平成２４年３月１８日
[流れ星]
第２７１回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：2月26日〜3月18日
［解法は何通り］
今回は、解法が一体幾通りあるかを考える問題です。皆さんは何通り思いつきましたか。可能な限りの発想を教えてください。。
問題 実数ｘ、ｙがｘ２＋ｙ２＝１を満たすとき、３ｘ＋４ｙの最大値、最小値とそのときの値を求めよ。
ＮＯ１「uchinyan」 02/26 15時21分受信
「uchinyan」 03/02 13時50分受信
「uchinyan」 03/02 17時16分受信
「uchinyan」 03/04 12時00分受信
「uchinyan」 03/05 14時16分受信
更新3/18
問題
実数 x，y が x^2 + y^2 = 1 を満たすとき，3x + 4y の最大値，最小値とそのときの値を求めよ。
(解法1)
(3x + 4y)^2 + (4x - 3y)^2 = (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25 * 1 = 25
(3x + 4y)^2 = 25 - (4x - 3y)^2 <= 25，等号は，4x - 3y = 0
これより，
-5 <= 3x + 4y <= 5，等号は，-5 のとき x = -3/5，y = -4/5，5 のとき x = 3/5，y = 4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法2)
コーシー・シュワルツの不等式より，
25 = 25 * 1 = (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) >= (3x + 4y)^2，等号は，x/3 = y/4
-5 <= 3x + 4y <= 5，等号は，-5 のとき x = -3/5，y = -4/5，5 のとき x = 3/5，y = 4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法3)
まず明らかに，3x + 4y が，
最大になるのは x > 0 かつ y > 0 のとき，最小になるのは x < 0 かつ y < 0 のとき，
です。そこで．．．
x > 0 かつ y > 0 のとき
(3x + 4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2 = 9x^2 + 2(4x)(3y) + 16y^2
ここで，相加相乗平均を使うと，
<= 9x^2 + (16x^2 + 9y^2) + 16y^2 = 25(x^2 + y^2) = 25 * 1 = 25
0 < 3x + 4y <= 5，等号は，4x = 3y > 0，x = 3/5，y = 4/5
x < 0 かつ y < 0 のとき
x = - x'，y = - y' とおくと，x' > 0 かつ y' > 0 なので，同じようにして，
0 < 3x' + 4y' <= 5，等号は，4x' = 3y' > 0，x' = 3/5，y' = 4/5
-5 <= 3x + 4y < 0，等号は，4x = 3y < 0，x = -3/5，y = -4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法4)
まず明らかに，3x + 4y が，
最大になるのは x > 0 かつ y > 0 のとき，最小になるのは x < 0 かつ y < 0 のとき，
です。そこで．．．
x > 0 かつ y > 0 のとき
3x + 4y = 5(3/5 * x + 4/5 * y)
ここで，相加相乗平均を使うと，
<= 5(((3/5)^2 + x^2)/2 + ((4/5)^2 + y^2)/2) = 5((1 + x^2 + y^2)/2) = 5((1 + 1)/2) = 5
0 < 3x + 4y <= 5，等号は，x = 3/5，y = 4/5
x < 0 かつ y < 0 のとき
x = - x'，y = - y' とおくと，x' > 0 かつ y' > 0 なので，同じようにして，
0 < 3x' + 4y' <= 5，等号は，x' = 3/5，y' = 4/5
-5 <= 3x + 4y < 0，等号は，x = -3/5，y = -4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法5)
3x + 4y = k とおいて x^2 + y^2 = 1 の y を消去すると，
16x^2 + (k - 3x)^2 = 16，25x^2 - 6kx + (k^2 - 16) = 0
x は実数なので，この x の二次方程式が実数解をもつことが必要十分で，
判別式/4 = (3k)^2 - 25(k^2 - 16) >= 0，k^2 <= 25，-5 <= k <= 5
そこで，k = -5 のとき x = -3/5，k = 5 のとき x = 3/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法6)
3x + 4y = k とおいて x^2 + y^2 = 1 の y を消去すると，
16x^2 + (k - 3x)^2 = 16，25x^2 - 6kx + (k^2 - 16) = 0
ここで，x は実数なので，x の二次関数
f(x) = 25x^2 - 6kx + (k^2 - 16) = 25(x - 3k/25)^2 + 16(k^2 - 25)/25
が x 軸と共有点をもてばいいので，
16(k^2 - 25)/25 <= 0，k^2 <= 25，-5 <= k <= 5
そこで，k = -5 のとき x = -3/5，k = 5 のとき x = 3/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法7)
x^2 + y^2 = 1 より，x = cosθ，y = sinθ，0 <= θ < 2π，と書けるので，
3x + 4y = 3cosθ + 4sinθ = 5(3/5 * cosθ + 4/5 * sinθ)
ここで，sinα = 3/5，cosα = 4/5 とおくと，
= 5(sinα * cosθ + cosα * sinθ) = 5sin(θ+α)
0 < α <= θ+α < 2π+α なので，
-5 <= 3x + 4y <= 5，等号は，5 のとき θ+α = π/2，-5 のとき θ+α = 3π/2
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法8)
x^2 + y^2 = 1 より，x = cosθ，y = sinθ，0 <= θ < 2π，と書けるので，
f(θ) = 3x + 4y = 3cosθ + 4sinθ
f'(θ) = - 3sinθ + 4cosθ = 5(4/5 * cosθ - 3/5 * sinθ)
ここで，cosα = 3/5，sinα = 4/5 とおくと，
= 5(sinα * cosθ - cosα * sinθ) = - 5sin(θ-α)
0 <= θ < α，f'(θ) > 0，f(θ) は単調増加
θ = α，f'(θ) = 0，f(θ) = 5 は極大かつ最大
α < θ < α+π，f'(θ) < 0，f(θ) は単調減少
θ = α+π，f'(θ) = 0，f(θ) = -5 は極小かつ最小
α+π < θ < 2π，f'(θ) > 0，f(θ) は単調増加
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法9)
