平成２４年２月２６日

[流れ星]

　　　　　第２７０回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：2月5日〜2月26日

［放物線上の点］

　問題１：

（１）ｘ^２の係数が２である放物線上にｘ座標が１，２，４である点Ａ，Ｂ，Ｃがある。このとき、三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

（２）ｘ^２の係数がaで下に凸の放物線上にｘ座標がα、β、γ（α＜β＜γ）である点Ａ，Ｂ，Ｃがある。このとき、三角形ＡＢＣの面積をａ、α、β、γで表せ。

問題２：傾きがｍと―ｍである２直線がある放物線と異なる４点で交わるとき、この４点が同一円周上にあることを証明せよ。

ＮＯ１「uchinyan」 02/05 16時14分受信

「uchinyan」 02/06 17時11分受信 更新2/26

問題１：(1)＆(2)

(2)から解いてしまいましょう。

放物線は,y = ax^2 + bx + c，a > 0，と書けます。そこで，

A(α,aα^2 + bα + c)，B(β,aβ^2 + bβ + c)，C(γ,aγ^2 + bγ + c)

です。ここで，一般に，P(p1,p2)，Q(q1,q2)，R(r1,r2) のときに

△PQR = |(q1 - p1)(r2 - p2) - (q2 - p2)(r1 - p1)|/2

はよく知られているので，これを使うと，α < β < γ にも注意して，

△ABC

= |(β - α)((aγ^2 + bγ + c) - (aα^2 + bα + c)) - ((aβ^2 + bβ + c) - (aα^2 + bα + c))(γ - α)|/2

= |(β - α)(γ - α)(a(α + γ) + b) - (β - α)(a(β + α) + b)(γ - α)|/2

= (β - α)(γ - α)|(a(α + γ) + b) - (a(β + α) + b)|/2

= (β - α)(γ - α)|(a(γ - β)|/2

= a(β - α)(γ - α)(γ - β)/2

つまり，(2)は，

△ABC = a(β - α)(γ - α)(γ - β)/2

になります。

(1)は，a = 2，α = 1，β = 2，γ = 4，なので，

△ABC = 2(2 - 1)(4 - 1)(4 - 2)/2 = 6

になります。

問題２：

まず，放物線を対称軸が y 軸に平行な下に凸なもの，としても一般性を失いません。

また，傾きが m と - m である二直線が異なる四点で交わるので，m > 0 としてよく，

したがって，これら二直線自体も交わります。

そこで，二直線の交点を原点とし，

二直線を，y = mx，y = - mx，m > 0

放物線を，y = ax^2 + bx + c，a > 0

とおきます。

さらに，異なる四つの交点を A，B，C，D，それらの x 座標を α < β < γ < δ，とします。

さて，まず，一般に，α < β < γ < δ として，放物線上の異なる四点，

A(α,aα^2 + bα + c)，B(β,aβ^2 + bβ + c)，C(γ,aγ^2 + bγ + c)，D(δ,aδ^2 + bδ + c)

が同一円周上にある条件を考えます。

これは，A，B，C を通る円と A，B，D を通る円とが一致する，と考えればいいです。

そこで，まず，A，B，C を通る円を考えます。

まず，AB，ACの垂直二等分線がいずれも y 軸に平行でない場合を考えます。

AB の垂直二等分線は，

y - ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c))/2

= - (β - α)/((aβ^2 + bβ + c) - (aα^2 + bα + c)) * (x - (α + β)/2)

= - (β - α)/(β - α)(a(β + α) + b) * (x - (α + β)/2)

= - 1/(a(β + α) + b) * (x - (α + β)/2)

AC の垂直二等分線は，

y - ((aα^2 + bα + c) + (aγ^2 + bγ + c))/2

= - (γ - α)/((aγ^2 + bγ + c) - (aα^2 + bα + c)) * (x - (α + γ)/2)

= - (γ - α)/(γ - α)(a(γ + α) + b) * (x - (α + γ)/2)

= - 1/(a(γ + α) + b) * (x - (α + γ)/2)

そこで，

((aγ^2 + bγ + c) - (aβ^2 + bβ + c))/2

= 1/(a(γ + α) + b) * (x - (α + γ)/2) - 1/(a(β + α) + b) * (x - (α + β)/2)

