平成２４年１２月９日

[流れ星]

　　　　　第２８３回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月18日〜12月9日＞

［整数解は正多面体］

問題１：　整数　ｘ，ｙ，ｚは，ｘ≧３，ｙ≧３，ｚ≧１で、１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　を満たすとき、ｘ，ｙ，ｚの組をすべて求めよ。

問題２：　正多面体の頂点の数、面の数、辺の数をそれぞれ　ｐ，ｆ，ｅ　としたとき、オイラーの多面体公式　ｐ＋ｆ−ｅ　＝２を用いて、　ｐ，ｆ，ｅ　の組をすべて求めよ。　

「uchinyan」 11/18 13時19分受信 更新12/9

問題１：

1/x + 1/y - 1/z = 1/2，x >= 3，y >= 3，z >= 1

1/x + 1/y = 1/2 + 1/z > 1/2

式は x，y に関して対称なので，x <= y として解を求めて，x > y は x，y を入れ替えればいいです。

そこで，x <= y とすると，1/y <= 1/x なので，

2/x >= 1/x + 1/y > 1/2，3 <= x < 4，x = 3

このとき，

1/3 + 1/y > 1/2，1/y > 1/6，3 <= y < 6，y = 3, 4, 5

そこで，それぞれの x，y と x，y の入れ替えに対して，最初の式から z を求めて，

(x,y,z) = (3,3,6), (3,4,12), (3,5,30), (4,3,12), (5,3,30) 　　になります。

問題２：

正多面体の面は正多角形なので，これを正 n 角形とし，

正多面体の各頂点に集まる辺の数を m 本とすると，

mp = nf = 2e，p = 2e/m，f = 2e/n

そこで，オイラーの多面体公式 p + f - e = 2 に代入すると，

2e/m + 2e/n - e = 2，1/m + 1/n - 1/2 = 1/e，1/m + 1/n - 1/e = 1/2

最後の式は，問題１：の結果が使えるので，

(m,n,e) = (3,3,6), (3,4,12), (3,5,30), (4,3,12), (5,3,30)

これより，

(p,f,e) = (4,4,6), (8,6,12), (20,12,30), (6,8,12), (12,20,30) 　　になります。

ちなみに，

(p,f,e) = (4,4,6) は，正四面体

(p,f,e) = (8,6,12) は，正六面体＝立方体

(p,f,e) = (6,8,12) は，正八面体

(p,f,e) = (20,12,30) は，正十二面体

(p,f,e) = (12,20,30) は，正二十面体　　　ですね。

正多面体はこれだけなのですが，この問題は，その証明になっていますね。

(考察1)

オイラーの多面体公式の証明は省略しますが，Webで探せばいろいろと見つかると思います。

比較的単純なのは，

多面体の一つの頂点をそれにつながっている辺と面(の一部)を一緒に取り除き，

取り除かれた部分に面を補って新たな多面体にすると，p，f，e の変化が相殺し，

p + f - e = 2

は変化しないので，これを繰り返して正四面体までこの式をもっていき，

正四面体では成立するので，元の立体でも成立，とする方法，とか，

多面体の一つの面を，辺や頂点は残して面だけを取り除いたものを，

ギューと平面に押しつけると，平面上の図形＝グラフが，f' = f - 1 として，

p + f' - e = 1

となっていることを，数学的帰納法などで証明する方法，とか，かも知れません。

これらならば，直感的には，小学生でも理解できそうです。

なお，この話は，３次元で種数(穴の数)を g としたときに，

頂点の数 - 辺の数 + 面の数 = 2 - 2g

となることや，シュレーフリのｎ次元公式などに発展するのですが，

それはまた別の話ですし，私の手には余るので．．． (^^;

(考察2)

正多面体が，正四面体，正六面体＝立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体，の五つだけは，

オイラーの多面体公式を使わなくとも，直感的ですが，おおよそ，次のように考えてもいいでしょう。

正多面体の面は正多角形で，それが一つの頂点に 3 個以上同じ数だけ集まっていないといけません。

正多角形の一つの内角は，正 n 角形，n >= 3，の場合 (n-2)/n * 180°なので，

これが三つ以上集まって 360°＝平面，より少なくないといけないので，

(n-2)/n * 180 * 3 < 360，3 <= n < 6，n = 3，4，5

後は試行錯誤になりますが，

n = 3 の場合，面は正三角形，で，

三つ集まったとき，正四面体

四つ集まったとき，正八面体

五つ集まったとき，正二十面体

六つ以上集まると 360°以上となるので，不可。

n = 4 の場合，面は正四角形＝正方形，で，

三つ集まったとき，正六面体＝立方体

四つ以上集まると 360°以上となるので，不可。

n = 5 の場合，面は正五角形，で，

三つ集まったとき，正十二面体

四つ以上集まると 360°以上となるので，不可。

となります。

なお，「後は試行錯誤」の辺りをちゃんとやろうと思うと，

やはり，オイラーの多面体公式にご登場願うのがいいようです。

(感想)