x^2 + y^2 = 1 より，t を実数として，x = (1 - t^2)/(1 + t^2)，y = 2t/(1 + t^2) とおけ，
3x + 4y = 3(1 - t^2)/(1 + t^2) + 8t/(1 + t^2) = k とします。すると，
(k + 3)t^2 - 8t + (k - 3) = 0
この t についての二次方程式が実数解をもてばいいので，
判別式/4 = 4^2 - (k + 3)(k - 3) >= 0，k^2 <= 25，-5 <= k <= 5
そこで，k = -5 のとき t = -2，k = 5 のとき t = 1/2 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法10)
x^2 + y^2 = 1 より，t を実数として，x = (1 - t^2)/(1 + t^2)，y = 2t/(1 + t^2) とおけ，
f(t) = 3x + 4y = 3(1 - t^2)/(1 + t^2) + 8t/(1 + t^2) = (- 3t^2 + 8t + 3)/(t^2 + 1)
f'(t) = ((- 6t + 8)(t^2 + 1) - (- 3t^2 + 8t + 3)(2t))/(t^2 + 1)^2
= (- 8t^2 - 12t + 8)/(t^2 + 1)^2 = - 4(t + 2)(2t - 1)/(t^2 + 1)^2
t < -2，f'(t) > 0，f(t) は単調減少
t = -2，f'(t) = 0，f(t) = -5 は極小かつ最小
-2 < t < 1/2，f'(t) < 0，f(t) は単調増加
t = 1/2，f'(t) = 0，f(t) = 5 は極大かつ最大
1/2 < t，f'(t) > 0，f(t) は単調減少
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法11)
3x + 4y = k とおくと，t を実数として，x = 4t + 3k/25，y = - 3t + 4k/25 と書けます。
これを x^2 + y^2 = 1 に代入して，
x^2 + y^2 = (4t + 3k/25)^2 + (- 3t + 4k/25)^2 = 25t^2 + k^2/25 = 1
k^2 = 25 - 625t^2 <= 25，等号は，t = 0，x = 3k/25，y = 4k/25
-5 <= k = 3x + 4y <= 5，等号は，-5 のとき x = -3/5，y = -4/5，5 のとき x = 3/5，y = 4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法12)
x^2 + y^2 = 1 より，y = ±√(1 - x^2)，-1 <= x <= 1
y = √(1 - x^2) のとき
f(x) = 3x + 4y = 3x + 4√(1 - x^2)
f'(x) = 3 - 4x/√(1 - x^2) = (3√(1 - x^2) - 4x)/√(1 - x^2)
ここで，y = √(1 - x^2) と y = 4x/3 のグラフを考慮すると，
x -> -1+0，f'(x) > 0，f(x) = -3 は単調増加
-1 <= x < 3/5，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
x = 3/5，f'(x) = 0，f(x) = 5 は極大かつ最大
3/5 < x < 1，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
x -> 1-0，f'(x) < 0，f(x) = 3 は単調増加
y = - √(1 - x^2) のとき
f(x) = 3x + 4y = 3x - 4√(1 - x^2)
f'(x) = 3 + 4x/√(1 - x^2) = (3√(1 - x^2) + 4x)/√(1 - x^2)
ここで，y = √(1 - x^2) と y = - 4x/3 のグラフを考慮すると，
x -> -1+0，f'(x) < 0，f(x) = -3 は単調減少
-1 < x < -3/5，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
x = -3/5，f'(x) = 0，f(x) = -5 は極小かつ最小
-3/5 < x < 1，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
x -> 1-0，f'(x) > 0，f(x) = 3 は単調増加
そこで，以上より，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法13) 水の流れさんからの示唆
x^2 + y^2 = 1 より，2x + 2yy' = 0，y' = - x/y なので，
f(x) = 3x + 4y とおくと，f'(x) = 3 + 4y' = 3 - 4x/y = (3y - 4x)/y です。そこで，
3y - 4x > 0 かつ y > 0 のとき，-1 < x < 3/5，y > 0，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
3y - 4x = 0 かつ y > 0 のとき，x = 3/5，y = 4/5，f'(x) = 0，f(x) = 5 は極大かつ最大
3y - 4x < 0 かつ y > 0 のとき，3/5 < x < 1，y > 0，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
3y - 4x > 0 かつ y < 0 のとき，-1 < x < -3/5，y < 0，f'(x) < 0，f(x) は単調減少
3y - 4x = 0 かつ y < 0 のとき，x = -3/5，y = -4/5，f'(x) = 0，f(x) = -5 は極小かつ最小
3y - 4x < 0 かつ y < 0 のとき，-3/5 < x < 1，y < 0，f'(x) > 0，f(x) は単調増加
そこで，以上より，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法14)
3x + 4y = k とおくと，(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = k は，x 切片が k/3 で y 切片が k/4 の直線
になります。そこで，図の位置関係から，
k が最大は k > 0 で円と直線が接するとき，k が最小は k < 0 で円と直線が接するとき，
です。ここで，A(k/3,0)，B(0,k/4)，T を円と直線の接点とすると，
△BOA は 3：4：5 の直角三角形で，OT⊥AB より △OTA ∽ △BOA となり，
OT：OA = BO：BA，1：(|k|/3) = 3：5，|k| = 5，k = 5, -5
そこで，k = 5 のとき T(3/5,4/5)，k = -5 のとき T(-3/5,-4/5) なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法15)
3x + 4y = k とおくと，(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = k は，傾きが - 3/4 で y 切片が k/4 の直線
になります。そこで，図の位置関係から，
k が最大は k > 0 で円と直線が接するとき，k が最小は k < 0 で円と直線が接するとき，
