平成２４年７月２２日

[流れ星]

　　　　　第２７７回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月1日〜7月22日

［帰納法と演繹法］

授業中扱っている数研の補助教材からの問題です。

解法には帰納的な考え方と演繹的な考え方があります。次の問題をこの2種類の方法から解いてください。（注：演繹的な解法を見つけていません。）

　

NO1「uchinyan」 07/01 12時36分受信 更新7/22

問題１：

順次計算してみると，

a(1) = -1

a(2) = (a(1))^2 + 2 * 1 * a(1) - 2 = (-1)^2 + 2 * 1 * (-1) - 2 = -3

a(3) = (a(2))^2 + 2 * 2 * a(2) - 2 = (-3)^2 + 2 * 2 * (-3) - 2 = -5

a(4) = (a(3))^2 + 2 * 3 * a(3) - 2 = (-5)^2 + 2 * 3 * (-5) - 2 = -7

a(5) = (a(4))^2 + 2 * 4 * a(4) - 2 = (-7)^2 + 2 * 4 * (-7) - 2 = -9

…

これを見ると，a(n) = 1 - 2n，と思われます。これを数学的帰納法で証明しましょう。

・n = 1 のとき

定義より，a(1) = -1，です。一方で，1 - 2 * 1 = -1 = a(1) です。

そこで，n = 1 のときは，確かに成立します。

・n = k のとき，a(k) = 1 - 2k と仮定します。

すると，n = k+1 のときは，

a(k+1) = (a(k))^2 + 2ka(k) - 2

= (1 - 2k)^2 + 2k * (1 - 2k) - 2 = 1 - 2k - 2 = 1 - 2(k+1)

となり，確かに n = k+1 でも成立しています。

以上より，数学的帰納法によって，a(n) = 1 - 2n，がいえました。

問題２：

a(n+1) = (a(n))^2 + 2na(n) - 2

右辺の第１項と第２項とで完全平方ができることに注目して，

a(n+1) = (a(n))^2 + 2na(n) + n^2 - n^2 - 2

a(n+1) = (a(n) + n)^2 - n^2 - 2

この後がちょっと難しいのですが，

左辺は a(n+1) に関して１次式，右辺は a(n) に関して２次式なので，

せめて，右辺を因数分解できるようにできないかな，と思って，

a(n+1) + 2n + 1 = (a(n) + n)^2 - n^2 - 2 + 2n + 1

a(n+1) + 2n + 1 = (a(n) + n)^2 - (n^2 - 2n + 1)

a(n+1) + 2n + 1 = (a(n) + n)^2 - (n - 1)^2

a(n+1) + 2(n+1) - 1 = (a(n) + 2n - 1)(a(n) + 1)

お，何か見えて来たな，という感じで，

a(n) + 2n - 1 = (a(n-1) + 2(n-1) - 1)(a(n-1) + 1)

a(n) + 2n - 1 = (a(n-2) + 2(n-2) - 1)(a(n-2) + 1)(a(n-1) + 1)

a(n) + 2n - 1 = (a(n-3) + 2(n-3) - 1)(a(n-3) + 1)(a(n-2) + 1)(a(n-1) + 1)

…

a(n) + 2n - 1 = (a(2) + 2 * 2 - 1)(a(2) + 1)…(a(n-3) + 1)(a(n-2) + 1)(a(n-1) + 1)

a(n) + 2n - 1 = (a(1) + 2 * 1 - 1)(a(1) + 1)(a(2) + 1)…(a(n-3) + 1)(a(n-2) + 1)(a(n-1) + 1)

a(1) = -1 なので，

a(n) + 2n - 1 = ((-1) + 2 * 1 - 1)((-1) + 1)(a(2) + 1)…(a(n-3) + 1)(a(n-2) + 1)(a(n-1) + 1)

a(n) + 2n - 1 = 0

a(n) = 1 - 2n

になります。

本当は，

(a(n) + 2n - 1)/(a(n-1) + 2(n-1) - 1) = a(n-1) + 1

と変形する方が分かりやすいのですが，こうすると，左辺が 0/0 の積になってしまうので不可です。

上記は，これを避けるためのちょっと微妙な式変形ですね。

(感想)

問題２：は，最初，階差を取ることも考えたのですが，

右辺が a(n) に関して１次ではないのでうまくいかないようです。

それならば，右辺を因数分解して何かできないか，と考えたのが上記の解法です。

もっとうまい式変形があるかも知れないな，とは思っていますが，取り敢えず。

＜水野の流れ：助かった。この式変形ができなかった。本当にありがとうございました。＞

NO2「浜田明巳」 07/03 09時05分受信 更新7/22

解法１：
　　ａ_１＝−１
　　ａ_２＝ａ_１^２＋２・１・ａ_１−２＝１−２−２＝−３
　　ａ_３＝ａ_２^２＋２・２・ａ_２−２＝９−１２−２＝−５
　故にａ_ｎ＝−(２ｎ−１)と類推できる．これを数学的帰納法で証明する．
i).ｎ＝１のとき，明らかに成立する．
ii).ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき，ａ_ｋ＝−(２ｋ−１)と仮定する．
　　∴ａ_ｋ＋１＝ａ_ｋ^２＋２ｋａｋщu梠､踉晒齦皃苳・ぢ−２＝(２ｋ−１)^２ −２ｋ(２ｋ−１)−２＝−２ｋ−１＝−(２ｋ＋１)
　故にｎ＝ｋ＋１のときも成立する．
　i).ii).より，任意の自然数ｎについて，ａ_ｎ＝−(２ｎ−１)＝１−２ｎ