問題２：はよく知られた事実で，問題１：はその導入でしたね。

正多面体が，正四面体，正六面体＝立方体，正八面体，正十二面体，正二十面体，の五つだけは，

中学生の頃に(考察2)の方向で考えて納得していました。

その後，高校生になってオイラーの多面体公式を知り，

問題２：と同じように解いて「なるほど」と再度納得しました。

もう４０年以上も前の話です

「ｽﾓｰｸﾏﾝ」　　11/20 11時31分受信 更新12/9

今回の問題２は有名だけど...自力で考えてみました ^^v
問題1はこれですべてなのかがわかりません...Orz...

問題１：　整数　ｘ，ｙ，ｚは，ｘ≧３，ｙ≧３，ｚ≧１で、１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　を満たすとき、ｘ，ｙ，ｚの組をすべて求めよ。
問題２：　正多面体の頂点の数、面の数、辺の数をそれぞれ　ｐ，ｆ，ｅ　としたとき、オイラーの多面体公式　ｐ＋ｆ−ｅ　＝２を用いて、　ｐ，ｆ，ｅ　の組をすべて求めよ。
まず…問題２から考える…^^;　　
正n角形(n>=3) が頂点でk枚(k>=3)合わさるためには…
その角度*k<360°
正n角形の一つの角度は、(n-2)*180/n なので…
k*(n-2)*180<360*n
(n-2)*k<2n
n(k-2)-2(k-2)=(n-2)(k-2)<4
3=1*3=3*1…(n,k)=(3,5),(5,3)
2=1*2=2*1…(n,k)=(3,4),(4,3)
1=1*1…(n,k)=(3,3)
ここで…
頂点の数p*k/2=辺の数e
面の数f*n/2=辺の数e
だから…
p*k=2e=f*n　の関係になっている。
・(n,k)=(3,5)…5p=2e=3f
p+f-e=2e/5+2e/3-e=2…e(2/5+2/3-1)=2…e/15=2
e=30,p=12,f=20…正三角形でできた正20面体
・(n,k)=(5,3)…3p=2e=5f
p+f-e=e(2/3+2/5-1)=2…e/15=2
e=30,p=20,f=12…正５角形でできた正12面体
・(n,k)=(3,4)…4p=2e=3f
p+f-e=e(1/2+2/3-1)=2…e/6=2
e=12,p=6,f=8…正三角形でできた正8面体
・(n,k)=(4,3)…3p=2e=4f
p+f-e=e(2/3+1/2-1)=2…e/6=2
e=12,p=8,f=6…正方形でできた正6面体
・(n,k)=(3,3)…3p=2e=3f
p+f-e=e(2/3+2/3-1)=2…e/3=2
e=6,p=4,f=4…正三角形でできた正４面体
まとめると…
　　　　　　　　p(頂点)　　f(面)　　e(辺)
正４面体　　　　　４　　　　４　　　６
正６面体　　　　　８　　　　６　　１２
正８面体　　　　　６　　　　８　　１２
正１２面体　　　２０　　　１２　　３０
正２０面体　　　１２　　　２０　　３０

問題１は、これを使ってみる…^^
  4+4-6=2
両辺を12で割る…
1/3+1/3-1/2=1/6…1/3+1/3-1/6=1/2
8+6-12=2
両辺を24で割る…
1/3+1/4-1/2=1/12…1/3+1/4-1/12=1/2

20+12-30=2
両辺を60で割る…
1/3+1/5-1/2=1/30…1/3+1/5-1/30=1/2
つまり…
(x,y,z)=(3,3,6),(3,4,12),(4,3,12),(3,5,30),(5,3,30)
でも…これですべてかどうかわからないわたし…^^;