です。円と直線が接するときは，y を消去した x の二次方程式
16x^2 + (k - 3x)^2 = 16，25x^2 - 6kx + (k^2 - 16) = 0
が実数の重解をもつときなので，
判別式/4 = (3k)^2 - 25(k^2 - 16) = 0，k^2 = 25，k = 5, -5
そこで，k = -5 のとき x = -3/5，k = 5 のとき x = 3/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法16)
3x + 4y = k とおくと，(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = k は，傾きが - 3/4 で y 切片が k/4 の直線
になります。そこで，図の位置関係から，
k が最大は k > 0 で円と直線が接するとき，k が最小は k < 0 で円と直線が接するとき，
です。円と直線が接するときは，円の中心と直線の距離が半径に等しいときなので，
|3 * 0 + 4 * 0 - k|/√(3^2 + 4^2) = 1，|k| = 5，k = 5, -5
そこで，k = -5 のとき x = -3/5，y = -4/5，k = 5 のとき x = 3/5，y = 4/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法17) 水の流れさんからの示唆
3x + 4y = k とおくと，(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = k は，傾きが - 3/4 で y 切片が k/4 の直線
になります。そこで，図の位置関係から，
k が最大は k > 0 で円と直線が接するとき，k が最小は k < 0 で円と直線が接するとき，
です。円と直線が接するときは，円の中心と直線の距離が半径に等しいときです。
3x + 4y = k をヘッセの標準形に直すと，
3x/√(3^2 + 4^2) + 4y/√(3^2 + 4^2) = k/√(3^2 + 4^2)，3x/5 + 4y/5 = k/5
このとき，|k/5| が原点と直線の距離になるので，接するときは，
|k/5| = 1，|k| = 5，k = 5, -5
そこで，k = -5 のとき x = -3/5，y = -4/5，k = 5 のとき x = 3/5，y = 4/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法18) 水の流れさんからの示唆
3x + 4y = k とおくと，(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = k は，傾きが - 3/4 で y 切片が k/4 の直線
になります。そこで，図の位置関係から，
k が最大は k > 0 で円と直線が接するとき，k が最小は k < 0 で円と直線が接するとき，
です。円と直線が接するときは，接点を T とすると，
ベクトルOT⊥直線 3x + 4y = k，ベクトルOT//直線 3x + 4y = kの法線ベクトル
なので，T(x,y)，t を実数として，x = 3t，y = 4t となり，
t = 1/5 のとき k = 5，t = -1/5 のとき k = -5 となります。
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法19)
(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
3x + 4y = 0 は，傾きが - 3/4 で原点を通る直線
になります。そこで，円周上の点 P(x,y) から直線 3x + 4y = 0 に下ろした垂線の長さを考えると，
|3 * x + 4 * y - 0|/√(3^2 + 4^2) = |3x + 4y|/5
垂線の長さは PO が直線 3x + 4y = 0 に垂直なときの 1 が最大なので，
|3x + 4y|/5 <= 1
-5 <= 3x + 4y <= 5，等号は，-5 のとき x = -3/5，y = -4/5，5 のとき x = 3/5，y = 4/5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法20)
(x,y)-座標平面上で，A(3,4)，P(x,y)，x^2 + y^2 = 1 とすると，
AP^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 26 - 2(3x + 4y)
3x + 4y = 13 - AP^2/2
OA = 5，P は中心が原点，半径が 1 の円周上の点なので，
4 = 5 - 1 = OA - OP <= AP <= OA + OP = 5 + 1 = 6
-5 <= 3x + 4y = 13 - AP^2/2 <= 5
そこで，AP = 4 のとき P(-3/5,-4/5)，AP = 6 のとき P(3/5,4/5) なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法21)
(x,y)-座標平面上で，A(3,4)，P(x,y)，x^2 + y^2 = 1 とし，
ベクトルOA と ベクトルOP のなす角度をθ，0 <= θ < 2π，とし，
ベクトルOA と ベクトルOP の内積を考えると，
3x + 4y = ベクトルOA・ベクトルOP = |ベクトルOA||ベクトルOP|cosθ
-5 = - |ベクトルOA||ベクトルOP| <= 3x + 4y <= |ベクトルOA||ベクトルOP| = 5
ただし，等号は，-5 のとき θ = π，5 のとき θ = 0，です。
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法22)
(x,y)-座標平面上で，A(4,-3)，P(x,y)，x^2 + y^2 = 1 とすると，
△OAP = |4 * y - (-3) * x|/2 = |3x + 4y|/2
一方で，P から OA に垂線を下ろしその足を H とすると，
△OAP = OA * PH * 1/2
で，OP⊥OA，H = O，のとき，△OAP は最大になります。
このとき，P(-3/5,-4/5) 又は P(3/5,4/5) です。そして，
|3x + 4y|/2 <= OA * PO * 1/2 = 5/2，-5 <= 3x + 4y <= 5
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法23)
(x,y)-座標平面上で，
x^2 + y^2 = 1 は，中心が原点で半径が 1 の円
になります。
ここで，円周上の点 P(x,y) と y = x に対称な点 Q(y,x) を取り，PQ を 4：3 に内分する点 R(X,Y) を考えると，
X = (3x + 4y)/7，Y = (3y + 4x)/7
すると，
x = - 3X + 4Y，y = 4X - 3Y
となるので，x，y は実数より，X，Y も実数，に注意して，
x^2 + y^2 = ((- 3X + 4Y)^2 + ((4X - 3Y)^2 = 25X^2 - 48XY + 25Y^2 = 1
25Y^2 - 48XY + 25X^2 - 1 = 0
(5Y - 24X/5)^2 + ((25X^2 - 1) - (24X)^2/25) = 0
(24X)^2 - 25(25X^2 - 1) = 25(5Y - 24X/5)^2 >= 0