(γ - β)(a(γ + β) + b)/2 = - (γ - β)(2ax + b)/2(a(β + α) + b)(a(γ + α) + b)

(a(γ + β) + b)(a(β + α) + b)(a(γ + α) + b) = - 2ax - b

x = - ((a(α + β) + b)(a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b) + b)/2a

y - ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c))/2

= - 1/(a(β + α) + b) * (- (a(α + β) + b)(a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b) + b)/2a - (α + β)/2)

= (a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b)/2a + (a(α + β) + b)/2(a(β + α) + b)

= (a^2(γ^2 + (α + β)γ + αβ) + ab(γ + (α + β + γ)) + b^2)/2a + 1/2

y = ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c) + (aγ^2 + bγ + c))/2

+ (a(αβ + βγ + γα) + b(α + β + γ))/2 + (b^2 - ac + a)/2

そこで，次の (x1,y1) が A，B，C を通る円の中心になります。

x1 = - ((a(α + β) + b)(a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b) + b)/2a

y1 = ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c) + (aγ^2 + bγ + c))/2

+ (a(αβ + βγ + γα) + b(α + β + γ))/2 + (b^2 - ac + a)/2

次に，垂直二等分線が y 軸に平行になる場合です。

明らかに，二本とも平行になることはありえません。

そこで，まず，AC の垂直二等分線が y 軸に平行になる場合を考えます。

このとき，a(γ + α) + b = 0 で，AC の垂直二等分線は x = (α + γ)/2 = - b/2a です。

これは x1 で a(γ + α) + b = 0 とした場合と一致しています。

また，AB の垂直二等分線は y 軸と平行でないので先ほどと同じで，y1 も一致します。

AB の垂直二等分線が y 軸に平行になる場合も同様で，先ほどのに特殊な場合として含まれています。

結局，すべての場合で，円の中心は (x1,y1) になります。

同様にして，A，B，D を通る円の中心は次の (x2,y2) です。

x2 = - (a(α + β) + b)(a(β + δ) + b)(a(δ + α) + b) + b)/2a

y2 = ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c) + (aδ^2 + bδ + c))/2

+ (a(αβ + βδ + δα) + b(α + β + δ))/2 + (b^2 - ac + a)/2

二つの円が一致するには，これら中心が一致することが必要です。

逆に中心が一致すれば A，B が共通なので半径も一致し，二つの円は完全に一致します。

つまり，A，B，C，D が同一円周上にある条件は，これら中心が一致することです。

これは，

x1 = x2

- (a(α + β) + b)(a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b) + b)/2a

= - (a(α + β) + b)(a(β + δ) + b)(a(δ + α) + b) + b)/2a

(a(α + β) + b)(a(β + γ) + b)(a(γ + α) + b)

= (a(α + β) + b)(a(β + δ) + b)(a(δ + α) + b)

a(α + β) + b = 0　又は　a(α + β + γ + δ) + 2b = 0

かつ

y1 = y2

((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c) + (aγ^2 + bγ + c))/2

+ (a(αβ + βγ + γα) + b(α + β + γ))/2 + (b^2 - ac + a)/2

= ((aα^2 + bα + c) + (aβ^2 + bβ + c) + (aδ^2 + bδ + c))/2

+ (a(αβ + βδ + δα) + b(α + β + δ))/2 + (b^2 - ac + a)/2

aγ^2 + bγ + a(βγ + γα) + bγ = aδ^2 + bδ + a(βδ + δα) + bδ

a(α + β + γ + δ) + 2b = 0

つまり，

(a(α + β) + b = 0　又は　a(α + β + γ + δ) + 2b = 0)　かつ　a(α + β + γ + δ) + 2b = 0

となって，結局，A，B，C，D が同一円周上にある条件は，

a(α + β + γ + δ) + 2b = 0

になります。

さて， y = mx，y = - mx の場合に戻ります。

このとき，グラフの状況によって詳細には幾つかの場合がありえますが，少なくとも常に，

α，β，γ，δは，

いずれか二つずつが，ax^2 + (b + m)x + c = 0 又は ax^2 + (b - m)x + c = 0 の解，

になっているので，

a(α + β + γ + δ) + 2b = a(- (b + m)/a - (b - m)/a) + 2b = - 2b + 2b = 0

で成立します。

以上より，傾きが m と - m である二直線が放物線と異なる四点で交わるとき，

この四点が同一円周上にあることが証明できました。

(別解)