「浜田明巳」　11/22 16時54分受信 更新12/9

問題１．
　ｘ，ｙの対称性から，ｙ≧ｘ≧３とする，
　１／ｘ＋１／ｙ−１／２＝１／ｚ＞０であるから，
　　１／ｙ＞１／２−１／ｘ＝(ｘ−２)／(２ｘ)＞０（∵ｘ≧３）
　逆数をとると，
　　３≦ｙ＜２ｘ／(ｘ−２)
　　∴３＜２ｘ／(ｘ−２)
　　∴３(ｘ−２)＜２ｘ（∵ｘ−２＞０）
　　∴ｘ＜６
　　∴ｘ＝３，４，５
　i).ｘ＝３のとき，
　　　３≦ｙ＜２ｘ／(ｘ−２)＝２・３／(３−２)＝６
　　　∴ｙ＝３，４，５
　　ｙ＝３のとき，ｚ＝１／(１／ｘ＋１／ｙ−１／２)から，
　　　ｚ＝１／(１／３＋１／３−１／２)＝６
　　ｙ＝４のとき，
　　　ｚ＝１／(１／３＋１／４−１／２)＝１２
　　ｙ＝５のとき，
　　　ｚ＝１／(１／３＋１／５−１／２)＝３０　
　　いずれも条件に合う．
　ii).ｘ＝４のとき，ｘ≦ｙ＜２ｘ／(ｘ−２)から，
　　　４≦ｙ＜２・４／(４−２)＝４
　　これは矛盾する．
　iii).ｘ＝５のとき，
　　　５≦ｙ＜２・５／(５−２)＝１０／３
　　これは矛盾する．
　ｘ＞ｙの場合も考え，まとめると，
　　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(３，３，６)，(３，４，１２)，(３，５，３０)，(４，３，１２)，(５，３，３０)

　VBscriptのプログラムは以下の通り．
'm283.vbs
'1/x+1/y-1/z=1/2
xymax=10
kotae=""
kosuu=0
for x=3 to xymax
  for y=3 to xymax
    if 1/x+1/y<>1/2 then
      z=int(1/(1/x+1/y-1/2))
      if z>=1 and 2*y*z+2*x*z-2*x*y=x*y*z then
kosuu=kosuu+1
        if kosuu>1 then
kotae=kotae&chr(13)
        end if
kotae=kotae&x&","&y&","&z
      end if
    end if
  next
next
msgbox kotae

問題２．
　１つの正ｆ面体が，正ｘ角形の面（ｘ≧３）からなり，１つの頂点にｙ個（ｙ≧３）の正ｘ角形が集まるとする．
　頂点の総数は，ｐ＝ｆｘ／ｙ
　１つの辺が２つの面によって共有されているので，辺の総数は，ｅ＝ｆｘ／２
　ｐ＋ｆ−ｅ＝２から，
　　ｆｘ／ｙ＋ｆ−ｆｘ／２＝２
　　∴１／ｙ＋１／ｘ−１／２＝２／ｆｘ
　ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２（正の整数）とすると，
　　１／ｘ＋１／ｙ−１／２＝１／ｚ
　問題１から，
　　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(３，３，６)，(３，４，１２)，(３，５，３０)，(４，３，１２)，(５，３，３０)
　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(３，３，６)のとき，ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２から，６＝３ｆ／２
　　∴ｆ＝４
　　∴(ｐ，ｆ，ｅ)＝(４，４，６)
　これは，正三角形４面からなる，正四面体である．１つの頂点に３個の正三角形が集まる．
　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(３，４，１２)のとき，ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２から，１２＝３ｆ／２
　　∴ｆ＝８
　　∴(ｐ，ｆ，ｅ)＝(６，８，１２)
　これは，正三角形８面からなる，正八面体である．１つの頂点に４個の正三角形が集まる．
　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(３，５，３０)のとき，ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２から，３０＝３ｆ／２
　　∴ｆ＝２０
　　∴(ｐ，ｆ，ｅ)＝(１２，２０，３０)
　これは，正三角形２０面からなる，正二十面体である．１つの頂点に５個の正三角形が集まる．
　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(４，３，１２)のとき，ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２から，１２＝４ｆ／２
　　∴ｆ＝６
　　∴(ｐ，ｆ，ｅ)＝(８，６，１２)
　これは，正四角形６面からなる，正六面体である．１つの頂点に３個の正四角形が集まる．
　(ｘ，ｙ，ｚ)＝(５，３，３０)のとき，ｅ＝ｚ＝ｆｘ／２から，３０＝５ｆ／２
　　∴ｆ＝１２
　　∴(ｐ，ｆ，ｅ)＝(２０，１２，３０)
　これは，正五角形１２面からなる，正十二面体である．１つの頂点に３個の正五角形が集まる．
　まとめると，正多面体は以上の５種類のみである．