X^2 <= 25/49，-5/7 <= X <= 5/7，-5 <= 7X = 3x + 4y <= 5
そこで，X = -5/7 のとき Y = -24/35，X = 5 のとき Y = 24/35 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法24)
(x,y)-座標から (X,Y)-座標への一次変換で
X = 3x + 4y，Y = 4x + 3y
となるものを考えます。すると，
x = (- 3X + 4Y)/7，y = (4X - 3Y)/7
となるので，
x^2 + y^2 = ((- 3X + 4Y)/7)^2 + ((4X - 3Y)/7)^2 = (25X^2 - 48XY + 25Y^2)/49 = 1
25X^2 - 48XY + 25Y^2 = 49
25Y^2 - 48XY + 25X^2 - 49 = 0
x，y は実数なので，X，Y も実数で，この式を Y の二次方程式と見ると，実数解をもつ条件より，
判別式/4 = (24X)^2 - 25(25X^2 - 49) >= 0，X^2 <= 25，-5 <= X = 3x + 4y <= 5
そこで，X = -5 のとき Y = -24/5，X = 5 のとき Y = 24/5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法25)
(x,y)-座標から (X,Y)-座標への一次変換で
X = (4x - 3y)/5，Y = (3x + 4y)/5
となるものを考えます。この変換行列は
(4/5 -3/5)
(3/5 4/5 )
で，cosα = 4/5，sinα = 3/5 とおくと，原点の回りのαの回転，と分かります。
そして，この変換で，
3x + 4y -> 5Y
x^2 + y^2 = 1 -> X^2 + Y^2 = 1
これより，-1 <= Y <= 1 なので，-5 <= 5Y = 3x + 4y <= 5，
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法26)
z = x + iy，α = 3 - 4i とおくと，
x^2 + y^2 = 1 より |z| = 1
αz = (3 - 4i)(x + iy) = (3x + 4y) + i(- 4x + 3y)
そこで，3x + 4y は αz の実数部分 になります。
また，|z| = 1 より，αz は α を 0 の回りに回転したものになります。
これより，|α| = 5 なので，
-5 = - |α| <= 3x + 4y = αz の実数部分 <= |α| = 5
そこで，3x + 4y = -5 のとき αz = -5，3x + 4y = 5 のとき αz = 5 なので，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法27)
z = 3x + 4y とおき，(x,y,z)-空間座標系を考えます。
するとこれは，法線ベクトルが (3,4,-1) で，原点を通る平面になります。
一方，x^2 + y^2 = 1 は，
中心が原点で半径が 1 の円を z 方向にそのまま上下させた直円柱の側面になります。
そこで，この直円柱の側面と先程の平面との交線のうち z が最大と最小を求めることになります。
明らかに，立体の性質，位置関係などから，交線は単純な円環状の連続で滑らかな曲線で，
直円柱も平面も，平面 4x - 3y = 0 に関して対称なので，交線もそうで，
4x - 3y = 0 のときに，z は最大又は最小になります。
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法28)
(x,y,z)-空間座標系を考え，A(4,-3,0)，P(x,y,0)，x^2 + y^2 = 1 とします。
ベクトルOA から ベクトルOP へのなす角度をθ，-π < θ <= π，とし，
ベクトルOA と ベクトルOP の外積を考えると，
ベクトルOA×ベクトルOP = (0,0,3x + 4y)
|3x + 4y| = |ベクトルOA×ベクトルOP| = |ベクトルOA||ベクトルOP||sinθ|
3x + 4y = |ベクトルOA||ベクトルOP|sinθ
-5 = - |ベクトルOA||ベクトルOP| <= 3x + 4y <= |ベクトルOA||ベクトルOP| = 5
ただし，等号は，-5 のとき θ = -π/2，5 のとき θ = π/2，です。
そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(解法29)
f(x,y) = 3x + 4y とおきます。x^2 + y^2 = 1 という条件があるので，
x，y とは独立な k を 0 でない実数として，
f(x,y) = 3x + 4y = 3x + 4y - k(x^2 + y^2 - 1) = k + 25/4k - k(x - 3/2k)^2 - k(y - 2/k)^2
と書けます。そこで，f(x,y) は，
k > 0 のとき，x = 3/2k，y = 2/k で最大値 k + 25/4k を取る
k < 0 のとき，x = 3/2k，y = 2/k で最小値 k + 25/4k を取る
といえます。x^2 + y^2 = 1 の条件と合わせると，k の値が決まって，
最大値は k = 5/2，x = 3/5，y = 4/5 で 5，最小値は k = -5/2，x = -3/5，y = -4/5 で -5
になります。
(解法30)
取り敢えず，条件 x^2 + y^2 = 1 を忘れて，x，y とは独立な実数 k を導入して，
f(x,y,k) = 3x + 4y - k(x^2 + y^2 - 1)
とおきます。さらに，f の偏微分を考え，x での偏微分を fx などと書くことにします。
(x,y,k) = (x0,y0,k0) でのテーラー展開を行うと，高次の微分は恒等的に 0 になるので，
結局，0 にならないのは，
fx = 3 - 2kx，fy = 4 - 2ky，fk = - (x^2 + y^2 - 1)，
fxx = fyy = - 2k，fxk = fkx = - 2x，fyk = fky = - 2y，
fxxk = fxkx = fkxx = fyyk = fyky = fkyy = - 2
そこで，
f(x,y,k)
= f(x0,y0,k0) + fx(x0,y0,k0) * (x - x0) + fy(x0,y0,k0) * (y - y0) + fk(x0,y0,k0) * (k - k0)
+ 1/2 * fxx(x0,y0,k0) * (x - x0)^2 + 1/2 * fyy(x0,y0,k0) * (y - y0)^2
+ fxk(x0,y0,k0) * (x - x0)(k - k0) + fyk(x0,y0,k0) * (y - y0)(k - k0)
+ 1/2 * fxxk(x0,y0,k0) * (x - x0)^2 * (k - k0) + fyyk(x0,y0,k0) * (y - x0)^2 * (k - k0)
= f(x0,y0,k0) + fx(x0,y0,k0) * (x - x0) + fy(x0,y0,k0) * (y - y0) + fk(x0,y0,k0) * (k - k0)
- k0 * (x - x0)^2 - k0 * (y - y0)^2
- 2x0 * (x - x0)(k - k0) - 2y0 * (y - y0)(k - k0)