水の流れさんから頂いたヒントに基づいた別解です。すごく簡単になってしまいました (^^;

問題１：(1)＆(2)

(2)から解いてしまいましょう。

放物線は,

y = ax^2 + bx + c，a > 0，と書けます。

また，A，B，C から x 軸に下ろした垂線の足を H，I，J とし，BI の延長と AC の交点を D とします。

さらに，AC の式を y = mx + n とします。すると，

BD = (mβ + n) - (aβ^2 + bβ + c) = - a(β - α)(β - γ) = a(β - α)(γ - β)

△ABC = BD * HJ * 1/2 = a(β - α)(γ - β) * (γ - α) * 1/2 = a(β - α)(γ - α)(γ - β)/2

つまり，(2)は，

△ABC = a(β - α)(γ - α)(γ - β)/2

になります。

(1)は，a = 2，α = 1，β = 2，γ = 4，なので，

△ABC = 2(2 - 1)(4 - 1)(4 - 2)/2 = 6

になります。

問題２：

まず，放物線を対称軸が y 軸に平行な下に凸なもの，としても一般性を失いません。

また，傾きが m と - m である二直線が異なる四点で交わるので，m > 0 としてよく，

したがって，これら二直線自体も交わります。

そこで，二直線の交点を原点とし，

二直線を，y = mx，y = - mx，m > 0

放物線を，y = ax^2 + bx + c，a > 0

とおきます。

さらに，異なる四つの交点を A，B，C，D，それらの x 座標を α < β < γ < δ，とします。

すると，点の位置関係によって，次の場合が考えられます。

(1) O，A，B が同一直線上にあり，O，C，D が同一直線上にある。

(2) O，A，C が同一直線上にあり，O，B，D が同一直線上にある。

(3) O，A，D が同一直線上にあり，O，B，C が同一直線上にある。

これらに対して，方べきの定理の逆により，

(1)では OA * OB = OC * OD

(2)では OA * OC = OB * OD

(3)では OA * OD = OB * OC

がそれぞれいえていれば，この四点が同一円周上にあることになります。

ところが，

OA = |α|√(1 + m^2)，OB = |β|√(1 + m^2)，OC = |γ|√(1 + m^2)，OD = |δ|√(1 + m^2)

α，β，γ，δは，ax^2 + (b + m)x + c = 0 又は ax^2 + (b - m)x + c = 0 の解

であることから，

(1)の場合

O，A，B が同一直線上にあり，O，C，D が同一直線上にあるので，

αとβが一つの同じ方程式の解，γとδがもう一つの同じ方程式の解，となって，

OA * OB = (1 + m^2)|αβ| = (1 + m^2)|c/a| = (1 + m^2)|γδ| = OC * OD で成立。

(2)の場合

O，A，C が同一直線上にあり，O，B，D が同一直線上にあるので，

αとγが一つの同じ方程式の解，βとδがもう一つの同じ方程式の解，となって，

OA * OC = (1 + m^2)|αγ| = (1 + m^2)|c/a| = (1 + m^2)|βδ| = OB * OD で成立。

(3)の場合

O，A，D が同一直線上にあり，O，B，C が同一直線上にあるので，

αとδが一つの同じ方程式の解，βとγがもう一つの同じ方程式の解，となって，

OA * OD = (1 + m^2)|αδ| = (1 + m^2)|c/a| = (1 + m^2)|βγ| = OB * OC で成立。

となって，いずれの場合も成立します。

以上より，傾きが m と - m である二直線が放物線と異なる四点で交わるとき，

この四点が同一円周上にあることが証明できました。

(感想)