「にいばりZ12」11/24 1時17分受信 更新12/9

問題１：　整数　ｘ，ｙ，ｚは，ｘ≧３，ｙ≧３，ｚ≧１で、１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　を満たすとき、ｘ，ｙ，ｚの組をすべて求めよ。

　　１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　を変形して

　　１/ｘ＋１/y＝１/２+１/ｚ・・・�@

ｘ≧３，ｙ≧３　から�@左辺の最大値は2/3

このときｚは最小値6をとります。

ｚ→∞のとき�@右辺１/２+１/ｚの極限は1/2

整理すると

2/3≧１/ｘ＋１/y>1/2・・・�A

ｘ≧３，ｙ≧３・・・・・�B

�Aと�Bから(x,y)を求めると

(3,3) ・・・�C

(3,4) ・・・�D

(3,5) ・・・�E

(4,3) ・・・�F

(5,3) ・・・�G

となります（(4,4)は１/ｘ＋１/y>1/2からout）

(x,y)に対するｚを求めると全てｚ≧6且つ自然数となるので

(x,y,z)は

(3,3,6) ・・・�H

(3,4,12) ・・・�I

(3,5,30) ・・・�J

(4,3,12) ・・・�K

(5,3,30) ・・・�L

・・・・・・・・・・問題1回答

このとき、(x,y)・・・�C〜�Gは正多面体のシュレーフリ記号

であり、ｚはその多面体の辺数です。

ｘ・・・正多面体の構成面の辺数（正ｘ角形）

y・・・正多面体の頂点に集まる面の数

式	シュレーフリ記号 (x,y)	多面体	辺数（ｚ）
�C	(3,3)	正四面体	6
�D	(3,4)	正八面体	12
�E	(3,5)	正二十面体	30
�F	(4,3)	正六面体	12
�G	(5,3)	正十二面体	30

問題２：　正多面体の頂点の数、面の数、辺の数をそれぞれ　ｐ，ｆ，ｅ　としたとき、オイラーの多面体公式　ｐ＋ｆ−ｅ　＝２を用いて、　ｐ，ｆ，ｅ　の組をすべて求めよ。

正多面体の頂点の数(ｐ)、面の数(f)、辺の数(ｅ)｛問題1のｚ｝と頂点に集まる面の数(ｙ)、構成面の辺数(x)とには次の関係があります

・ ｐ＝ｘ・ｆ/ｙ・・・�M

∵　構成面の辺数は構成面の頂点数に等しく、その頂点を多面体のある一箇所で共有する数は、頂点に集まる面の数に等しい。

・ ｅ＝ｆ・ｘ/2＝ｚ・・・�N

　∵　構成面の辺は全て他の面の辺と共有するので多面体における辺の総数は構成面の辺の総数の1/2に等しい。

�M�N式を多面体公式に変形代入すると問題1の

１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２

が導かれます

また、逆に

ｐ＝2ｚ/ｙ

ｆ＝2ｚ/ｘ

ｅ＝ｚ

ともなるのでｐ，ｆ，ｅはｘ，ｙ，ｚの解に従属となり

(x,y,z)	(p,f,e)
(3,3,6)	(4,4,6)
(3,4,12)	(6,8,12)
(3,5,30)	(12,20,30)
(4,3,12)	(8,6,12)
(5,3,30)	(20,12,30)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・回答