- (x - x0)^2 * (k - k0) - (y - y0)^2 * (k - k0)
= f(x0,y0,k0) + fx(x0,y0,k0) * (x - x0) + fy(x0,y0,k0) * (y - y0) + fk(x0,y0,k0) * (k - k0)
- 2x0 * (x - x0)(k - k0) - 2y0 * (y - y0)(k - k0)
- (x - x0)^2 * k - (y - y0)^2 * k
= f(x0,y0,k0) + fx(x0,y0,k0) * (x - x0) + fy(x0,y0,k0) * (y - y0) + fk(x0,y0,k0) * (k - k0)
- (x^2 - x0^2)k + (- (x - x0)^2 + x^2 - x0^2)k0 - (y^2 - y0^2)k + (- (y - y0)^2 + y^2 - y0^2)k0
= f(x0,y0,k0) + fx(x0,y0,k0) * (x - x0) + fy(x0,y0,k0) * (y - y0) + fk(x0,y0,k0) * (k - k0)
- (x^2 + y^2 - x0^2 - y0^2)(k - k0) - k0(x - x0)^2 - k0(y - y0)^2
ここで，
fx(x0,y0,k0) = 3 - 2k0x0 = 0，fy(x0,y0,k0) = 4 - 2k0y0 = 0，fk(x0,y0,k0) = - (x0^2 + y0^2 - 1) = 0
とすると，x0 = 3/2k0，y0 = 2/k0 で
k0 = 5/2，x0 = 3/5，y0 = 4/5 又は k0 = -5/2，x0 = -3/5，y0 = -4/5
f(x0,y0,k0) = 3x0 + 4y0 - k0(x0^2 + y0^2 - 1) = 3x0 + 4y0 = 25/2k0
となり，さらに，x，y を条件 fk(x,y,k) = - (x^2 + y^2 - 1) = 0，x^2 + y^2 = 1 を満たしながら動かすと，
f(x,y,k)
= f(x0,y0,k0) + 0 * (x - x0) + 0 * (y - y0) + 0 * (k - k0)
- (1 - 1)(k - k0) - k0(x - x0)^2 - k0(y - y0)^2
f(x,y,k) = 25/2k0 - k0(x - x0)^2 - k0(y - y0)^2
そこで，f(x,y,k) は，
k0 = 5/2 のとき，x0 = 3/2k0 = 3/5，y0 = 2/k0 = 4/5 で最大値 k = 25/2k0 = 5 を取る
k0 = -5/2 のとき，x0 = 3/2k0 = -3/5，y0 = 2/k0 = -4/5 で最小値 k = 25/2k0 = -5 を取る
といえます。そこで，
最大値は x = 3/5，y = 4/5 のときで 5，最小値は x = -3/5，y = -4/5 のときで -5
になります。
(感想)
こういう問題は楽しくて好きです。
似たようなものもありますが，取り敢えず，
独自に思い付いたものと，水の流れさんから示唆のあったもの，を並べました。
まだあるかも知れませんね。
おおよそ，式の計算，不等式，二次方程式，二次関数，媒介変数表示，微分，
図形的考察，一次変換，複素数，三次元，大学レベル，で，
それぞれを，よく見る単純なものから工夫がいるものへ，という順番に並べてみました。
特に，最後の二つは，大学レベルですが，
この手の条件付き最大最小問題の最終手段ともいうべきラグランジュの未定定数法です。
通常は，一階の偏微分導関数が 0 になる極値だけを調べて済ませますが，
今回は，x，y の二次式なので，
前者では若干論理があいまいですが微分を使わず簡便に，後者では少し詳しくより厳密に書いてみました。
＜コメント：似たような感じもありますが，さらに二つ追加しました。
これで，めでたく？，30 個になりました (^^;
切りもいいし，さすがにそろそろ手詰まりですし，似たようなのを追加しても仕方がないので，
ひとまずこれで終わりにしようと思います。＞
＜水の流れ：最初は十通りくらい思いつきましたが、こんなに多くなり感謝の念で一杯です。
ありがとうございます。＞
ＮＯ２「浜田明巳」 02/29 12時46分受信
「浜田明巳」 03/15 11時53分受信 更新3/18
（解法１）（三角関数の合成使用）
ｘ２＋ｙ２＝１から，ｘ＝cosθ，ｙ＝sinθ（０≦θ＜２π）とすることができる．このとき，
３ｘ＋４ｙ＝４sinθ＋３cosθ＝５(sinθ・４／５＋cosθ・３／５)＝５(sinθcosα＋cosθsinα)
＝５sin(θ＋α)
ただし，cosα＝４／５，sinα＝３／５（０＜α＜π／２）
となる．
０＜α≦θ＋α＜２π＋α＜２π＋π／２であるから，最大値は５であり，このとき，sin(θ＋α)＝１
∴θ＋α＝π／２ ∴θ＝π／２−α
∴ｘ＝cosθ＝cos(π／２−α)＝sinα＝３／５，ｙ＝sinθ＝sin(π／２−α)＝cosα＝４／５
最小値は−５であり，このとき，sin(θ＋α)＝−１
∴θ＋α＝３π／２ ∴θ＝３π／２−α
∴ｘ＝cosθ＝cos(３π／２−α)＝cos(π＋π／２−α)＝−cos(π／２−α)
＝−sinα＝−３／５，
ｙ＝sinθ＝sin(π＋π／２−α)＝−sin(π／２−α)＝−cosα＝−４／５
まとめると，最大値５（ｘ＝３／５，ｙ＝４／５のとき）
最小値−５（ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５のとき）
（解法２）（２次方程式の判別式使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４
ｘ２＋ｙ２＝１に代入すると，ｘ２＋{(ｋ−３ｘ)／４}２＝１
∴１６ｘ２＋(ｋ−３ｘ)２＝１６ ∴２５ｘ２−６ｋｘ＋(ｋ２−１６)＝０………(1)
ｘは実数なので，判別式をＤとすると，
Ｄ／４＝９ｋ２−２５(ｋ２−１６)＝２５・１６−１６ｋ２＝１６(２５−ｋ２)≧０
∴ｋ２≦２５ ∴−５≦ｋ≦５
ｋ＝５のとき，(1)から，
２５ｘ２−３０ｘ＋９＝０ ∴(５ｘ−３)２＝０ ∴ｘ＝３／５
このとき，
ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４＝(５−９／５)／４＝４／５
ｋ＝−５のとき，(1)から，
２５ｘ２＋３０ｘ＋９＝０ ∴ｘ＝−３／５
∴ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４＝(−５＋９／５)／４＝−４／５
故に解法１と同じ解を得る．
（解法３−１）（グラフ，点と直線の距離の公式使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４
これは傾き−３／４，ｙ切片ｋ／４の直線を表す．
故にこの直線のｙ切片が最大になるとき，ｋ＝３ｘ＋４ｙが最大となる．またｙ切片が最小になるとき，ｋが最小となる．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｙ切片が最大，最小となる．
このとき円の中心の原点から，この直線３ｘ＋４ｙ−ｋ＝０までの距離が，円の半径の１に等しくなる．
∴｜３・０＋４・０−ｋ｜／√(３２＋４２)＝｜ｋ｜／５＝１
∴｜ｋ｜＝５ ∴ｋ＝±５
このときのｘ，ｙの値を求める．
グラフから，これは円ｘ２＋ｙ２＝１と直線ｙ＝４／３・ｘとの交点の座標となる．
３ｘ＋４ｙ＝ｋ＝５に代入すると，
３ｘ＋４・４／３・ｘ＝５ ∴(９＋１６)ｘ＝１５ ∴ｘ＝３／５
∴ｙ＝４／３・ｘ＝４／３・３／５＝４／５
３ｘ＋４ｙ＝ｋ＝−５に代入すると，
