞれ 2 回引いているので，それぞれの個数の和を足し，

2，3，5 の最小公倍数 30 の倍数が復活したので，その個数を引く，

で求められます。

つまり，[ ] をガウス記号として，n 以下の準素数の個数は，

n - (1 + (n 以下の素数の個数)) + 3

- ([n/2] + [n/3] + [n/5]) + ([n/6] + [n/10] + [n/15]) - [n/30]

例えば，91 〜 100 までの間には準素数はないので，100 以下の場合には，

100 - (1 + 25) + 3

- ([100/2] + [100/3] + [100/5]) + ([100/6] + [100/10] + [100/15]) - [100/30]

= 100 - 26 + 3 - (50 + 33 + 20) + (16 + 10 + 6) - 3

= 100 - 26 + 3 - 103 + 32 - 3

= 3

となって，確かに，49，77，91 の 3 個に一致します。

同様にして，n = 2011 の場合は，

2011 - (1 + 305) + 3

- ([2011/2] + [2011/3] + [2011/5]) + ([2011/6] + [2011/10] + [2011/15]) - [2011/30]

= 2011 - 306 + 3 - (1005 + 670 + 402) + (335 + 201 + 134) - 67

= 2011 - 306 + 3 - 2077 + 670 - 67

= 234 個よかったでしょうか。

NO2「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/05 21時13分受信 更新9/25

まだまだ夏が頑張ってくれてるので嬉しいわたしです...♪
前回のお褒めの言葉は友人に伝えさせていただきました Orz
非常にシャイな男です...きっと喜んでいると思います♡

今回のは...ようは...
合成数から 2,3,5 で割れないものから素数を除いたものならいいと理解できるので...

2011/2=1005
2011/3=670
2011/5=402

2011/6=335
2011/10=201
2011/15=134

2011/30=67

2011-(1005+670+402)+(335+201+134)-67=537
537-305-1=231 個
でいいかな ^^v

＜水の流れ：　おしい！素数３０５個には　２、３、５が入っていますから、除いて、引いてください。それが答えです。＞

今回の意図は　高校生向けにと思い作問しました。＞

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 09/06 22時24分受信 更新9/25

そっか...
最初の、2,3,5の倍数のところで引いてるから...
二重に引いちゃうことになるわけでした...^^;...

けっきょく...231+3=234
になるんですねぇ Orz〜...奇麗な並びの数ですね♡

スモークマン＠...題意を掴むのに少々戸惑いました...Orz.

NO3「浜田明巳」 09/10 14時24分受信 更新9/25

エクセルのマクロで解きました．答は２３４通りです．
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Dim n As Integer
    Dim deta As Integer
    Dim j As Integer
    For n = 2 To 2011
deta = 0
       j = 2
       While deta = 0 And j < n
          If n Mod j = 0 Then
deta = 1
          Else
             j = j + 1
          End If
       Wend
       If deta * (n Mod 2) * (n Mod 3) * (n Mod 5) > 0 Then
          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
          Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = n
          Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
       End If
    Next n
    Range("A1").Select
End Sub

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。