最初，問題１：は，三角形の面積の公式のおかげであっさりでしたが，

問題２：は，そのようなものが思い付かなかったので，難しくはないものの，計算が面倒になりました。

しかし，結果はきれいなので，もう少し簡単にできるのかな，と思ったのですが，

解答送付後の水の流れさんからのメールにあったヒントから，(別解)のような簡単な解法にたどり着きました。

ちょっとした発想の転換で大分変わってしまうのは，数学の醍醐味の一つですね。

ＮＯ２「浜田明巳」 02/08 13時55分受信 更新2/26

問題１：
(2)
　放物線の方程式を
　　ｙ＝ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）
とすると，
　　Ａ(α，ａα^２＋ｂα＋ｃ)，Ｂ(β，ａβ^２＋ｂβ＋ｃ)，Ｃ(γ，ａγ^２＋ｂγ＋ｃ)
　直線ＡＣの方程式は，α＜γから，
　　ｙ＝{(ａγ^２＋ｂγ＋ｃ)−(ａα^２＋ｂα＋ｃ)}／(γ−α)・(ｘ−α)＋(ａα^２＋ｂα＋ｃ)
　　∴ｙ＝{ａ(γ＋α)＋ｂ}(ｘ−α)＋ａα^２＋ｂα＋ｃ
　　∴ｙ＝{ａ(α＋γ)＋ｂ}ｘ−ａαγ＋ｃ
　点Ｄを，ｘ座標がβで，この直線上の点とすると
　　Ｄ(β，{ａ(α＋γ)＋ｂ}β−ａ αγ＋ｃ)
　この放物線は下に凸の放物線であるから，Ｄの方がＢより上にある．
　　∴ＢＤ＝[{ａ(α＋γ)＋ｂ}β−ａαγ＋ｃ]−(ａβ^２＋ｂβ＋ｃ)
　　　　　＝ａαβ＋ａβγ＋ｂβ−ａαγ＋ｃ−ａβ^２−ｂβ−ｃ＝ａ(αβ＋βγ−αγ−β^２)
　　　　　＝ａ{α(β−γ)＋β(γ−β)}＝ａ(β−α)(γ−β)
　　∴△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＣＢＤ＝１／２・ＢＤ・(Ｃのｘ座標−Ａのｘ座標)＝ａ(β−α)(γ−β)(γ−α)／２