３ｘ＋４・４／３・ｘ＝−５ ∴ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５
故に解法１と同じ解を得る．
（解法３−２）（グラフ，点と直線の距離の公式使用）
解法３−１において，３ｘ＋４ｙ＝ｋ＝±５
グラフから，これは円ｘ２＋ｙ２＝１と直線ｙ＝４／３・ｘとの交点の座標となる．
ｙを消去すると，
ｘ２＋(４／３・ｘ)２＝１ ∴９ｘ２＋１６ｘ２＝９
∴ｘ２＝９／２５ ∴ｘ＝±３／５
ｘ＝３／５のとき，
ｙ＝４／３・３／５＝４／５，ｋ＝３・３／５＋４・４／５＝２５／５＝５
ｘ＝−３／５のとき，
ｙ＝４／３・(−３／５)＝−４／５，ｋ＝−５
故に解法１と同じ解を得る．
（解法３−３）（グラフ，点と直線の距離の公式使用，ｙ切片を使用しない）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは直線を表す．
円ｘ２＋ｙ２＝１とこの直線が共有点をもつとすると，この円の中心の原点からこの直線３ｘ＋４ｙ−ｋ＝０までの距離が，半径の１以下となる．
∴｜３・０＋４・０−ｋ｜／√(３２＋４２)＝｜ｋ｜／５≦１
∴｜ｋ｜≦５ ∴−５≦ｋ≦５
（以下解法３−１と同様）
（解法３−４）（グラフ，陰関数の微分使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，ｙ＝(ｋ−３ｘ)／４
これは傾き−３／４，ｙ切片ｋ／４の直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｙ切片が最大，最小となり，ｋが最大，最小となる．
ｘ２＋ｙ２＝１の両辺をｘで微分すると，２ｘ＋２ｙ・ｄｙ／ｄｘ＝０
ｙ≠０のとき，
ｄｙ／ｄｘ＝−ｘ／ｙ
−ｘ／ｙ＝−３／４とすると，ｙ＝４／３・ｘ
ｘ２＋ｙ２＝１に代入すると，・・・
（以下解法３−２と同様）
（解法３−５）（グラフ，接線と半径は直交する性質使用）
原点をＯとする． ３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは傾き−３／４，ｙ切片ｋ／４の直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
接点をＰ(ｘ，ｙ)（ｘ≠０）とすると，ＯＰの傾きは，ｙ／ｘ
直線３ｘ＋４ｙ＝ｋとＯＰは直交するので，−３／４・ｙ／ｘ＝−１
∴ｙ＝４／３・ｘ
（以下解法３−２と同様）
（解法３−６）（グラフ，接線の方程式の公式ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝ｒ２使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
接点を(ｘ１，ｙ１)とすると，接線の方程式は，ｘ１ｘ＋ｙ１ｙ＝１
これが３ｘ＋４ｙ＝ｋと一致するので，ｘ１：ｙ１＝３：４ ∴ｙ１＝４／３・ｘ１
また，ｘ１２＋ｙ１２＝１
（以下解法３−２と同様）
（解法３−７）（グラフ，接線の方程式の公式ｙ＝ｍｘ±ｒ(１＋ｍ２)１／２使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは傾き−３／４の直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
公式から，接線の方程式は，
ｙ＝ｍｘ±１(１＋ｍ２)１／２（ｍ＝−３／４）
＝−３／４・ｘ±(１＋９／１６)１／２＝−３／４・ｘ±(２５／１６)１／２＝−３／４・ｘ±５／４
（以下解法３−２と同様）
（解法３−８）（グラフ使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
３／５・ｘ＋４／５・ｙ＝ｋ／５
であり，
(３／５)２＋(４／５)２＝１
であるから，点(３／５，４／５)はこの円周上にある．
故に点(３／５，４／５)は接点となり，ｋ／５＝１ ∴ｋ＝５
同様に，
−３／５・ｘ−４／５・ｙ＝−ｋ／５
であり，
(−３／５)２＋(−４／５)２＝１
であるから，点(−３／５，−４／５)はこの円周上にある．
故に点(−３／５，−４／５)は接点となり，−ｋ／５＝１ ∴ｋ＝−５
故に解法１と同じ解を得る．
（解法３−９）（グラフ，共有点を通る方程式の公式ｆ(ｘ，ｙ)＋ｔｇ(ｘ，ｙ)＝０使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
この２つの図形の共有点を通る方程式は，
(ｘ２＋ｙ２−１)＋ｔ(３ｘ＋４ｙ−ｋ)＝０………(1)
２つの図形が接する場合，(1)の実数解は１組である．
(1)から，
(ｘ２＋３ｔｘ＋９／４・ｔ２)＋(ｙ２＋４ｔｙ＋４ｔ２)＝９／４・ｔ２＋４ｔ２＋ｋｔ＋１
∴(ｘ＋３／２・ｔ)２＋(ｙ＋２ｔ)２＝２５／４・ｔ２＋ｋｔ＋１………(2)
故に
(ｘ＋３／２・ｔ)２＋(ｙ＋２ｔ)２＝０………(3)
２５／４・ｔ２＋ｋｔ＋１＝０………(4)
となり，このｔの２次方程式(4)は重解を持つ．
判別式をＤとすると，
Ｄ＝ｋ２−２５＝０ ∴ｋ２＝２５ ∴ｋ＝±５
i). ｋ＝５のとき，(4)から，２５ｔ２＋２０ｔ＋４＝０ ∴(５ｔ＋２)２＝０
∴ｔ＝−２／５
(3)から，(ｘ，ｙ)＝(−３／２・ｔ，−２ｔ)＝(３／５，４／５)
ii). ｋ＝−５のとき，(4)から，２５ｔ２−２０ｔ＋４＝０ ∴ｔ＝２／５
(3)から，(ｘ，ｙ)＝(−３／２・ｔ，−２ｔ)＝(−３／５，−４／５)
故に解法１と同じ解を得る．
（解法４−１）（グラフと直角三角形の性質使用）
３ｘ＋４ｙ＝ｋとおくと，これは直線を表す．
グラフから，この直線が円ｘ２＋ｙ２＝１に接するとき，ｋが最大，最小となる．
最大値を求める．ｋ＞０となる．この直線とｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＡ，Ｂとすると，
Ａ(ｋ／３，０)，Ｂ(０，ｋ／４)
∴ＡＢ＝{(ｋ／３)２＋(ｋ／４)２}１／２＝{(４２＋３２)ｋ２／(３２・４２)}１／２＝５ｋ／１２（∵ｋ＞０）
原点をＯ，ＡＢと円との接点をＰ(ｘ，ｙ)とする．
△ＯＡＢ∽△ＰＡＯであるから，
ＯＢ：ＡＢ＝ＰＯ：ＡＯ
∴(ｋ／４)：(５ｋ／１２)＝１：(ｋ／３)
∴３：５＝３：ｋ ∴ｋ＝５（最大値）
ＰからＯＡに垂線ＰＨを下ろす．△ＯＡＢ∽△ＨＰＯであるから，
ＯＡ：ＯＢ＝ＨＰ：ＨＯ
∴４：３＝ｙ：ｘ ∴ｙ＝４／３・ｘ
３ｘ＋４ｙ＝ｋ＝５に代入すると，
３ｘ＋４・４／３・ｘ＝５ ∴(９＋１６)ｘ＝１５ ∴ｘ＝３／５
∴ｙ＝４／３・ｘ＝４／３・３／５＝４／５
最小値を求める．対称性から，最小値は−５，ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５のとき．
故に解法１と同じ解を得る．
（解法４−２）（グラフと直角三角形の性質使用）
解法４−１において，△ＯＡＢの面積は，
１／２・ＯＡ・ＯＢ＝１／２・ＡＢ・ＯＰ
∴(ｋ／３)・(ｋ／４)＝(５ｋ／１２)・１
ｋ≠０から，ｋ＝５
（以下解法４−１と同様）
（解法５）（グラフと方べきの定理使用）
解法４−１において，△ＯＡＢ∽△ＰＡＯであるから，
ＯＡ：ＯＢ＝ＰＡ：ＰＯ
∴４：３＝ＰＡ：１ ∴ＰＡ＝４／３
点Ａを通る直線と円との交点をＳ，Ｔとすると，方べきの定理から，
ＡＳ・ＡＴ＝ＡＰ２
Ｓ，Ｔは円周上のどの点でもよいので，Ｓ(−１，０)，Ｔ(１，０)とすると，Ｐ(ｋ／３，０)から，
(ｋ／３＋１)(ｋ／３−１)＝(４／３)２
∴ｋ２／９＝１６／９＋１＝２５／９ ∴ｋ＝±５
（以下解法３−２と同様）
（解法６）（Cauchy-Schwarzの不等式使用）
Cauchy-Schwarzの不等式から，
(ａｘ＋ｂｙ)２≦(ａ２＋ｂ２)(ｘ２＋ｙ２)＝ａ２＋ｂ２（∵ｘ２＋ｙ２＝１）