解法２：
　ｂ_ｎ＝ａ_ｎ＋ｐｎ＋ｑ（ｐ，ｑは定数）とすると，ａ_ｎ＝ｂ_ｎ−ｐｎ−ｑ
　漸化式に代入すると，
　　ｂ_ｎ＋１−ｐ(ｎ＋１)−ｑ＝(ｂ_ｎ−ｐｎ−ｑ)^２＋２ｎ(ｂ_ｎ−ｐｎ−ｑ)−２
　　∴ｂ_ｎ＋１＝ｂ_ｎ^２w)�沾｡陌・・・齦隍苳・ぢ２ｎ^２＋ｑ^２−２ｐｎｂ_ｎ＋２ｐｑｎ−２ｑｂ_ｎ＋２ｎｂ_ｎ−２ｐｎ^２−２ｑｎ−２＋ｐｎ＋ｐ＋ｑ
　　　　　　＝ｂ_ｎ^２＋(−２ｐｎ−２ｑ＋２ｎ)ｂ_ｎ＋(ｐ^２−２ｐ)ｎ^２＋(２ｐｑ＋ｐ−２ｑ)ｎ＋(ｑ^２＋ｐ＋ｑ−２)
　ここで，
　　ｐ^２−２ｐ＝０………(1)
　　２ｐｑ＋ｐ−２ｑ＝０………(2)
　　ｑ^２＋ｐ＋ｑ−２＝０………(3)
となるように，ｐ，ｑを定める．
　(1)から，ｐ(ｐ−２w)�ｦ息＝０　　　∴ｐ＝０，２
　ｐ＝０のとき，(2)，(3)から，−２ｑ＝０，ｑ^２＋ｑ−２＝０
　これは矛盾する．
　ｐ＝２のとき，(2)，(3)から，４ｑ＋２−２ｑ＝０，ｑ^２＋２＋ｑ−２＝０
　　∴ｑ＝−１，ｑ^２＋ｑ＝０　　　∴ｑ＝−１
　　∴ｂ_ｎ＋１＝ｂ_ｎ^２＋(−４ｎ＋２＋２ｎ)ｂ_ｎ＝ｂ_ｎ(ｂ_ｎ−２ｎ＋２)
　故にあるｎにおいて，ｂ_ｎ＝０とすると，ｂ_ｉ＝０（ｉ≧ｎ）
　ここで，ｂ_１＝ａ_１＋ｐ＋ｑ＝−１＋１＝０
　　∴ｂ_ｎ＝０（ｎ≧１）
　　∴ａ_ｎ＋ｐｎ＋ｑ＝ａ_ｎ＋２ｎ−１＝０　　　∴ａ_ｎ＝１−２ｎ
（しかしこの解では，ｂ_ｉ＝０（ｉ≧ｎ），ｂ_１＝０のところで，帰納的な考え方をしているので，あまり自信はない）

（別解）（ａ_ｎをｎのｍ次式と解釈する非常に苦しい解である）
　あるｎにおいて，ａ_ｎ≠０である．
　ａ_ｎをｎのｍ次式として（ｍ≧０），
　　ａ_ｎ＝ｐ_０ｎ^ｍ＋ｐ_１ｎ^ｍ−１＋ｐ_２ｎｍ−２＋… ……＋ｐ_ｍ（ｐ_０≠０，ｐ_ｉは定数）
とする．
　　ａ_ｎ＋１＝ｐ_０(ｎ＋１)^ｍ＋ｐ_１(ｎ＋１)^ｍ−１＋ｐ_２(ｎ＋１)^ｍ−２＋………＋ｐ_ｍ
　　　　　＝ｐ_０ｎ^ｍ＋ｑ_１ｎ^ｍ−１＋ｑ_２ｎ^ｍ−２＋………（ｑ_ｉは定数）
　これはｍ次式である．
　　ａ_ｎ^２＝ｐ_０^２ｎ^２ｍ＋ｒ_１ｎ^２ｍ−１＋ｒ_２ｎ^２ｍ−２＋………（ｒ_ｉは定数）
　これは２ｍ次式である．
　　２ｎａ_ｎ＝２ｐ_０ｎ^ｍ＋１＋２ｐ_１ｎ^ｍ＋２ｐ_２ｎ^ｍ−１＋………
　これはｍ＋１次式である．
　最高次の項の係数を比べる．
　ａ_ｎ＋１はｍ次式なので，ａ_ｎ^２＋２ｎａ_ｎ−２もｍ次式．
　２ｍ≧ｍ，ｍ＋１＞ｍであり，ｐ_０ ^;２≠０，２ｐ_０≠０& lt;br> 　故に２ｍ＝ｍ＋１であり，ｐ_０^２＋２ｐ_０＝０（ｐ_０≠０）
　　∴ｍ＝１，ｐ_０＝−２
　　∴ａ_ｎ＝−２ｎ＋ｐ_１
　これを漸化式に代入すると，
　　−２(ｎ＋１)＋ｐ_１＝(−２ｎ＋ｐ_１)^２＋２ｎ(−２ｎ＋ｐ_１)−２
　　∴−２ｎ−２＋ｐ_１＝４ｎ^２−４ｎｐ_１＋ｐ_１^２−４ｎ^２＋２ｎｐ１w)�刋ﾀ・・・・・・−２
　　∴−２ｎ＋ｐ_１＝−２ｎｐ_１＋ｐ_１^２
　これが任意のｎについて成立するので，ｐ_１＝１
　　∴ａ_ｎ＝−２ｎ＋１

　　皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、

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