平成２４年２月５日

[流れ星]

　　　　　第２６９回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：1月15日〜2月5日

［面積の最小］

問題１：直線ｙ＝ｍ（ｘ−２）＋６と放物線ｙ＝ｘ^２で囲まれた部分の面積Ｓを最小にするｍの値を次の方法で求めよ。

（１）ｙ＝ｘ^２を点（２，６）に関して対称に移したときの方程式を求めよ。

（２）上の２放物線の交点を通る直線とｙ＝ｘ^２で囲まれた部分の面積をＴとするとき、ＳとＴの大小を調べよ。

（３）ｍの値を求めよ。

問題２：直線ｙ＝ｍｘ＋２（ｍ＞０）と曲線ｙ＝ｅ^ｘで囲まれた部分の面積Ｓを最小にするｍの値を求めよ。

NO1「uchinyan」 01/15 15時06分受信

「uchinyan」 01/26 17時18分受信 更新2/5

問題１：(1)

(2,6) に関して (x,y) と (X,Y) が対称とすると，

(x + X)/2 = 2, (y + Y)/2 = 6, X = 4 - x, Y = 12 - y

そこで，Y = X^2 の対称なものは，

12 - y = (4 - x)^2

y = - (x - 4)^2 + 12

y = - x^2 + 8x - 4

(2)

(1)の二つの放物線の交点を通る直線は，両式から x^2 の項を消去したものなので，

2y = 8x - 4

y = 4x - 2 = 4(x - 2) + 6

これは，(2,6) を通り傾き 4 の直線，です。

また，図の対称性より，

この直線と y = x^2 とで囲まれた部分は，(1)の二つの放物線で囲まれる部分の半分の領域になり，

その面積 T は(1)の二つの放物線で囲まれる部分の面積の半分になります。

一方で，やはり，図の対称性より，

y = m(x - 2) + 6 は(1)の二つの放物線で囲まれる部分を半分にし，

さらに y = x^2 とで囲まれた部分はそれをはみ出すので，

明らかに，S >= T，等号は m = 4，になります。

(3)

(2)より，m = 4，です。

問題２：

問題１：と同様に，(0,2) に関して y = e^x に対称な曲線を考えると，

(x + X)/2 = 0, (y + Y)/2 = 2, X = - x, Y = 4 - y

Y = e^X，4 - y = e^(-x)，y = 4 - e^(-x)

この曲線と y = e^x との交点は，

y = 4 - 1/y，y^2 - 4y + 1 = 0，y = 2 ± √3，x = log(2 ± √3)

なので，交点を通る直線は，

y - (2 - √3) = ((2 + √3) - (2 - √3))/(log(2 + √3) - log(2 - √3)) * (x - log(2 - √3))

y = (2√3)/(2log(2 + √3)) * (x - log(2 - √3)) + (2 - √3)

= √3/log(2 + √3) * x - √3/log(2 + √3) * log(2 - √3) + (2 - √3)

= √3/log(2 + √3) * x - √3/log(2 + √3) * log(1/(2 + √3)) + (2 - √3)

= √3/log(2 + √3) * x + √3/log(2 + √3) * log(2 + √3) + (2 - √3)

= √3/log(2 + √3) * x + √3 + (2 - √3) = √3/log(2 + √3) * x + 2

つまり，

y = √3/log(2 + √3) * x + 2

これは，(0,2) を通り傾き √3/log(2 + √3) の直線，です。

問題１：の(2)と同様に，図の対称性よりこの場合が囲まれる部分の面積が最小になるので，

m = √3/log(2 + √3) になります。

(検算) = (別解)

問題１：

y = m(x - 2) + 6 と y = x^2 との交点の x 座標を α < β とすると，これらは，

x^2 = m(x - 2) + 6，x^2 - mx + (2m - 6) = 0

の実数解なので，解と係数の関係より，

α + β = m，αβ = 2m - 6

そこで，

S = ∫[α,β]{(m(x - 2) + 6) - x^2}dx = ∫[α,β]{(x - α)(β - x)}dx

= [(x - α)^2/2 * (β - x)][α,β] - ∫[α,β]{(x - α)^2/2 * (-1)}dx

= [(x - α)^3/6][α,β] = (β - α)^3/6

= (√((β - α)^2))^3/6 = (√((α + β)^2 - 4αβ))^3/6

= (√(m^2 - 8m + 24))^3/6 = (√((m - 4)^2 + 8))^3/6

から，m = 4 で最小値 8√2/3 を取ります。

問題２：

y = mx + 2 と y = e^x との交点の x 座標を α < β とすると，これらは，

e^x = mx + 2

の実数解で，α，βは m の関数です。

そこで，

S(m) = ∫[α,β]{(mx + 2) - e^x}dx = m * ∫[α,β]{x}dx + ∫[α,β]{2 - e^x}dx

これより，

dS/dm = ∫[α,β]{x}dx + m * d(∫[α,β]{x}dx)dm + d(∫[α,β]{2 - e^x}dx)/dm

= (β^2 - α^2)/2 + (mβ + 2 - e^β) * dβ/dm - (mα + 2 - e^α) * dα/dm

= (β - α)(β + α)/2

ここで，α < β なので，グラフより m と交点の様子を調べると，

α = - β <= 0 <= β，を与える m のときに，S は極小かつ最小になることが分かります。

そして，このとき，

e^β = mβ + 2 = - (- mβ + 2) + 4 = - (mα + 2) + 4 = - e^α + 4 = - e^(-β) + 4

(e^β)^2 - 4(e^β) + 1 = 0

1 <= e^β より，e^β = 2 + √3，β = log(2 + √3)，になって，

m = (e^β - 2)/β = √3/log(2 + √3)

になります。

(感想)

なかなか興味深い問題でした。

問題１：は，直接に計算しても，一応標準的にできますが，

問題２：は，e^x = mx + 2 はうまく解けないので，一工夫しないとうまくいかないようです。

出題されている手法ならば，いづれも簡単に求まりますね。大変勉強になりました。