ａ＝３，ｂ＝４とすると，
(３ｘ＋４ｙ)２≦３２＋４２＝５２
∴−５≦３ｘ＋４ｙ≦５
等号が成立するのは，
ｘ：ｙ＝ａ：ｂ＝３：４
すなわち，ｙ＝４／３・ｘのとき．
（以下解法３−１と同様）
（解法７）（ベクトルの内積使用）
ベクトルα，ベクトルβを，
ベクトルα＝(３，４)，ベクトルβ＝(ｘ，ｙ)
とすると，内積は，
ベクトルα・ベクトルβ＝３ｘ＋４ｙ
また，２つのベクトルのなす角をθ（０≦θ≦π）とすると，内積は，
ベクトルα・ベクトルβ＝｜ベクトルα｜｜ベクトルβ｜cosθ
＝√(３２＋４２)√(ｘ２＋ｙ２)cosθ＝５cosθ（∵ｘ２＋ｙ２＝１）
∴３ｘ＋４ｙ＝５cosθ
０≦θ≦πから，−１≦cosθ≦１
∴−５≦３ｘ＋４ｙ≦５
i). ３ｘ＋４ｙ＝５のとき，cosθ＝１
０≦θ≦πから，θ＝０
故にベクトルβ＝ｔ×ベクトルα（ｔ＞０）となるｔが存在する．
∴(ｘ，ｙ)＝ｔ(３，４) ∴ｘ＝３ｔ，ｙ＝４ｔ
３ｘ＋４ｙ＝５に代入すると，３・３ｔ＋４・４ｔ＝５ ∴ｔ＝１／５
これはｔ＞０を満たす． ∴ｘ＝３／５，ｙ＝４／５
ii). ３ｘ＋４ｙ＝−５のとき，cosθ＝−１
０≦θ≦πから，θ＝π
故にベクトルβ＝ｔ×ベクトルα（ｔ＜０）となるｔが存在する．
ｘ＝３ｔ，ｙ＝４ｔを３ｘ＋４ｙ＝−５に代入すると，同様に，ｔ＝−１／５
これはｔ＜０を満たす． ∴ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５
故に解法１と同じ解を得る．
（解法８−１）（微分使用）
ｘ２＋ｙ２＝１から，ｙ＝±(１−ｘ２)１／２
i). ｙ＝(１−ｘ２)１／２≧０のとき，
３ｘ＋４ｙ＝３ｘ＋４(１−ｘ２)１／２
この式をｆ(ｘ)とおくと，
ｆ'(ｘ)＝３＋４・１／２・(１−ｘ２)−１／２・(−２ｘ)＝３−４ｘ／(１−ｘ２)１／２＝{３(１−ｘ２)１／２−４ｘ}／(１−ｘ２)１／２
ｆ'(ｘ)の符号を調べる．
２つのグラフｙ＝(１−ｘ２)１／２とｙ＝４／３・ｘを描く．
(１−ｘ２)１／２＝４／３・ｘとすると，９(１−ｘ２)＝１６ｘ２ ∴ｘ２＝９／２５
グラフから，ｘ＝３／５
また−１＜ｘ＜１のとき，
ｆ'(ｘ)＞０ ⇔ (１−ｘ２)１／２＞４／３・ｘ ⇔ −１＜ｘ＜３／５
ｆ'(ｘ)＜０ ⇔ ３／５＜ｘ＜１
故にｆ(ｘ)は，ｘ＝３／５のとき，ｙ＝４／５であり，最大値ｆ(３／５)＝３・３／５＋４・４／５＝５をとる．
ｆ(１)＝３，ｆ(−１)＝−３であるから，ｘ＝−１，ｙ＝０のとき，最小値−３をとる．
ii). ｙ＝−(１−ｘ２)１／２≦０のとき，
３ｘ＋４ｙ＝３ｘ−４(１−ｘ２)１／２
この式をｇ(ｘ)とおくと，
ｇ'(ｘ)＝３−４・１／２・(１−ｘ２)−１／２・(−２ｘ)＝３＋４ｘ／(１−ｘ２)１／２＝{３(１−ｘ２)１／２＋４ｘ}／(１−ｘ２)１／２
ｇ'(ｘ)の符号を調べる．
２つのグラフｙ＝(１−ｘ２)１／２とｙ＝−４／３・ｘを描く．
(１−ｘ２)１／２＝−４／３・ｘとすると，ｘ２＝９／２５
グラフから，ｘ＝−３／５
また−１＜ｘ＜１のとき，
ｇ'(ｘ)＜０ ⇔ (１−ｘ２)１／２＜−４／３・ｘ ⇔ −１＜ｘ＜−３／５
ｇ'(ｘ)＞０ ⇔ −３／５＜ｘ＜１
故にｇ(ｘ)は，ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５のとき，最小値ｇ(−３／５)＝３(−３／５)＋４(−４／５)＝−５をとる．
ｇ(１)＝３，ｇ(−１)＝−３であるから，ｘ＝１，ｙ＝０のとき，最大値３をとる．
i).とii).をまとめると，解法１と同じ解を得る．
（参考）
（解法８−２）（微分使用）
ｘ２＋ｙ２＝１であるから，明らかにｘ≧０，ｙ≧０のときに最大，ｘ≦０，ｙ≦０のときに最小となる．
i). ｘ≧０，ｙ≧０のとき，ｙ＝(１−ｘ２)１／２から，
ｆ(ｘ)＝３ｘ＋４ｙ＝３ｘ＋４(１−ｘ２)１／２
とすると，
ｆ'(ｘ)＝３−４ｘ／(１−ｘ２)１／２＝{３(１−ｘ２)１／２−４ｘ}／(１−ｘ２)１／２
＝{９(１−ｘ２)−１６ｘ２}／[(１−ｘ２)１／２{３(１−ｘ２)１／２＋４ｘ}]＝(９−２５ｘ２)／[(１−ｘ２)１／２{３(１−ｘ２)１／２＋４ｘ}]
０≦ｘ＜１から，
ｆ'(ｘ)＝０ ⇔ ｘ＝３／５
ｆ'(ｘ)＞０ ⇔ ０≦ｘ＜３／５
ｆ'(ｘ)＜０ ⇔ ３／５＜ｘ＜１
故にｘ＝３／５，ｙ＝４／５のとき，最大値３ｘ＋４ｙ＝５をとる．
ii). ｘ≦０，ｙ≦０のとき，ｘ＝−ｐ，ｙ＝−ｑ（ｐ≧０，ｑ≧０）とする．
i).から，ｐ＝３／５，ｑ＝４／５のとき，３ｐ＋４ｑは最大値５をとる．
故にｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５のとき，３ｘ＋４ｙ＝−(３ｐ＋４ｑ)は最小値−５をとる．
（「明らかに」の言い回しは好きではないので（くわしく説明すれば，「明らかに」で証明をある程度省略したい意図からはずれる），使いたくないものであるが，実際の入試ではそんなことは言っていられない．グラフを書かせるのではなく，最大，最小だけでよければ，この分子の有理化の計算をした方がよいであろう．）
（解法９−１）（三角関数，微分使用）
ｘ２＋ｙ２＝１から，ｘ＝cosθ，ｙ＝sinθ（０≦θ≦２π）とすることができる．
ｆ(θ)＝３ｘ＋４ｙ＝３cosθ＋４sinθとすると，
ｆ'(θ)＝−３sinθ＋４cosθ
i). ｆ'(θ)＝０のとき，３sinθ＝４cosθ………(1)
cosθ＝０とすると，sinθ＝cosθ＝０となり，sin２θ＋cos２θ＝１に反する．
∴cosθ≠０
(1)から，tanθ＝４／３
ここで，tanα＝４／３（０＜α＜π／２）とすると，０≦θ＜２πから，
θ＝α，α＋π
ii). ｆ'(θ)＞０のとき，３sinθ＜４cosθ
θ＝π／２のとき，３＜０となり，不適．
θ＝３π／２のとき，−３＜０となり，適する．
０≦θ＜π／２，３π／２＜θ＜２πのとき，cosθ＞０
∴tanθ＜４／３ ∴０≦θ＜α，３π／２＜θ＜２π
π／２＜θ＜３π／２のとき，cosθ＜０
∴tanθ＞４／３ ∴α＋π＜θ＜３π／２
まとめると，０≦θ＜α，α＋π＜θ＜２π
iii). ｆ'(θ)＜０のとき，３sinθ＞４cosθ
∴α＜θ＜α＋π
故にθ＝αのとき極大，θ＝α＋πのとき極小となる．
ここで，ｆ(０)＝ｆ(２π)＝３
ｆ(α)の値を求める．tanα＝４／３から，
cos２α＝１／(１＋tan２α)＝１／(１＋１６／９)＝９／２５
０＜α＜π／２から，cosα＞０
∴ｘ＝cosα＝３／５
∴ｙ＝sinα＝４／３・cosα＝４／３・３／５＝４／５
∴ｆ(α)＝３cosα＋４sinα＝３・３／５＋４・４／５＝５
また，
ｆ(α＋π)＝３cos(α＋π)＋４sin(α＋π)＝−(３cosα＋４sinα)＝−５
（ｘ＝cos(α＋π)＝−３／５，ｙ＝sin(α＋π)＝−４／５のとき）
故に解法１と同じ解を得る．
（参考）
（解法９−２）（三角関数，微分使用）
ｘ２＋ｙ２＝１から，ｘ＝cosθ，ｙ＝sinθ（０≦θ＜２π）とすることができる．
ｆ(θ)＝３ｘ＋４ｙ＝３cosθ＋４sinθとする．
最大値を求める．０≦θ＜π／２としてよい．このとき，cosθ＞０から，
ｆ(θ)＝cosθ(３＋４tanθ)＝(３＋４tanθ)／(１＋tan２θ)１／２
ｐ＝tanθ≧０，ｆ(θ)＝ｇ(ｐ)とすると，
ｇ(ｐ)＝(３＋４ｐ)／(１＋ｐ２)１／２
∴ｇ'(ｐ)＝{４・(１＋ｐ２)１／２−(３＋４ｐ)・１／２・(１＋ｐ２)−１／２・２ｐ}／(１＋ｐ２)
＝{４(１＋ｐ２)１／２−(３＋４ｐ)ｐ／(１＋ｐ２)１／２}／(１＋ｐ２)
＝{４(１＋ｐ２)−(３＋４ｐ)ｐ}／(１＋ｐ２)３／２＝(４−３ｐ)／(１＋ｐ２)３／２