感想・・・問題2を解いて初めて問題1の意味がわかりました。�M�N式を思いつくのにしばらくかかりましたが、納得できてすっきりしました。

「にいばりZ12」11/25 2時47分受信 更新12/9

補足

オイラーの多面体公式も�M�N式も構成面の辺長、角度を制限していません

したがって構成面の正ｘ角形の正を取り払っても成立します

題意から外れますが、このような場合（構成面が合同でも相似でもないような場合）にあっても

条件を満たす多面体は5種類しか存在しないことになります。

つまり、正多面体をいろいろな方向に伸ばしたり縮めたりした多面体しか存在しない。

シュレーフリ記号構成面が正多角形の場合の記号なので、その意味では問題1の回答の段階で持ち出すのは不適切だったかと思います。

ただ、何回見直しても論理に矛盾が見つけ出せず、5種類しかないので、

凸型多面体において

構成面が全てｘ角形

多面体の頂点に集まる面の数は全ての頂点においてｙ

多面体の辺数はｚ

上記ｘｙｚは1/ｘ+1/ｙ-1/ｚ＝1/2を満たすただしｘ≧３，ｙ≧３，ｚ≧１とする

そのような多面体は正多面体に準位相同形の5種類しかない

｛準位相同形：多面体の構成面の形状が違っても辺数のみを保持している形・・表現を知らないので造語しました｝

解答を送信後、違和感があったので補足させていただきました。

もう1点問題1で1/ｘ+1/ｙの値に対し回答の中では流しましたが、zが整数になるのは必然なのか否かが分からないままです。

「Iga」　　　　11/24 1時50分受信 更新12/9

問題１：　整数　ｘ，ｙ，ｚは，ｘ≧３，ｙ≧３，ｚ≧１で、１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　を満たすとき、ｘ，ｙ，ｚの組をすべて求めよ。

　ｚ≧１だから、１／ｚ＞なので、
１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　　　　…�@
　は、
１/ｘ＋１/y＞１/２
　の考察結果を、ｚについて吟味すればよいので、
　　２ｘ＋２ｙ＞ｘｙ …�A
　　２ｘ−ｘｙ＞−２ｙ
　　ｘ（２−ｙ）＞−２ｙ
　ここで、ｙ≧３　だから　２−ｙ＜０　なので
　　ｘ＜（−２ｙ）／（２−ｙ）
　　ｘ＜２ｙ／（ｙ−２）
　さらに、ｘ≧３だから
　　３≦ｘ＜２ｙ／（ｙ−２）
　　３＜２ｙ／（ｙ−２）
　　３（ｙ−２）＜２ｙ
　　３ｙ−６＜２ｙ
　　３ｙ−２ｙ＜６
　　　ｙ＜６

　よって、３≦ｙ＜６ の整数なので、
　ア：ｙ＝３のとき
　３≦ｘ＜２×３／（３−２）
　　　３≦ｘ＜６
　　　ｘ＝３，４，５
　　�@式より、ｚを求めると、
　　　ｘ＝３，ｙ＝３，ｚ＝６
　　　ｘ＝４，ｙ＝３，ｚ＝１２
　　　ｘ＝５，ｙ＝３，ｚ＝３０
　イ：ｙ＝４のとき
　　　３≦ｘ＜２×４／（４−２）
　　　３≦ｘ＜４
　　　ｘ＝３
　　したがって
　ｘ＝３、ｙ＝４，ｚ＝１２
　ウ：ｙ＝５のとき
　　　３≦ｘ＜２×５／（５−２）
　　　３≦ｘ＜１０／３
　　ｘ＝３
したがって
　ｘ＝３、ｙ＝５，ｚ＝３０

　以上より、求めるｘ、ｙ、ｚの組は、
　　　ｘ＝３，ｙ＝３，ｚ＝６
　　　ｘ＝４，ｙ＝３，ｚ＝１２
　　　ｘ＝５，ｙ＝３，ｚ＝３０
　　　ｘ＝３、ｙ＝４，ｚ＝１２
　　　ｘ＝３、ｙ＝５，ｚ＝３０


問題２：　正多面体の頂点の数、面の数、辺の数をそれぞれ　ｐ，ｆ，ｅ　としたとき、オイラーの多面体公式　ｐ＋ｆ−ｅ　＝２を用いて、　ｐ，ｆ，ｅ　の組をすべて求めよ。