(1)
　(2)の答において，ａ＝２，α＝１，β＝２，γ＝４とすればよいので，面積は，
　　２(２−１)(４−２)(４−１)／２＝６

^-問題２：
　放物線，直線の方程式をｙ＝ａｘ^２，ｙ＝ｍｘ＋ｐ，ｙ＝−ｍｘ＋ｑ（ａ＞０，ｍ＞０）としてよい．
　ｙ＝ａｘ^２とｙ＝ｍｘ＋ｐの交点をＡ(α，ａα^２)，Ｂ(β，ａβ^２)（α＞β），ｙ＝ａｘ^２とｙ＝−ｍｘ＋ｑの交点をＣ(γ，ａγ^２)，Ｄ(δ，ａδ^２)（γ＞δ，α≠γ）とする．
　Ａ，Ｂのｘ座標を求める．
　　ａｘ^２＝ｍｘ＋ｐ　　から，
　　ａｘ^２−ｍｘ−ｐ＝０
　解と係数の関係から，
　　α＋β＝ｍ／ａ，αβ＝−ｐ／ａ
　また，α＞β，ａ＞０から，
　　α＝{ｍ＋(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２}／(２ａ)（ただしｍ^２＋４ａｐ＞０）
　ＡＢの中点のｘ座標は，
　　(α＋β)／２＝(ｍ／ａ)／２＝ｍ／(２ａ)
　ｙ座標は，
　　(ａα^２＋ａβ^２)／２＝ａ／２・(α^２＋β^２)＝ａ／２・{(α＋β)^２−２αβ}＝ａ／２・(ｍ^２／ａ^２＋２ｐ／ａ)＝ｍ^２／(２ａ)＋ｐ
　故にＡＢの垂直二等分線の方程式は，
　　ｙ＝−１／ｍ・{ｘ−ｍ／(２ａ)}＋ｍ^２／(２ａ)＋ｐ＝−１／ｍ・ｘ＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｐ
　同様にＣＤの垂直二等分線の方程式は，
　　ｙ＝１／ｍ・ｘ＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｑ
　２つの垂直二等分線の交点Ｏの座標を求める．
　　−１／ｍ・ｘ＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｐ＝１／ｍ・ｘ＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｑ
から，
　　２／ｍ・ｘ＝ｐ−ｑ
　　∴ｘ＝ｍ(ｐ−ｑ)／２
　　∴ｙ＝−１／ｍ・ｍ(ｐ−ｑ)／２＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｐ＝(ｑ−ｐ)／２＋(１＋ｍ^２)／(２ａ)＋ｐ＝{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}／(２ａ)
　　∴Ｏ(ｍ(ｐ−ｑ)／２，{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}／(２ａ))
　　∴ＯＡ^２＝{ｍ(ｐ−ｑ)／２−α}^２＋[{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}／(２ａ)−ａα^２]^２，
　　　ＯＣ^２＝{ｍ(ｐ−ｑ)／２−γ}^２＋[{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}／(２ａ)−ａγ^２]^２
　　∴ＯＡ^２−ＯＣ^２＝ｍ(ｐ−ｑ)(γ−α)＋(α^２−γ^２)＋{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}／ａ・(ａγ^２−ａα^２)＋ａ^２(α^４−γ^４)
　α≠γから，
　　(ＯＡ^２−ＯＣ^２)／(γ−α)＝ｍ(ｐ−ｑ)−(α＋γ)＋{ａ(ｐ＋ｑ)＋１＋ｍ^２}(α＋γ)−ａ^２(α^２＋γ^２)(α＋γ)
　　∴(ＯＡ^２−ＯＣ^２)／(γ−α)−ｍ(ｐ−ｑ)＝{ａ(ｐ＋ｑ)＋ｍ^２−ａ^２(α^２＋γ^２)}(α＋γ)
　ここで，
　　α＝{ｍ＋(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２}／(２ａ)，
　　γ＝{−ｍ＋(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ)（ｍ^２＋４ａｐ＞０，ｍ^２＋４ａｑ＞０）
であるから，
　　α＋γ＝{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２＋(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ)
　また，
　　α^２＝{ｍ^２＋２ｍ(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２＋(ｍ^２＋４ａｐ)}／(４ａ^２)＝{ｍ^２＋２ａｐ＋ｍ(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２}／(２ａ^２)
　　γ^２＝{ｍ^２＋２ａｑ−ｍ(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ^２)
　　∴α^２＋γ^２＝[２ｍ^２＋２ａ(ｐ＋ｑ)＋ｍ{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２−(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}]／(２ａ^２)
　　∴(ＯＡ^２−ＯＣ^２)／(γ−α)−ｍ(ｐ−ｑ)
　　＝（ａ(ｐ＋ｑ)＋ｍ^２−ａ^２[２ｍ^２＋２ａ(ｐ＋ｑ)＋ｍ{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２−(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}]／(２ａ^２)）・{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２＋(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ)
　　＝[ａ(ｐ＋ｑ)＋ｍ^２−ｍ^２−ａ(ｐ＋ｑ)−ｍ／２・{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２−(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}]・{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２＋(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ)
　　＝−ｍ／２・{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２−(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}・{(ｍ^２＋４ａｐ)^１／２＋(ｍ^２＋４ａｑ)^１／２}／(２ａ)
　　＝−ｍ／(４ａ)・{(ｍ^２＋４ａｐ)−(ｍ^２＋４ａｑ)}
　　＝−ｍ／(４ａ)・(４ａｐ−４ａｑ)
　　＝−ｍ(ｐ−ｑ)
　　∴(ＯＡ^２−ＯＣ^２)／(γ−α)＝０
　　∴ＯＡ＝ＯＣ
　ＯはＡＢ，ＣＤの垂直二等分線上の点なので，
　　ＯＡ＝ＯＢ，ＯＣ＝ＯＤ
　　∴ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ
　故に４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは，Ｏを中心とする同一円周上にある．
（腕力の勝負でした）

ＮＯ３「su-chang」 02/21 15時11分受信 更新2/26　　

寄せられた解答です。

＜みずの流れ：「su-chang」さんは大垣南高校の教え子です＞

ＮＯ４「ice」 03/14 21時37分受信 更新3/18

　

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

メールで送ってください。待っています。