∴ｇ'(ｐ)＝０ ⇔ ｐ＝４／３
ｇ'(ｐ)＞０ ⇔ ０≦ｐ＜４／３
ｇ'(ｐ)＜０ ⇔ ｐ＞４／３
故にｐ＝４／３のとき，ｆ(θ)＝ｇ(ｐ)は最大となる．最大値は，
ｇ(４／３)＝(３＋１６／３)／(１＋１６／９)１／２＝(２５／３)／(５／３)＝５
このとき，
cos２θ＝１／(１＋tan２θ)＝１／(１＋ｐ２)＝１／(１＋１６／９)＝９／２５
cosθ＞０から，ｘ＝cosθ＝３／５
∴ｙ＝sinθ＝cosθtanθ＝(３／５)・(４／３)＝４／５
対称性から，最小値は−５（ｘ＝−３／５，ｙ＝−４／５のとき）
故に解法１と同じ解を得る．
（この解法は強引すぎる．別解の個数を増やす為だけのものと言っていい．しいて言えば，三角関数は使ったものの，三角方程式や三角不等式をどうしても解きたくない場合の解法だろう）
（解法１０）（空間図形使用）
ｘｙｚ空間を考える．円柱ｘ２＋ｙ２＝１と，平面３ｘ＋４ｙ＝ｚの交線を求める．
ｙ＝(ｚ−３ｘ)／４をｘ２＋ｙ２＝１に代入すると，
ｘ２＋{(ｚ−３ｘ)／４}２＝１
∴２５ｘ２−６ｘｚ＋ｚ２＝１６………(1)
この方程式の表す図形のｚ座標の最大，最小を求めればよい．
(1)から，
２５(ｘ２−６／２５・ｘｚ＋９／６２５・ｚ２−９／６２５・ｚ２)＋ｚ２＝１６
∴２５(ｘ−３／２５・ｚ)２＝１６−ｚ２＋９／２５・ｚ２＝１６−１６／２５・ｚ２≧０
∴ｚ２≦２５ ∴−５≦ｚ≦５
（以下解法２と同様）
（本質的に解法２とまったく同じものである．下の図も解法８−１の図を合わせたものと同じである）
（参考：交線をｘｚ平面に投影した図）
（解法１１）（プログラム使用）
Vbscriptで解くと，次のようになる．これはｙ＝±(１−ｘ２)１／２を利用したものである．
k=.01
max=-100
min=100
for x=-1 to 1 step k
for fugou=1 to -1 step -2
y=fugou*sqr(1-x*x)
f=3*x+4*y
if f>max then
max=f
xmax=x
ymax=y
end if
if min>f then
min=f
xmin=x
ymin=y
end if
next
next
msgbox "最大値="&max&"(x="&xmax&",y="&ymax&")"&chr(13)&"最小値="&min&"(x="&xmin&",y="&ymin&")"
センター試験用Basicで，ｘ＝cosｔ，ｙ＝sinｔを利用すると，次のようになる．
10 P=4*ATN(1)
20 FOR T=0 TO 2*P STEP 0.001
30 F=3*COS(T)+4*SIN(T)
40 IF F>MAX THEN MAX=F
50 IF MIN>F THEN MIN=F
60 NEXT T
70 PRINT MAX;MIN
80 END
（誤答例）
ｘ≧０，ｙ≧０のとき，相加平均と相乗平均の関係から，
３ｘ＋４ｙ≧２√(３ｘ・４ｙ)＝４√３・√(ｘｙ)
等号が成立するのは，３ｘ＝４ｙ，すなわちｙ＝３／４・ｘのとき．
ｘ２＋ｙ２＝１に代入すると，ｘ２＋(３／４・ｘ)２＝１ ∴２５ｘ２＝１６
ｘ≧０から，ｘ＝４／５
このとき，ｙ＝３／４・ｘ＝３／４・４／５＝３／５
∴４√３・√(ｘｙ)＝４√３・√(４／５・３／５)＝４√３・２／５・√３＝２４／５
故に最小値は２４／５
ｘ＜０，ｙ＜０のとき，ｘ＝−ｘ'，ｙ＝−ｙ'（ｘ'＞０，ｙ'＞０）とすれば，
ｘ'＋ｙ'≧４√３・√(ｘ'ｙ')
から，
ｘ＋ｙ≦−４√３・√(ｘｙ)
故に最大値は−２４／５であり，このときｘ＝−４／５，ｙ＝−３／５
これは明らかに間違いである．
３ｘ＋４ｙ≧４√３・√(ｘｙ)だからといって，３ｘ＋４ｙの最小値が４√３・√(ｘｙ)になるとは限らない．あくまでも，この不等式が成立するというだけである．
相加平均と相乗平均の関係を過信すると，この誤答が生まれるのであろう．
（最後に）
最初に投稿したとき，少ない，もっと出せ，と言われたので，上記のように増やしました．しかしどれも本質的に同じことをやっている気がします．
内容をまとめてみると，
(1) 三角関数の合成を利用する
(2) ２次方程式の判別式を利用する
(3) 円と接線の性質を利用する
(4) 微分して増減表を作る
(5) Cauchy-Schwarzの不等式を利用する
(6) ベクトルの内積を利用する
(7) プログラムを利用する（情報数学）
の７種類となるでしょう．
私自身は，三角関数の合成で計算します．○２＋△２＝□のような条件式があれば，条件反射的に三角関数を用います．
また，条件に３，４が出て来れば，ほぼ間違いなく３２＋４２＝５２を使います．
数研通信数学No.６３において，埼玉県立春日部高校の池内仁史先生が，特集「２数の積が一定のとき和の最小値を求める解法」で，同様なことを載せていました．生徒に課題として与えたそうです．解法１６まで紹介しており，すばらしい内容でした．そこで，「別解を考える楽しさ，思わぬ分野の知識が役立つ数学の魅力や奥深さの一端を知る．時間に追われ効率的な解法ばかり教えがちだが，一つの問題にいろいろなアプローチから問題解法を考えさせ，その成功体験を得させることも高校数学の大切な使命」と述べていました．考えさせられました．
ＮＯ３「おおがき」 03/04 20時27分受信 更新3/18
微分 線形計画法 コーシーシュワルツ
逆手流 思い付くのはこれくらいです…
ＮＯ４「にいばりＺ12」03/10
00時04分受信 更新3/18
はじめまして。面白そうなので応募します。
さて、色々解法はあると思いますが、とりあえず一番シンプルなものを一つだけですが回答させていただきます。
ｘ２＋ｙ２＝１は単位円なので
y=sinθ、x=cosθ
３ｘ＋４ｙ＝3cosθ+4sinθ=√(32+42) sin（θ＋α）・・・（三角関数の合成）
sin（θ＋α）の最大最小は±1
よって３ｘ＋４ｙの最大最小は±5
もっとシンプルな回答を思いついたら追加したいと思います。
ＮＯ５「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 03/18 20時26分受信
更新3/18<br>
だいぶ春らしくなってきて...虫と一緒にわたしも喜んでます♪
今回は解けなくってもよさそうなので...チャレンジ ^^v
問題
実数ｘ、ｙがｘ^２＋ｙ^２＝１を満たすとき、３ｘ＋４ｙの最大値、最小値とそのときの値を求めよ。
解法1
わたし常用の方法...内積で...
3x+4y=(3,4)(x,y)=√(3^2+4^2)*√(x^2+y^2)*cosθ
よって...
-5<= 与式<=5
解法2
わたしは覚えられないけど...^^;
円の中心から3x+4y+m=0 の直線までの距離=1 というアプローチ...
解法3
面倒だからしませんが...^^;
3x+4y=m と、x^2+y^2=1 から...２次関数の判別式D>=0 というアプローチ...
解法4
円と直線のグラフから...でもこれは...解法2と同じと思う...
y=(4/3)*x と x^2+y^2=1 と...y=-(3/4)*x+m
から...
解法5
コーシーシュワルツの不等式...
使い慣れないけど...^^;
たしか...
(3^2+4^2)*(x^2+y^2) >= (3x+4y)^2
から...
でもこれは...解法1と同じと思う...
解法6
x=cosθ、y=sinθ
3cosθ+4sinθ=5*((3/5)*cosθ+(4/5)*sinθ)=5*sin(θ+α)
から...
まだあるんだろうなぁ...知りたいな ^^
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、
メールで送ってください。待っています。