　正多面体が５種類であることを既知としては題意にそえないと思い、悩みました。そこで正多面体の定義に立ち返り、「すべての面は合同な正多角形」「１つの頂点の周りの面の数は等しい」ということから、正ｆ面体の１つの面の形は正ｎ角形（ｎ≧３）、１つの頂点はｍ個の面でできている（ｍ≧３）として、考えました。
　辺は２つの面でできているので、辺の数ｅは、
　　ｅ＝ｆ×ｎ／２
　同様に、１つの頂点はｍ個の面でできているので、頂点の数ｐは、
　　ｐ＝ｆ×ｎ／ｍ
　したがって、
　　ｐ＋ｆ−ｅ＝２
　　ｆｎ／ｍ＋ｆ−ｆｎ／２＝２
　　２ｎ＋２ｍ−ｍｎ＝４ｍ／ｆ
　ここで、 ４ｍ／ｆ＞０ だから
　　２ｎ＋２ｍ＞ｍｎ
　これは、問題１の�A式と同様に、
　　　ｎ＝３，ｍ＝３　（ｆ＝４）　　　正四面体
　　　ｎ＝４，ｍ＝３　（ｆ＝６）　　　正六面体
　　　ｎ＝５，ｍ＝３　（ｆ＝１２） 正十二面体
　ｎ＝３、ｍ＝４　（ｆ＝８） 正八面体
　ｎ＝３、ｍ＝５　（ｆ＝２０） 正二十面体
　が得られる。よって、
ｐ＝４、　ｆ＝４、　ｅ＝６　　　　　　正四面体　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｐ＝８、　ｆ＝６、　ｅ＝１２　　　　 正八面体
ｐ＝２０、ｆ＝１２、ｅ＝３０ 　　　　正十二面体
ｐ＝６、　ｆ＝８，　ｅ＝１２ 　　　　正八面体
ｐ＝１２、ｆ＝２０、ｅ＝３０　　　　 正二十面体

以上の結果を整理すると
　　 正多面体 　　　面の形　　　　　　１つの頂点の　　　頂点の数　　　辺の数
　　(面の数ｆ) 　 (頂点、辺の数ｎ） 　周り面の数　ｍ ｐ ｅ

　　正四面体 　　正三角形
　　　４　　　　　　　３ 　　　　　　　　３　　　　　　　４　　　　　　４

　　正六面体　　　　正方形
　　　６　　　　　　　４　　　　　　　　　３　　　　　　　８　　　　　１２

　　正八面体　　　　正三角形
　　　８　　　　　　　３　　　　　　　　　４　　　　　　　６　　　　　１２

　　正十二面体 正五角形
　　１２　　　　　　５　　　　　　　　　３　　　　　　２０　　　　　３０

　　正二十面体　　　正三角形
　　　２０　　　　　　３　　　　　　　　　３　　　　　　１２　　　　　３０

正多面体の各面の中心を結んでできる二重正多面体（【正四面体⇔正四面体、正六面体⇔正八面体、正十二面体⇔正二十面体）や、サッカーボールのような準正多面体（２種類以上のの正多角形で構成されている立体、正二十面体の各頂点を切り落としてできる立体）などのほか、平面の敷きつめなど、応用・発展の広い問題ですね。

「数学好きな受験生」11/25 20時45分受信 更新12/9　

問題１：

１/ｘ＋１/y−１/ｚ＝１/２　⇔　１/ｘ＋１/y＝１/ｚ＋１/２

2/3≧１/ｘ＋１/y＝１/ｚ＋１/２（∵ｘ≧３，ｙ≧３）　⇔　ｚ≧６

１/ｘ＋１/y＝１/２＋１/２＞１/２　⇔　１/ｘ＋１/y＞１/２　　

⇔　２（ｘ＋ｙ）＞ｘｙ　　⇔　４＜（ｘ−２）（ｙ−２）

以上より、これらを満たすｘ、ｙ、ｚは

（ｘ，ｙ，ｚ）＝（３，３，６），（３，４，１２），（３，５，３０），（４，３，１２），（５，３，３０）　

問題２：

正多面体の１つの頂点に集まる面の数をｍとし、正多面体が正ｎ角形で構成されているとする。

正多面体の１つの頂点と周辺の展開図に注目して、ｍとｎが満たさなければならない条件は

｛（ｎー２）×π／ｎ｝×ｍ＜２π　⇔　｛（ｎー２）／ｎ｝×ｍ＜２　　

　⇔　ｍｎー２ｍ＜２ｎ　　　⇔　（ｍ−２）（ｎ―２）＜４　　…　�@

また、立体を構成するためには　ｍ≧３　，ｎ≧３　を満たす必要がある。

以上より、�@を満たすｍ　，ｎ　の組は

（ｍ，ｎ）＝（３，３），（３，４），（４，３），（５，３），（３，５）

以上を満たす正多面体は（３，３）のとき正四面体，（３，４）のとき正八面体，

（４，３）のとき正六面体，（５，３）のとき正十二面体，（３，５）のとき正二十面体　

よって、（ｐ，ｆ，ｅ）＝（４，４，６），（８，６，１２），（６，８，１２），（２０，１２，３０），（１２，２０，３０）